管理过程的数学模型

管理过程的数学模型主要内容主要内容v虚拟解释变量虚拟解释变量v虚拟因变量虚拟因变量 v滞后变量滞后变量v趋势变量趋势变量v面板数据面板数据v非线性模型非线性模型3.1 虚拟解释变量一.虚拟解释变量模型v虚拟变量：某些因素对解释因变量是必须的，但它们是定性的、不可计量的；为了将这些变量引入所要研究的模型，必须将它们数量化：比如起作用时赋值1，或0；不起作用时赋值0，或1，这样的变量称为虚拟变量v比如：天气、季节、性别等v本节讨论虚拟变量作为解释变量的模型例1v研究学生体重与身高的关系，随机抽样80名学生，其中48名男生，32名女生（W表示体重，单位磅；h表示身高，单位英寸）v模型A：(-5.2066)(8.6246)v模型B:(-2.5884)(4.0149)(5.1613)其中hW5662.506651.232hDW7402.38238.239621.122：女生：男生01D虚拟变量的影响hW男生女生截距项位移例2v研究工作经验对工资的影响，假设由于法律的原因，男性和女性参加工作时的起薪是一样的v建立模型（Y是月薪，X是工龄）uXDY)(21：女性：男性01D虚拟变量的影响斜率项位移hW男性女性XY)(21XY1例3v对例2，如果男女参加工作时的起薪存在性别歧视，应如何修正模型？uXDDY)(2121：女性：男性01D虚拟变量的影响截距项和斜率项均位移hW男性女性XY)()(2121XY11例4-Av研究学历对工作的影响，建立模型（Y:参加工作的起薪）v模型A:uDbbY10大学及以上中学小学文盲3210D例4-Bv模型B:uDbDbDbDbbY443322110非大学大学011D非中学中学012D非小学小学013D非文盲文盲014D虚拟变量陷阱v对模型B110001010010010100011正规方程系数矩阵非满秩矩阵存在多重共线性虚拟变量陷阱v欲表征的状态数等于虚拟变量个数v此时存在完全多重共线性v因此，虚拟变量个数=欲表征的状态数-1例4-Cv模型C：uDbDbDbbY3322110非大学大学011D非中学中学012D非小学小学013D季节性变动虚拟变量v销售函数模型v考虑销售量的季节性波动，应如何引入虚拟变量?tktkttuXbXbbC110ttttktkttuQaQaQaXbXbbC332211110其它季季第01iQiti=1,2,3二.结构稳定性检验与分段线性回归1.结构稳定性检验v检验模型反映的经济结构是否由于受到某种因素的影响而发生变化v例如:时间序列数据，1992年后解释变量的参数可能发生变化界面数据，东部省份和中西部省份的回归结果不一致结构稳定性的 Chow 检验v对总样本进行回归v将总样本分成两个子样本，分别回归v构造统计量)1(2,1()1(2/)(1/)(21212121knnkFknnSSkSSSF经济结构显著变化著变化经济结构稳定，没有显FFFF参数稳定性Chow检验v判断样本扩大时，模型参数的估计是否具有稳定性v对原样本（n1）进行回归v增加n2个观测值，组成新样本（n1+n2）进行回归v构成统计量)1(,()1(/(/)(1211210knnFknSnSSF变化参数不稳定，经济规律有变化参数稳定，经济规律没FFFF举例v研究各省市旅游外汇收入，建立模型（Y：旅游外汇收入；X1旅行社职工人数；X2国际旅游人数）：v得到回归方程：(3.067)(6.653)(3.378)v分别对东部地区（东北、华北、华东、华南）15省市和西部地区（华中、西南、西北）16省市进行回归uXbXbbY22110uXXY215452.11179.003.15199.2)25,3(97.1105.0FF2.分段线性回归v模型结构发生变化，但回归函数保持连续v在一个时刻结构发生变化：XYb1ttbtttttbtttuXXYDuXYDTtbbtDuDXXXY)()(10)(1)1(0)(21120110111111210时，当时，当v在两个时刻结构发生变化：)()()()()()()1()(1)1(0)(1)1(0)()(232123120212112011022211122311210TtbuXXXbtbuXXbtuXYTtbbtDTtbbtDuDXXDXXXYttbbttbttttbtbttt分段形式：3.2 虚拟因变量(受限因变量、分类选择模型)v被解释变量是定性变量。如家庭是否拥有自己的住宅，企业是否在某个地区投资，成年男子是否在“参与劳动”等。