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解密13 不等式 高考考点命题分析三年高考探源考查频率不等式的性质与一元二次不等式选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主,重点求目标函数的最值,有时也与其他知识交汇考查.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点,但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.2019课标全国 12019课标全国 12019课标全国 62019课标全国 12018课标全国 22018课标全国 12线性规划2018课标全国132018课标全国142017课标全国5基本不等式2019天津13考点1 不等式的性质与一元二次不等式题组一 不等式的性质调研1 （重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学试题）已知,均为实数,则下列说法一定成立的是A若,则B若,则C若,则D若,则【参考答案】D【解析】对于,不妨令,尽管满足,但显然不满足,故A错误；对于,不妨令,显然满足,但不满足,故B错误；对于,不妨令,显然满足,但不满足,故C错误；对于,若,则,即,故D正确.故选：D.【名师点睛】本题考查不等式的性质与不等关系,在限定条件下,比较几个式子的大小时,用特殊值代入法,能快把参考答案进行排除是解此类问题的常用方法求解时,利用特殊值代入法排除A,B,C,利用不等式的基本性质,可得,从而得到,从而得出结论调研2 已知非零实数满足,则下列不等式一定成立的是A BC D【参考答案】A【解析】利用排除法：时,与都不成立,可排除选项B,D；时,不成立,可排除选项C.故选A.【名师点睛】特殊法是“小题小做”的重要策略,排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率,又能提高准确性,这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值,逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.方法技巧点拨不等式的一些常用性质：(1)有关倒数的性质ab,ab0.a0bb0,0c.0axb或axb0b0,m0,则(bm0)；,0)题组二 一元二次不等式调研3 已知函数的值域为0,+),若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为.【参考答案】9【解析】因为的值域为0,+),所以=0,即,所以的解集为,易得m,m+6是方程的两根,由根与系数的关系,得,解得c=9.调研4 若不等式(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+30恒成立,则a的取值范围是.【参考答案】1,19) 【解析】当a2+4a-5=0时,有a=-5或a=1.若a=-5,不等式可化为24x+30,不满足题意;若a=1,不等式可化为30,满足题意.当a2+4a-50时,不等式恒成立,需满足,解得1a19.综上,可得a的取值范围是1a0(或0),如果a与ax2bxc同号,则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号,则其解集在两根之间简言之：同号两根之外,异号两根之间2解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解3解含参数不等式要正确分类讨论考点2 线性规划题组一 线性目标函数的最值及范围问题调研1 若变量满足约束条件,则的最小值是A BC D【参考答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）由得平移直线,结合图形可得,当直线经过可行域内的点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最小值由解得,故点故选B【名师点睛】画出可行域,将变形为,然后平移直线找到最优解后可求得z的最小值求目标函数的最值时,将函数转化为直线的斜截式的形式：,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值,解题时要分清z与截距间是正比还是反比的关系调研2 已知不等式组表示的平面区域为(其中是变量).若目标函数的最小值为6,则实数的值为AB6C3D【参考答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示,由得,则直线斜率,平移直线,由图象可知,当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小,为6,由,得,即,此时,解得,故选C方法技巧点拨求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.题组二 非线性目标函数的最值及范围问题调研3 设x,y满足约束条件,则z=yx的最大值是ABCD【参考答案】C【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(三角形ABC及其内部),可得A(2,1),B(3,4),C(5,2).可看作区域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,则=kOCzkOB=.可得z的最大值为.故选C调研4 设变量满足约束条件,则的最大值是_【参考答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图）,而表示可行域内的点到原点距离的平方,数形结合可得最大距离为或,所以的最大值为,故参考答案为.方法技巧点拨常见的非线性目标函数的几何意义(1) 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离；(2) 表示点(x,y)与点(a,b)的距离；(3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率；(4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率题组三 线性规划的实际应用调研5 某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克,B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克,每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在要求每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下,生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为A1800元 B2100元C2400元 D2700元【参考答案】C【解析】设分别生产甲、乙两种产品为桶,桶,利润为元,则根据题意可得,目标函数为,作出不等式组表示的平面区域,如图所示,作直线,然后把直线向可行域平移,可得时,最大,最大值为.故选C.调研6 某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品的有关数据如下表:因素产品A产品B备注研制成本、搭载费用之和/万元2030计划最大投资金额300万元产品质量/千克105最大搭载质量110千克预计收益/万元8060则使总预计收益达到最大时,A,B两种产品的搭载件数分别为A9,4B8,5C9,5D8,4【参考答案】A【解析】设“神舟十一号”飞船搭载新产品A,B的件数分别为x,y,最大收益为z万元,则目标函数为z=80x+60y.