离散时间信号的变换.ppt

第三章 离散时间信号的变换,3.1 Z变换基础,定义：序列xn的z变换定义为: xn的z变换称为X(z)处于z域, z域是含有复数的频域,但z变换并不是对z域内所有的值都有定义，有定义的z值构成了z变换的收敛域. 信号yn的z变换记为Y(z)，简记为:,3.1 Z变换基础,由Y(n)计算yn要进行逆z变换 例3-1: 计算下列序列的z变换X(z),3.1 Z变换基础,解: 信号xn只在n=0处有非零值,因此: 此z变换对所有的z值都有定义,故起收敛域为整个z平面,3.1 Z变换基础,例3-2: 计算下列序列的z变换X(z) 解: 信号xn只在n=1处有非零值,因此: 除z=0外其余的z都有意义,因此其收敛域为z 0的整个平面,3.1 Z变换基础,例3-3: 计算下列序列的z变换X(z) 解: 这是首项a=1及乘数 的几何级数:,3.1 Z变换基础,求和,若 有 得: 其中 ,即z变换的收敛域为:,3.1 Z变换基础,例3-4: 信号xn如图所示,计算信号的z变换,3.1 Z变换基础,解: 信号可以写成 它只有3个非零值,因此z变换的项数相同,其z变换为: 在z0时.此式有定义,3.1 Z变换基础,例3-5: 计算下列序列的z变换 解: 因为在n0时,un=1,所以,3.1 Z变换基础,这个无穷级数的首项a=1及乘数 ,因此其和为: 此z变换的收敛域为: 或,3.1 Z变换基础,Z变换的一个重要性质是时移特性. 设X(z)是序列xn的z变换, xn在n=0以前为零,此信号的时移xn-1的z变换,由定义知为: 令m=n-1,则n=m+1,那么,3.1 Z变换基础,由于x-1=0，所以有： 如果xn的z变换为X(z)，则xn-1的z变换为z-1X(z) Z域中的因子z-1相当于时域中的一个采样的延迟,3.1 Z变换基础,注意不要混淆延迟项z-1和逆z变换的符号Z-1,3.1 Z变换基础,例3-6: 求信号xn=2un-2的z变换 解: 因为,3.1 Z变换基础,故有: 收敛域为:z0，z1 例3-7 用z-1符号重新表示非递归差分方程流图,3.1 Z变换基础,3.1 Z变换基础,3.2 传输函数,对差分方程中每一项进行z变换之后，z域中输出输入比为： H(z)即为传输函数,3.2.1 传输函数和差分方程,逐项进行变换得:,3.2.1 传输函数和差分方程,解方程得传输函数: 例3-8 求下列差分方程所描述系统得传输函数:,3.2.1 传输函数和差分方程,解: 逐项进行z变换得:,3.2.1 传输函数和差分方程,例3-9 求下列系统传输函数得差分方程 解: 将分母展开得:,3.2.1 传输函数和差分方程,由于最新得输出项为yn+2,而不是yn,只要每一项进行相同得移位,差分方程不变,3.2.2 传输函数和脉冲函数,3.2.2 传输函数和脉冲函数,其中Y(z)是yn的z变换,X(z)是xn的z变换。 H(z)是hn的z变换,也就是说传输函数是其脉冲响应的z变换,3.2.2 传输函数和脉冲函数,例3-10 数字滤波器的脉冲响应为: 求此滤波器的传输函数. 解:滤波器的传输函数就是脉冲响应的z变换: 注意:此传输函数得到差分方程:,3.2.3 计算滤波器输出,在z域,可以用传输函数H(z)计算系统的输出,由于H(z)=Y(z)/X(z)有: Y(z)的逆z变换可以得到信号yn:,3.3 逆Z变换,3.3.1 标准式,3.3.1 标准式,例3-11 将下面的传输函数变为标准式: 解: 变换标准式的第一步是将所有延迟项的指数化为正。 如果最高负指数项为z-n，则传输函数每一项乘以zn，从而使所有指数为正。,3.3.1 标准式,变换的第二步是确保分母最高次幂的系数为1，为此，传输函数分子分母同除以4得到标准式：,3.3.1 标准式,作业: 求下列差分方程的传输函数：,3.3.2 简单的逆z变换,通过查表求逆z变换 例12: 求出z变换 对应的信号xn. 