v常见模型：线性概率模型（LPM）对数单位模型（Logit Model）概率单位模型（Probit Model）一.线性概率模型表示家庭收入，没有住房，如果拥有住房其中，为以下形式：以一元模型为例，iiiiXYuXYLPM0121与一般线性模型相比，Y不再服从正态分布，而是一个二项分布)|1()|1(1(0)|1(1)|()|1(1)|1(21iiiiiiiiiiiiiiXYPXYPXYPXXYEXYPXYPX条件期望：是则不拥有住房的概率就率为家庭拥有住房的条件概记收入为的概率而是因变量取是因变量的期望值，模型拟合的事实上不因此对1iX线性概率模型的问题点估计仍然是无偏的。但是。实际上它遵循二项分布是正态分布的：显然，我们不能再假定时，当时，当也取两个值。因此），只取两个值，而OLSuXuYXuYuXYuYiiiiiiiiiiii212121011(1)随机项非正态性(2)异方差概率总和1iuiX21iX211iP1iP异方差因此不同，的取值不同，所以对不同的样本点，iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuPXPPXXXXXXPXPXuEuEuEuEu)1()1)()()1()1()()()1()1()()0)()()()var(2121212212122122122122异方差的处理v随机项异方差，OLS估计量线性无偏但不是有效的v用加权最小二乘法（WLS）处理v方程两边同时除以)1(iiPP(3)值域问题v问题：条件期望的值可能超出0,1区间，这是线性概率模型的严重缺点v处理：大于1的当作1，小于0的当作0采用Logit 或Probit模型(4)拟合优度问题v线性概率模型的拟合优度一般不高，在0.2到0.6之间1YX0受约束)(b1YX0无约束)(aLPMLPM对于受约束的LPM(b)一般 不会大，大多数实例)6.0,2.0(2R2R二.Logit模型v思路：出于线性概率模型的缺陷，希望对它进行变换，使预测对于所有的X都落在（0,1）之间1P0X基本思路v随着X增加，因变量增加（或减少），因此用一个累计概率函数F来描述v可有多种累计概率函数，得出不同的模型，一般只采用两种：累计logistic概率函数Logit模型累计正态概率函数Probit模型)(iiXFP）？系（问：如何估计非线性关。变为从，变到从当）变为则（令比较式模型中条件概率的表达）（模型、110111)|()|1(:)1(11)|()|1(112121)(21iiZiiiiiiiiXiiiiiPZePXZXXYEXYPPLPMeXYEXYPPLogitLogitii机会表示有利于拥有住房的则且表示拥有住房的概率，如：”（）线性化与“机会比率（1:42.0/8.0)1/(8.0111111)2212121)()(iiiiXiiXiXiPPPPePPePePratiooddsiii）估计以由表达式（在估计出回归系数后可其拥有住房的概率如对于某个收入水平，比的变化每单元变化的给出斜率系数不然为线性，但概率本身却对虽然变到从，变到从随着模型的特点）（模型的表达式）（1,104)2()1ln(3*221XLXXLLPLogituXPPLLogitiiiii会出现无穷大量。这些数代入模型的左边。否则有住宅的数据，那么当家庭拥庭困难。如果只有个别家数值。这时会遇到一些，还需要知道对数值除了解释变量的数据外为了估计模型模型的估计、0,1)1ln(221iiiiiiiiPPLuXPPLLogitiiiNnP 率这时考虑用频率代替概 (收入等于 的家庭个数）（其中拥有住房的家庭数）640885012106018402520iXiNiXiniiiNnP。注：样本应当合理得大设。建立置信区间和检验假用估计用模型的回归步骤OLSstepUXwLOLSstepPPNwwuwXwwLstepPPLstepNnPstepLogitiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii:5/:4)1(1/:3)1ln(:2:1*21*21处理异方差三.Probit模型iiXtItiiiiiidtedteIFXYEXYPPprobit21222/2/2121)()|()|1(式模型中条件概率的表达异方差处理。注：在大样本中有效，估计回归方程。