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第一课时第一课时 2.3 2.3 变量间的相关关系变量间的相关关系2.3.1 2.3.1 变量之间的相关关系变量之间的相关关系2.3.2 2.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关问题提出问题提出1.1.函数是研究两个变量之间的依存关系函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式的一种数量形式.对于两个变量，如果对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系的关系就是一个函数关系.2.2.在中学校园里，有这样一种说法：在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题学习就不会有什么大问题.”.”按照这种说按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？变量之间的关系是函数关系吗？3.3.我们不能通过一个人的数学成绩是我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少就准确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、教学水多少，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种之间是一种不确定性不确定性的关系的关系.类似于类似于这样的两个变量之间的关系，有必要这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义着非常重要的现实意义.知识探究（一）：知识探究（一）：变量之间的相关关系变量之间的相关关系思考思考1 1：考察下列问题中两个变量之间的考察下列问题中两个变量之间的关系：关系：（1 1）商品销售收入与广告支出经费；）商品销售收入与广告支出经费；（2 2）粮食产量与施肥量；）粮食产量与施肥量；（3 3）人体内的脂肪含量与年龄）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？数关系吗？思考思考2 2：“名师出高徒名师出高徒”可以解释为教师可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？成语吗？思考思考3 3：上述两个变量之间的关系是一种上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为非确定性关系，称之为相关关系相关关系，那么，那么相关关系的含义如何？相关关系的含义如何？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系系.思考思考4 4：对于一个变量，可以控制其数对于一个变量，可以控制其数量大小的变量称为量大小的变量称为可控变量可控变量，否则称为，否则称为随机变量随机变量，那么相关关系中的两个变量，那么相关关系中的两个变量有哪几种类型？有哪几种类型？(1)(1)一个为可控变量，另一个为随机变量；一个为可控变量，另一个为随机变量；(2)(2)两个都是随机变量两个都是随机变量.知识探究（二）：散点图知识探究（二）：散点图 【问题】【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数人群脂肪含量的样本平均数.年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年年龄龄5353545456565757585860606161脂脂肪肪29.29.6 630.30.2 231.31.4 430.30.8 833.33.5 535.35.2 234.34.6 6思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性表现出一定的规律性.观察上表中的数观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？脂肪含量怎样变化？年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年年龄龄5353545456565757585860606161脂脂肪肪29.29.6 630.30.2 231.31.4 430.30.8 833.33.5 535.35.2 234.34.6 6思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象直观的印象.以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示脂肪含轴表示脂肪含量，量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？的图形吗？年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年年龄龄5353545456565757585860606161脂脂肪肪29.29.6 630.30.2 231.31.4 430.30.8 833.33.5 535.35.2 234.34.6 6思考思考3 3：上图叫做上图叫做散点图散点图，你能描述一，你能描述一下散点图的含义吗？下散点图的含义吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图的两个变量的一组数据图形，称为散点图.思考思考4 4：观察散点图的大致趋势，人的年观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？思考思考5 5：在上面的散点图中，这些点散布在在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为这种相关关系，我们将它称为正相关正相关.一般一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？量的变化趋势如何？思考思考6 6：如果两个变量成负相关，从整如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？散点图有什么特点？一个变量随另一个变量的变大而变小，一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域的区域.思考思考7 7：你能列举一些生活中的变量你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗成正相关或负相关的实例吗?理论迁移理论迁移例例1 1 在下列两个变量的关系中，哪些是在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？相关关系？正方形边长与面积之间的关系；正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关降雪量与交通事故的发生率之间的关系系.例例2 2 以下是某地搜集到的新房屋的销以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：售价格和房屋的面积的数据：房屋面积房屋面积（平方米）（平方米）616170701151151101108080135135105105销售价格销售价格（万元）（万元）12.212.215.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222画出数据对应的散点图，并指出销售画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关还是负相关.1 1对于两个变量之间的关系，有函数关系对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系定性关系，相关关系是一种非确定性关系.3.3.