解: 由表3.1得到逆z变换:,3.3.2 简单的逆z变换,例13: 求出函数 的逆z变换,3.3.2 简单的逆z变换,解: 表中与X(z)相似的z变换形式为: 其中 逆z变换为:,3.3.2 简单的逆z变换,例14: 系统的传输函数为: a、求系统的差分方程 b、求系统的脉冲响应,3.3.2 简单的逆z变换,解: a、系统的差分方程是 b、系统的脉冲响应是传输函数的逆z变换，将传输函数整理分解表3.1的形式:,3.3.2 简单的逆z变换,由表知后者的逆z变换为 经两步移位后,脉冲响应为:,3.3.2 简单的逆z变换,例15: 数字滤波器的输入为xn=un,其输出为 a、计算滤波器的传输函数 b、计算滤波器的脉冲响应,3.3.2 简单的逆z变换,解： xn的z变换为： yn的z变换为： 因此传输函数为,3.3.2 简单的逆z变换,首先将H(z)化成真有理函数的形式,然后求各个的变换. 由表知1的逆z变换为 逆z变换为,3.3.2 简单的逆z变换,例16: 求z变换 的时域信号xn 解: 此z变换是标准式,一种方法是分解X(z),并分离出表3.1中所列的变换,3.3.2 简单的逆z变换,的逆z变换为 经因子z-2所引起的两此延迟后,逆z变换为:,3.3.3 长除法求逆z变换,方法:用传输函数的分子除以分母,然后对每一项进行逆变换。 优点:比较直接,适用于任意有理函数 缺点:一般很难得到像前面例子所得到的那种闭合解。,3.3.3 长除法求逆z变换,例17 用长除法求 的逆z变换,3.3.3 长除法求逆z变换,解：,3.3.3 长除法求逆z变换,所以:,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,设滤波器的输入为xn=un-1, 脉冲响应为 hn=(-0.25)nun,求滤波器的输出。 解： 第一步，计算输入与脉冲响应的z变换,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,脉冲响应的z变换为系统的传输函数，得传输函数为:,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,例18: 求 的逆z变换 解: 其分母已经分解为简单因子,部分分式展开式有三项,分母的每一个根一项,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,例19: 求z变换 的时域信号xn 解: 对X(z)的分母进行因式分解得:,3.3.4 部分式展开法求逆z变换,部分式展开为: 最后得逆变换为:,3.4 传输函数与稳定性,3.4.1 极点与零点 极点:传输函数分母为零时z的取值 零点:传输函数分子为零时z的取值,3.4.1 极点与零点,例:20 求传输函数 的数字滤波器的极点和零点 解: 化为标准形式:,3.4.1 极点与零点,用二次公式分解分母多项式,得: 因此: 通过传输函数可以方便得确定极点和零点,对此滤波器,在z=0处有一个零点, 两个极点分别是z=0.25和z=2,3.4.1 极点与零点,标准式传输函数分子分母多项式都可以进行分解,有: 其中K称为滤波器的增益，zj是滤波器的零点，pj是滤波器的极点。 对数字滤波器分析和设计有用的工具称为z平面，可以在上面标出传输函数的极点和零点。 在z平面中用“”表示极点，“”表示零点,3.4.1 极点与零点,例:21 对传输函数 求解并画出极零点 解: 化为标准形式:,3.4.1 极点与零点,零点位于z2=0处,有两个零点,都位于z=0;由二次公式可求出极点,3.4.1 极点与零点,3.4.1 极点与零点,例22 数字滤波器的零点为z=-0.2和z=0.4,极点为z=-0.7j0.6,增益为0.5, a、画出滤波器的极-零点图 b、求滤波器的传输函数 解： a、极零点图如下：,3.4.1 极点与零点,b、每个零点产生传输函数分子的一个因子，每个极点产生传输函数分母的一个因子，则传输函数为,3.4.1 极点与零点,化简得传输函数：,3.4.2 稳定性,单位圆：以z平面的原点为圆心半径为1的圆。 