用进行回归，对用得到（读出，从标准正态给定从分组数据得估计步骤：OLSXIstepPFICDFPstepNnPstepiiiiiiii:3):2:111P0XLPMLogitProbit比较Logit模型最常用模型最常用3.3 滞后变量模型一.滞后变量模型v对采用时间序列数据的模型，相关变量的滞后值作为解释变量外生滞后变量模型内生滞后变量模型v滞后变量模型实质上考虑的是经济系统的动态变化，也可称为动态模型1.外生滞后变量模型（分布滞后模型）tktktttuXbXbXbaY1100举例：利率的动态模型),(43214321tttttttttttDDDDDMMMMMfrr：利率M：货币供给D：国库券弥补的预算赤字(1)考伊克滞后（几何滞后）tttttuXXXY22010010间隔时间越长，对因变量的影响越小，类似的模型都可用考伊克变换tttttuXXXY32020101101)1(tttttuuXYYttttvXYY01*考伊克滞后的权重123465i(滞后)(权重i(2)阿尔蒙滞后（多项式滞后）rriiii2210一般取3次多项式，4期滞后321043210332102321010064164)4(2793)3(842)2()1()0(ffffftttttttttttuXXXXXXXXXXY432103321023210132100443322110)64164()2793()842()(tttttttttttttttttttuXXXXXXXXXXXXXXXXXY)64278()1694()432()(43213432124321143210根据这个模型可根据这个模型可以求出各个参数以求出各个参数v考伊克变换只能表示影响递减的情形v阿尔蒙模型的好处在于，它可以用多项式近似获得连续函数，反映各种复杂的影响，比如在两三个季度或两三年后才产生的影响123465i(滞后)(权重i2.内生滞后变量模型（自回归模型）(1)部分调整模型v例：某家公司的理想库存水平为 ，实际库存水平 ，假设理想的库存水平由销售量决定：v由于市场摩擦，实际水平和理想水平之间的差距不能迅速合拢，只能部分弥补*YYtXY*tttttuYYYY)(1*1ttttuXYY1)1(2)适应性预期模型v例：假设居民的消费决定于期望收入v根据早前实现的期望值对期望值进行修改tttuXY*)(*11*1*ttttXXXX期望方程*11*)1(tttXXXttttuXXY*11)1(1)(2)(3)(3)代入(1)(1)滞后一期，并乘1-r(4)1*11)1()1()1()1(tttuXY(5)(4)-(5)得：ttttvYXY11)1(与前面考伊克变换得出的模型形式一样，不过参数的意义有所不同二.因果关系检验v检验两个变量是否存在因果关系，由Granger和Sims提出，称为Granger因果关系检验v基本思想：如果X的变化（因）引起Y的变化（果），则X的变化应当发生在Y的变化之前vX是引起Y变化的原因，则必须同时满足：X有助于预测YY有助于预测X对两变量Y与X，格兰杰因果关系检验要求估计:titmiimiititYXY111(*)titmiimiititXYX211(*)可能存在有四种检验结果：（1）X对Y有单向影响，表现为（*）式X各滞后项前的参数整体为零，而Y各滞后项前的参数整体不为零；（2）Y对X有单向影响，表现为（*）式Y各滞后项前的参数整体为零，而X各滞后项前的参数整体不为零；（3）Y与X间存在双向影响，表现为Y与X各滞后项前的参数整体不为零；（4）Y与X间不存在影响，表现为Y与X各滞后项前的参数整体为零。titmiimiititYXY111无限制条件回归有限制条件回归itmiititYY1得残差平方和ESSUR得残差平方和ESSR),(ESSESSESSknmFknmFURURRn为观测个数k为无限制条件回归待估参数个数如果:FF(m,n-k)，则拒绝原假设，认为X是Y的格兰杰原因。常见问题v格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。v因此，一般而言，常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机误差项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。