根据题意可知,约束条件为,即.不等式组所表示的可行域为如下图中阴影部分(包含边界)内的整数点,作出目标函数对应的直线l,显然直线l过点M时,z取得最大值.由,解得,故M(9,4).所以目标函数的最大值为zmax=809+604=960,此时搭载产品A有9件,产品B有4件.故选A方法技巧点拨对于线性规划的实际问题,由于题干太长,数据太多,为便于理清数据间的关系,不妨用列表法利用线性规划解决实际问题,建立约束条件往往是关键的一步,设出未知数后,应特别注意文字语言与符号语言的转换,以免因审题不细或表达不当而出现错误题组四 线性规划与其他知识的交汇调研7 若不等式组表示的区域为,不等式表示的区域为,向区域均匀随机撒颗芝麻,则落在区域中的芝麻数约为A BC D【参考答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中ABC及其内部,不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：由图可得,点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.区域即的面积为,区域的面积为圆的面积,即,其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积,所以区域和区域相交的部分面积,所以落入区域的概率为.所以均匀随机撒颗芝麻,则落在区域中芝麻数约为.故本题正确参考答案为A.【易错点睛】本题考查的是一个与面积相关的几何概型,以线性规划为背景,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；计算出可行域的面积,二,画目标函数所对应的区域,为一个圆,计算出面积,即,注意圆有一部分没在可行域内,得到大众部分的面积,由几何概型的面积公式可得.调研8 已知点O是坐标原点,点A(1,2),若点M(x,y)是平面区域上的一个动点,()0恒成立,则实数m的取值范围是.【参考答案】【解析】因为(1,2),(x,y),所以()x2y.所以不等式()0恒成立等价于x2y0,即x2y恒成立设zx2y,作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,当目标函数zx2y表示的直线经过点D(1,1)时取得最小值,最小值为1213；当目标函数zx2y表示的直线经过点B(1,2)时取得最大值,最大值为1225.所以x2y3,5,于是要使x2y恒成立,只需3,解得m或m1,b1,若axby3,ab2,则的最大值为_【参考答案】1【解析】因为a1,b1,axby3,ab2,所以xloga3,ylogb3,所以log3alog3blog3ablog32log321,当且仅当ab时,等号成立故参考答案为：1.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等方法技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.方法技巧点拨基本不等式的常用变形(1)ab2(a0,b0),当且仅当ab时,等号成立(2)a2b22ab,ab2(a,bR),当且仅当ab时,等号成立(3)2(a,b同号且均不为零),当且仅当ab时,等号成立(4)a2(a0),当且仅当a1时,等号成立；a2(a1,y1,又,成等比数列,由基本不等式可得,当且仅当时取等号,故,即,故xy的最小值为.本题选择A选项.【名师点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误 1（广东省台山市华侨中学2020届高三级10月模考数学试题）设集合,集合,则等于ABCD2（浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）若且,则下列不等式中一定成立的是ABCD3（山东省聊城市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）设,则有ABCD4（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练（一模）数学试题）已知命题,命题,则成立是成立的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（福建省三明市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）若实数满足约束条件,则的最小值为ABC1D6（江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题）已知,满足条件（为常数）,若目标函数的最大值为9,则ABCD7（山东省滨州市三校联考2019-2020学年高三上学期期中考试数学试题）已知,若不等式恒成立,则m的最大值为A10B12C16D98（湖南省永州市道县、东安、江华、蓝山、宁远2019-2020学年高三12月联考数学试题）设,满足约束条件,则的取值范围是ABCD9（辽宁省大连市中山区第二十四中学2019-2020学年高三上学期11月月考数学试题）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟,假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分钟,那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间,能使公司获得最大的收益是（ ）万元A72B80C84D9010（浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）设a,b为正实数,且,则的最大值和最小值之和为A2BCD911(河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高三12月联考（领军考试)数学试题)已知实数满,则的最大值为_12（重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学试题）已知实数,且满足,则的最小值为_.13（天津市部分区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知x0,y0,且,若x2ym22m恒成立,则实数m的取值范围_.14（陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性考试数学试题）已知满足约束条件,若可行域为三角形,则的取值范围为_.15（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知,是的三条边.（1）求证：；（2）若,求的最大值. 1（2019年高考全国II卷理数）若ab,则Aln(ab)0B3a0Dab2（2019年高考全国卷理数）已知集合,则=ABCD3（2019年高考全国卷理数）设集合A=x|x25x+60,B=x|x10,则AB=A(,1)B(2,1)C(3,1)D(3,+)4（2019年高考全国卷理数）已知集合,则ABCD5（2018新课标全国理科）已知集合,则A B CD 6（2018新课标全国理科）设,则ABCD7（2017新课标全国理科）设,满足约束条件,则的最小值是ABCD8（2018新课标I理科）若,满足约束条件,则的最大值为_知识改变命运20
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