系统的所有极点都在单位圆内，则滤波器是稳定； 若单位圆上有极点，则滤波器是临界稳定 单位圆外有极点，则系统是不稳定的 数学上这个区域可表示为：,3.4.2 稳定性,3.4.2 稳定性,如果每个极点的模值都小于1，也就是极点到单位圆中心的距离小于1，则滤波器稳定的。 稳定传输函数的收敛域必须包括单位圆,3.4.2 稳定性,例23 数字滤波器的传输函数为： 判断其稳定性 解： 化为标准式为：,3.4.2 稳定性,零点位于z2-1=0即：z=1， 极点位于,3.4.2 稳定性,对于这些极点，到单位圆圆心的距离为： 因为该距离小于1，两个极点都在单位圆内，所以系统稳定,3.4.2 稳定性,例24 滤波器的差分方程为： 判断滤波器的稳定性 解： 极点可以很容易从传输函数：,3.4.2 稳定性,得到，二次式给出极点位置为： 此例中极点为纯实部没有虚部，显然极点z=-1.430在单位圆外，故系统不稳定,3.4.3 一阶系统,一阶系统就是系统仅有一个极点。简单的一阶系统的传输函数为： 由于只有一个极点z=-，稳定性要求ll1 对应的脉冲响应为：,3.4.3 一阶系统,ll1时，脉冲响应随着n的增加无限增长，只要ll1，脉冲响应就趋与零。 此一阶系统的差分方程为： 阶跃响应稳态趋于一个常数yss，因为输入阶跃函数为常数1，可以求得最终得稳定值。,3.4.3 一阶系统,稳态时，差分方程为： 求得：,3.4.3 一阶系统,3.4.3 一阶系统,例25 滤波器得传输函数为 a、求出其极点零点，并判断稳定性 b、求出滤波器的脉冲响应 c、求出滤波器的阶跃响应 解： a、为了得到极零点，首先将其表示为标准式,3.4.3 一阶系统,在z=0处有一个单零点，z=-0.4处有一个单极点，极点在单位圆内，所以滤波器稳定,3.4.3 一阶系统,b 、脉冲输入的z变换X(z)=1则输出Y(z)为： 由表得逆z变换为：,3.4.3 一阶系统,c、阶跃输入的z变换为X(z)=z/(z-1 ) ,输出为 因此阶跃响应为,3.4.3 一阶系统,此滤波器的差分方程为:yn+0.4yn-1=2xn, 因此输入阶跃函数xn等于1,故最后的稳态输出可以由yss+0.4yss =2,得出,3.4.3 一阶系统,3.4.4 二阶系统,简单得二阶系统得传输函数为: p1，p2是传输函数的两个极点，这个特定的二阶系统中在z=0处有2个零点。,3.4.4 二阶系统,只要两个极点都在z平面单位圆内，系统就稳定。要求lp1l1，且lp2l1。 二阶差分方程为:,3.4.4 二阶系统,例26 二阶系统极点为z=0.7j0.8,无零点,增益1 a、系统是否稳定？ b、求系统的传输函数 解： a、极点模值为： 极点处于单位圆外，系统不稳定,3.4.4 二阶系统,b、传输函数为,3.4.4 二阶系统,例27 求传输函数 的零点和极点，并确定极点模值 解： 传输函数没有零点，由二次公式得：,3.4.4 二阶系统,极点为z=-0.1，z=-0.5， 第一个极点得模值为： 第二个极点得模值为： 因此系统稳定,3.4.4 二阶系统,例28 求滤波器阶跃响应得稳态输出，滤波器得传输函数为： 解： 滤波器得极点可由z2+0.5z-0.3=0得到。极点为 z=-0.852, z=0.352。因此滤波器系统稳定。 此滤波器差分方程为：,3.4.4 二阶系统,因为滤波器是稳定得，输出将会得到常数值yss ，阶跃输入为1，则差分方程为： 得到：,作业： 1、求出下列滤波器的零极点，并判断稳定性 2、求一阶传输函数的脉冲响应表达式，并画出极零图 3、当二阶系统输入为单位阶跃时，求稳态输出,3.5 傅立叶变换与滤波器形状,3.5.1 傅立叶变换基础 离散时间傅立叶变换（DTFT） 作用：把信号或滤波器从时域变换到频域 主要研究信号或滤波器的频率特性 DTFT得到的信息称为滤波器的频率响应 （幅度响应和相位响应）,3.5.1 傅立叶变换基础,信号xn的离散时间傅立叶变换定义： 是数字频率。信号xn的DTFT可记为： 由于欧拉恒等式：,3.5.1 傅立叶变换基础,那么： 例29 求下图所示信号的离散时间傅立叶变换,3.5.1 傅立叶变换基础,3.5.1 傅立叶变换基础,解： 只有4个非零采样值（n=0,1,2,4）对变换有贡献。