举例：检验19782000年间中国当年价GDP与居民消费CONS的因果关系 中国中国GDP 与消费支出（亿元）与消费支出（亿元）年份 人均居民消费 CONSP 人均GDP GDPP 年份 人均居民消费 CONSP 人均GDP GDPP 1978 1759.1 3605.6 1990 9113.2 18319.5 1979 2005.4 4074.0 1991 10315.9 21280.4 1980 2317.1 4551.3 1992 12459.8 25863.7 1981 2604.1 4901.4 1993 15682.4 34500.7 1982 2867.9 5489.2 1994 20809.8 46690.7 1983 3182.5 6076.3 1995 26944.5 58510.5 1984 3674.5 7164.4 1996 32152.3 68330.4 1985 4589 8792.1 1997 34854.6 74894.2 1986 5175 10132.8 1998 36921.1 79003.3 1987 5961.2 11784.7 1999 39334.4 82673.1 1988 7633.1 14704.0 2000 42911.9 89112.5 1989 8523.5 16466.0 取两阶滞后，Eviews给出的估计结果为：Pairwise Granger Causality Tests Sample:1978 2000 Lags:2 Null Hypothesis:Obs F-Statistic Probability GDP does not Granger Cause CONS 21 4.29749 0.03208 CONS does not Granger Cause GDP 1.82325 0.19350 判断：=5%，临界值F0.05(2,17)=3.59拒绝“GDP不是CONS的格兰杰原因”的假设，不拒绝“CONS不是GDP的格兰杰原因”的假设。因此，从2阶滞后的情况看，GDP的增长是居民消费增长的原因，而不是相反。但在2阶滞后时，检验的模型存在1阶自相关性。表表 5.2.4 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验 滞后长度 格兰杰因果性 F 值 P 值 LM 值 AIC 值 结论 2 GDPCONS 4.297 0.032 0.009 16.08 拒绝 CONSGDP 1.823 0.194 0.008 17.86 不拒绝 3 GDPCONS 10.219 0.001 0.010 15.14 拒绝 CONSGDP 4.096 0.691 0.191 17.14 不拒绝 4 GDPCONS 19.643 10E-04 0.110 14.70 拒绝 CONSGDP 5.247 0.015 0.027 16.42 拒绝 5 GDPCONS 10.321 0.004 0.464 14.72 拒绝 CONSGDP 5.085 0.028 0.874 16.30 拒绝 6 GDPCONS 4.705 0.078 0.022 14.99 不拒绝 CONSGDP 7.773 0.034 1.000 16.05 拒绝 v随着滞后阶数的增加，拒绝“GDP是居民消费CONS的原因”的概率变大，而拒绝“居民消费CONS是GDP的原因”的概率变小。v如果同时考虑检验模型的序列相关性以及赤池信息准则，发现：滞后4阶或5阶的检验模型不具有1阶自相关性，而且也拥有较小的AIC值v判断结果是：GDP与CONS有双向的格兰杰因果关系，即相互影响。分析：分析：3.4 趋势变量(时间变量)v用时间序列的观测时期所代表的时间作为模型的解释变量，用来解释被解释变量随时间推移的自发变化趋势。这种变量称为时间变量或趋势变量。v只采用时间变量作为解释变量的模型称为增长曲线模型v引入时间变量只是为了更好地解释被解释变量，但时间并不是经济活动变化的原因，因此本届讨论的都是非因果关系模型vt的取值：t=1980，1981，1982，t=1，2，3，t=-3，-2，-1，0，1，2，3，(n为奇数)t=，-5，-3，-1，1，3，5，(n为偶数)常见增长曲线模型v多项式增长曲线模型v简单指数型增长曲线模型v修正指数型增长曲线模型v逻辑增长曲线模型v龚珀兹增长曲线模型kktttty2210ttaby