一般情况下两个变量之间的相关关系一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调成正相关或负相关，类似于函数的单调性性.2 2散点图能直观反映两个相关变量之散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法图是简单可行的办法.小结作业小结作业2.3 2.3 变量间的相关关系变量间的相关关系2.3.1 2.3.1 变量之间的相关关系变量之间的相关关系2.3.2 2.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关 第二课时第二课时问题提出问题提出1.1.两个变量之间的相关关系的含义如两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？的散点图分别有什么特点？自变量取值一定时，因变量的取值带有自变量取值一定时，因变量的取值带有一定一定随机性随机性的两个变量之间的关系的两个变量之间的关系.正相关的散点图中的点散布在从左下角正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域点散布在从左上角到右下角的区域 2.2.观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究加呢？对此，我们从理论上作些研究.知识探究（一）：回归直线知识探究（一）：回归直线 思考思考1 1：一组样本数据的平均数是样本数一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？如何确定？它一定是散点图中的点吗？(,)x y思考思考2 2：在各种各样的散点图中，有些散点图在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？点？这些点大致分布在一条直线附近这些点大致分布在一条直线附近.思考思考3 3：如果散点图中的点的分布，从整如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有个变量之间具有线性相关关系线性相关关系，这条直，这条直线叫做线叫做回归直线回归直线.对具有线性相关关系的对具有线性相关关系的两个变量，其回归直线一定通过样本点两个变量，其回归直线一定通过样本点的中心吗？的中心吗？思考思考4 4：对一组具有线性相关关系的样本对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几数据，你认为其回归直线是一条还是几条？条？思考思考5 5：在样本数据的散点图中，能否在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？怎样画出回归直线？知识探究（二）：回归方程知识探究（二）：回归方程 在直角坐标系中，任何一条直线都有相在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为应的方程，回归直线的方程称为回归方回归方程程.对一组具有线性相关关系的样本数对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计对总体进行估计.思考思考1 1：回归直线与散点图中各点的位置回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？应具有怎样的关系？整体上最接近整体上最接近 思考思考2 2：对于求回归直线方程，你有哪对于求回归直线方程，你有哪些想法？些想法？(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)可以用可以用 或或 ，其中其中 .|iiyy-2()iiyy-iiybxa=+思考思考3 3：对一组具有线性相关关系的样对一组具有线性相关关系的样本数据：本数据：(x(x1 1，y y1 1)，(x(x2 2，y y2 2)，(x(xn n，y yn n)，设其回归方程为，设其回归方程为 可以可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？归直线的接近程度？ybxa=+思考思考4 4：为了从整体上反映为了从整体上反映n n个样本数个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？用哪个数量关系来刻画比较合适？21()niiiQyy2221122()()()nnybxaybxaybxa(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)思考思考5 5：根据有关数学原理分析，当根据有关数学原理分析，当 时，总体偏差时，总体偏差 为最小，这样为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做方法叫做最小二乘法最小二乘法.回归方程回归方程中，中，的几何意义分别是什么？的几何意义分别是什么？1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybaybxxxxnx21()niiiQyyybxa=+,a b思考思考6 6：利用计算器或计算机可求得年龄和利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 ，由此我们可以根据，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的比的回归值回归值.若某人若某人3737岁，则其体内脂肪含岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？量的百分比约为多少？0.5770.448yx=-20.9%20.9%理论迁移理论迁移 例例 有一个同学家开了一个小卖部，有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：天气温的对比表：摄氏温摄氏温度度(）-504712热饮杯热饮杯数数 15615013212813015192327313611610489937654摄氏温摄氏温度度(）-504712热饮杯热饮杯数数 15615013212813015192327313611610489937654（1 1）画出散点图；）画出散点图；（2 2）从散点图中发现气温与热饮杯数之）从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系的一般规律；间关系的一般规律；（3 3）求回归方程；）求回归方程；（4 4）如果某天的气温是）如果某天的气温是22，预测这天卖，预测这天卖出的热饮杯数出的热饮杯数.当当x=2x=2时，时，y=143.063.y=143.063.小结作业小结作业1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 ,xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 ,1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，计算第三步，计算 ybxa=+第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性归直线也具有随机性.3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得可以求得“回归方程回归方程”，如果这组数据不具，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的所得的“回归方程回归方程”是没有实际意义的是没有实际意义的.因此，因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程性相关关系的前提下再求回归方程.
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