因而：,3.5.1 傅立叶变换基础,例30 求信号的 DTFT 解： 在n0和n3时,信号值都是零,所以,3.5.1 傅立叶变换基础,离散时间傅立叶变换有2个重要性质 时延特性 周期性 假设信号xn的DTFT存在,为X(),则xn-n0的DTFT为:,3.5.1 傅立叶变换基础,令m= n-n0,则有 时域中n0的延迟在频域里引入一个复指数 第二个特性是周期性。分析,3.5.1 傅立叶变换基础,利用欧拉恒等式对所有n值有: 所以: 所以DTFT是周期性的,周期为,3.6 频率响应及其他形式,3.6.1 频率响应和差分方程 对每一项进行DTFT,将差分方程变换到频域,3.6.1 频率响应和差分方程,频域中输出输入之比为: H()称为滤波器的频率响应,3.6.1 频率响应和差分方程,例:31 求如下差分方程所表示的滤波器的频率响应表达式 解: 对每一项进行DTFT得:,3.6.1 频率响应和差分方程,提出公因式得: 频率响应是,3.6.1 频率响应和差分方程,例32 求如下差分方程相应的频率响应 解: 容易确定系数为a0=1,a1=0.1,a2=0.85,b0=1, b1=-0.3,滤波器得频率响应为,3.6.2 频率响应和传输函数,滤波器得频率响应H()和传输函数H(z)之间有密切得联系: 把传输函数中所有 换成 ,即可得到频率响应,3.6.2 频率响应和传输函数,例: 32 求滤波器得频率响应,他的传输函数是: 解: 频率响应为:,3.6.3 频率响应和脉冲响应,3.6.3 频率响应和脉冲响应,当滤波器的输入xn是一个脉冲函数n时,他的DTFT是: 已知脉冲输入时的输出yn是脉冲响应hn.则他的DTFT是: 由滤波器的频率响应得:,3.6.3 频率响应和脉冲响应,例33 数字滤波器得脉冲响应为 求滤波器得频率响应得表达式 解: 频率响应是脉冲响应的DTFT,得:,3.6.3 频率响应和脉冲响应,作业: 1、写出信号的DTFT表达式 2、数字滤波器的差分方程为 求其频率响应的表达式 3、滤波器的脉冲响应为 求其频率响应的表达式,3.7 频率响应和滤波器形状,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用 滤波器的频率响应也可以作为用来计算滤波器的输出 输出信号通过逆变换得到: 注意:DTFT方法一般仅用于求正弦输入时的输出 滤波器的频率响应显示了滤波器在每个频率上的特性,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用,频率响应H()是一个复数,可以用极坐标表示: 其中 是滤波器在数字频率处的增益 是同一频率下滤波器的相位差,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用,由于H()、X()、Y()都是复数,采用极坐标表示为: 可得:,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用,对于数字余弦信号,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用,可简记为 于是: 展开得余弦信号:,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用,例34 数字频率为1.5弧度的余弦波通过滤波器,在此频率下,滤波器增益为-21dB,相位差为860,如果输入幅度为20,相位为120,则输出幅度和相位是多少？ 解: 输入简式为 ,这是余弦函数 的缩写. 在1.5弧度处.滤波器增益为-21dB,转换为线性值为,3.7.1 滤波器对正弦输入的作用,因为相位差为860,频率响应的简式为 . 输出是频率响应和输入信号傅立叶变换值的乘积: 可的输出信号为:,3.7.2 幅度响应和相位响应,频率响应包括:幅度响应和相位响应 幅度响应:所有数字频率处增益的集合 相位响应:所有相位差的集合,3.7.2 幅度响应和相位响应,例35 一系统的频率响应为: 求该系统的幅度响应和相位响应,并画出图. 