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矩阵的逆,第一章（H）,(H) 矩阵的逆,逆矩阵的概念和性质,例 设,(H) 矩阵的逆,注：矩阵运算中E相当于“1”,逆矩阵相当于“倒数”。,可逆矩阵必定是个方阵,问题：逆矩阵唯一吗？,定理 若矩阵 可逆则 。,证明,若 可逆，,(H) 矩阵的逆,定理 若 则矩阵 可逆。,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵,称为矩阵 的伴随矩阵.,如：,观察：A*第j列的元素是哪些代数余子式？,性质,证明,则,(G) 矩阵及其运算,即：,定理 若 则矩阵 可逆。,证明：,由于 ，故 。,Q1,假设n阶矩阵A可逆，A*=_A 。 Q2, 若n阶矩阵A的行列式|A|=D,则A* |_?,推论:方阵,证明,逆矩阵的运算性质,(H) 矩阵的逆,Q,diag(1,2,3,4,5)的逆矩阵是_?,证明,(H) 矩阵的逆,证明,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,逆矩阵的求法,(H) 矩阵的逆,同理可得,故,(H) 矩阵的逆,例4,(H) 矩阵的逆,(H) 矩阵的逆,解,例6,(H) 矩阵的逆,(H) 矩阵的逆,矩阵的分块,第一章（I）,(I) 矩阵的分块,矩阵的分块,为了简化运算，经常采用分块法， 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.,(I) 矩阵的分块,每一个小矩阵称矩阵C的子块. 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵,则|C|=|A|B|,分块矩阵的运算规则,(I) 矩阵的分块,（1） （加法）设A,B是同型的分块矩阵,(I) 矩阵的分块,(I) 矩阵的分块,(I) 矩阵的分块,分块对角矩阵的行列式具有下述性质:,(I) 矩阵的分块,Q:若Ai 可逆，则分块对角阵 逆矩阵是_？,(I) 矩阵的分块,例3 设,解,(I) 矩阵的分块,(I) 矩阵的分块,例1 设,解,(I) 矩阵的分块,则,(I) 矩阵的分块,又,(I) 矩阵的分块,于是,(I) 矩阵的分块,思考,(H) 矩阵的逆,如：,等价于,矩阵方程：,答,小结,(A)初等变化,4,矩阵的乘法不满足_律.,1,克拉默法则：若D不等于0,2,行列式的定义，性质，展开法则。,3, AA*=_E.,5,6,A可逆当且仅当|A|_.,7,|A*|=_, 若|A|=D.,. 当且仅当A*_.,8, 分块对角阵diag(A,B,C,D)的行列式_.,练习：,例证明,证,解,例4,(G) 矩阵及其运算,由此归纳出,(G) 矩阵及其运算,用数学归纳法证明,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,(G) 矩阵及其运算,所以对于任意的 都有,(G) 矩阵及其运算,求第一行各元素的代数余子式之和,(F) 行列式的展开,例,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,(F) 行列式的展开,例计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,评注本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式,例证明,分析：,证,对阶数n用数学归纳法,评注,例3,证明,(E) 行列式的性质,证明,(E) 行列式的性质,(E) 行列式的性质,(E) 行列式的性质,解,(E) 行列式的性质,解,(E) 行列式的性质,(E) 行列式的性质,例计算,解,评注本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用,
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