2022年高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 第65课 双曲线及其性质 文（含解析）

2022年高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 第65课 双曲线及其性质 文（含解析）双曲线的标准方程及性质图形标准方程焦点在坐标轴上时的方程已知双曲线方程为，双曲线方程可性质焦点， ，范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴；坐标轴对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，) 其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)【例1】已知，则双曲线与的() A实轴长相等B虚轴长相等 C离心率相等D焦距相等【解析】在双曲线中，在双曲线中，所以，选C【变式】（xx年高考）若实数满足，则曲线与曲线的（ ）A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】，则，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【例2】求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程【解析】双曲线的渐近线方程为设双曲线方程为，又在双曲线上，所求的双曲线方程是【变式】求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）虚轴长为，离心率为；（2）双曲线的渐近线方程为，且过点【解析】（1），双曲线方程是或（2）双曲线的渐近线方程为， 设双曲线方程为，又在双曲线上，所求的双曲线方程是【例3】(xx高考湖南卷)设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点若，且的最小内角为，则的离心率为_解析设点在双曲线右支上，为左焦点，为右焦点，则.又，.在双曲线中，在中所对的角最小且为.在中，由余弦定理得，即，即.，即.答案【例4】已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于、两点，为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若的面积等于，求直线的方程【解析】(1)依题意，双曲线的方程为.(2)设，由(1)知当直线斜率不存在时，由得，,不满足题意当直线斜率为时，直线，由消元得，直线与双曲线有两个交点，点到直线的距离为的面积 ，即得，则.所以直线的方程：或.第65课 双曲线及其性质的课后作业1双曲线的离心率大于的充分必要条件是()A B CD【解析】该双曲线离心率e，由已知，故m1，故选C.2.设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为()A. B. C4 D.【答案】D3. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为()A. B. C. D. 【答案】A4. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的（）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形， 双曲线的两条渐近线为，5. 设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0 C4x3y0D5x4y0【解析】设线段的中点为M，由于，故，即，在中，故，根据双曲线的定义得.所以，所以，化简得，所以，故双曲线的渐近线方程是，即.选C.6.设，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若双曲线的离心率为，求的值【解析】据题意可知，设，则又由双曲线定义知 ；由勾股定理可得 ；又由离心率 ，由解得，故.故选C.7. 过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为左焦点(1)求；(2)求的面积【解】(1)由双曲线的方程得，直线的方程为设，由消去得.，.(2)直线的方程变形为.原点到直线的距离为.8已知双曲线的右焦点为（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，所求的双曲线的方程为（2）设点的坐标为，直线的斜率满足， 依题意：圆的方程为，将代入圆的方程得：，即，点的坐标为，代入双曲线方程得：，即，或（舍去），双曲线的离心率9. 已知双曲线，为坐标原点，点在双曲线上（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于、两点，且. 求的值（第（2）问提示：直线的方程为）【解析】（1），双曲线方程为，即.点在双曲线上，.所求双曲线的方程为.（2）设直线的方程为，则的方程为，由，得，.由，得，.备用10.（xx湖南卷）如图15所示，O为坐标原点，双曲线C1：1(a10，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1，C2的方程(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|AB| ？证明你的结论. 图15解： (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22，2a12，从而a11，c21.因为点P在双曲线x21上，所以1，故b3.由椭圆的定义知2a22.于是a2，bac2.故C1，C2的方程分别为x21，1.(2)不存在符合题设条件的直线(i)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x或x.当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此时，|.当 x时，同理可知，|.(ii)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm，由得(3k2)x22kmxm230.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得2k2m23.因此x1x2y1y20，于是222222，即|2|2.故|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线7.已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若,则的值为_【答案】【解析】，6.设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点，所成的角为的直线和，使，其中，和，分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D. 【解析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于轴(或轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于且小于等于，即，.【答案】 A