幅度响应是增益对数字频率(弧度)的关系图. 相位响应是相位(弧度)对数字频率(弧度)的关系图.数字频率范围是-3弧度.,3.7.2 幅度响应和相位响应,解: 对于=3/4弧度,采用极坐标和非极坐标进行计算.极坐标计算得: 非极坐标计算得:,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,由上例可知.幅度响应和相位响应是周期的,每2弧度重复一次. 幅度响应是偶函数: 相位响应是奇函数: 如果增益采用分贝,图象就会改变,3.7.2 幅度响应和相位响应,例36 滤波器的幅度响应和相位响应如下图所示,确定当数字频率是下列值时的增益和相位差: a、2rad b、3rad 解： a、2rad处的增益大约是-4dB，相位大约-70。准确值是-4.4dB和-66 ； b、3rad处的增益大约是-43dB，相位大约80。准确值是-42.9dB和81 ,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,例37 把数字信号 加到数字滤波器上。滤波器的频率响应如图所示，求其输出信号,3.7.2 幅度响应和相位响应,解： 输入信号的频率是0.25=0.7854rad，在图中用一实线表示，在此频率，滤波其增益为17.4dB。相位差37.5。输入xn的简式为 输出信号为：,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,例38 画出频率响应的曲线,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,例39 数字滤波器的差分方程为： 求其频率响应并画出曲线(分贝增益、相位(度) 解： 频率响应的表达示为,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,例 40 滤波器的脉冲响应为 求其频率响应并画出曲线(分贝增益、相位(度) 解： 频率响应为：,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,例41 求下面递归滤波器的滤波器形状，他的传输函数为 解 传输函数转换为频率响应，得：,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.2 幅度响应和相位响应,例42 递归数字滤波器的传输函数为 解 传输函数转换为频率响应，得：,3.7.2 幅度响应和相位响应,3.7.3 模拟频率f与数字频率,数字滤波器得形状可以不依赖采样率，但采样频率将影响滤波器输入频率得范围。 当采样率已知时，频率轴可用模拟频率f(Hz)代替数字频率（弧度）,3.7.3 模拟频率f与数字频率,例43： 数字滤波器得采样率为12kHz，它得频率响应如图所示。 a、用模拟频率（Hz）代替数字频率（弧度）画出频率响应曲线 b、低通滤波器得带宽是多少 c、若采用频率变为30kHz，则带宽为多少,3.7.3 模拟频率f与数字频率,3.7.3 模拟频率f与数字频率,解： a、数字频率0弧度转换成模拟频率06kHz（1/2采样频率）。幅度响应和相位响应得形状不变，只是水平标记变。 b、对于低通滤波器，它是小于低频增益3dB所对应的频率，此题的这个频率为1800Hz c、如果采用频率变为30kHz，频率范围变为0到15kHz，带宽将变为4500Hz,3.7.3 模拟频率f与数字频率,3.7.3 模拟频率f与数字频率,例44： 幅度响应如图所示,输入模拟频率是1kHz.当采用率为下列值时,求其增益 a、fs=4kHz b、fs=10kHz,3.7.3 模拟频率f与数字频率,解： a、右图是fs=4kHz的幅度响应曲线.此滤波器对应1kHz的输入信号,增益为0dB或1,3.7.3 模拟频率f与数字频率,b 、 下图是fs=10kHz的幅度响应曲线.此滤波器对应1kHz的输入信号,增益为-63dB或7.0795*10-4,