ttabky逻辑(Logistic)增长曲线v由Verlulst于1845年提出，用于模拟人口增长，俗称“S曲线”v一般形式：v常见的简化形式（狭义逻辑增长曲线模型）：)(1tteKybttaeKy1逻辑(Logistic)增长曲线y 增长率y数量t时间K龚珀兹(Gompertz)曲线v由B.Gompertz于1825年提出v上限逼近值K，下限逼近值0，与逻辑增长曲线相似，但二者的拐点位置不同bttKay 含趋势变量的一般模型v一个例子：研究我国资本外逃对经济增长的影响，建立如下模型（贺力平等，2004）：vCF是资本外逃量，时间变量t用来概括影响实际GDP的一般因素tttutCFGDP2103.5 面板数据vPanel Data，翻译为面板数据或平行数据，是指包含若干个体在一个时间区域内(若干时点)的样本。样本中的每一个个体都具有很多观测(构成时间序列)在每个确定的时点也具有由各个个体数据组成的观测(构成截面数据)TtNiXYititititit,1,1其中N是截面的个体数量，T是时间序列的时段个数优点和问题v平行数据很有用，它可以使研究人员得到单用截面数据或单用时间序列数据都无法获得的经济信息。其它的好处还有：平行数据通常含有很多的数据点，样本具有较大的自由度；截面变量和时间变量的结合信息能够显著地减少缺省变量所带来的问题。v另一方面，平行数据的使用也使模型的确认变得更加困难。平行数据的干扰可能包含时间序列干扰、截面数据干扰，以及时间序列与截面的混合干扰。估计方法v融合方法：将所有的时间序列和截面数据互相融合(或者说混合在一起)，然后用LS估计可能的模型。v固定效应模型：添加虚拟变量以便允许截距变化，这主要基于缺省变量可能引起截面截距和时间序列截距的变化。v随机效应模型：考虑截面和时间序列的干扰(误差)改进第一种方法中LS估计的有效性。一.融合方法(普通最小二乘法)v对前述面板数据模型，如果误差项满足古典线性模型假设，我们可以对截面数据逐个回归，比如对于t=1：共有T个这样的模型。v类似地，我们还可以对时间序列数据逐个回归，比如对于i=1:共有N个这样的模型。v如果,的真值对于时间序列和截面个体来说都是一样的常数，我们就可以混合所有数据，用NT个观测进行一个大的融合回归：TtNiXYititit,1,1NiXYiii,1111TtXYttt,1111二.固定效应模型v最小二乘融合方法的问题在于常数截距和常数斜率的假设可能不合理。如果每个截面都是不同的模型，那么融合就不合适了。v处理截距问题的最好办法，是引进允许截距项随时间和截面个体变化的虚拟变量，这就是固定效应模型：其中itiTTiiNtNttititZZZWWWXY33223322其他个个体如果是第N，iiZit,2;01其他个时段如果是第T，ttWit,2;01v是否添加虚拟变量可以通过统计的假设检验决定。v检验就是比较两种平行数据运用方法的误差平方和。因为第一种方法比固定效应模型包含更多的参数限制条件(不同时间和不同个体的截距相等)，通常拟合程度更差，误差平方和会大些。v如果添加的限制条件引起的误差平方和增加的不显著，就认为添加的限制条件合适，采用第一种方法(可以融合回归)；如果误差平方和的变化过大，我们就选择固定效应模型。v检验统计量为)/()2/()(221,2TNNTESSTNESSESSFTNNTTN固定效应模型的优点和问题v能够分析对任一给定的截面单位，因变量与整个截面均值之间的差异程度v虚拟变量的使用不直接确认回归直线随时间和个体而变动的原因v虚拟变量的引入会大大减少模型的自由度三.随机效应模型v在第二种方法中采用虚拟变量，是考虑到第一种方法对信息的利用可能不够充分。另一种改善的方法是通过误差项来描述这种信息的不完整性，这就是随机效应模型v其中v它们彼此不相关，且不存在自相关。itititXYittiit反映截面误差成份),0(2Ni反映时间序列误差成份),0(2Nt反映混合误差成份),0(2Nit四.似不相关回归(SUR)v一个更常用的方法是“似不相关回归”，由泽尔尼1962年提出，并可在一般的计量经济学软件（如Eviews）轻松实现v假设误差项在各个横截面组中不同，但并不随时间而不同，例如有三个横截面v误差项之间存在同期相关性tttttttttXYXYXY333332222211111133123321221),(Cov),(Cov),(Covtttttt似不相关回归的步骤vStep1:使用OLS估计每个方程并求残差vStep2:使用残差估计方差和协方差vStep3:使用Step2中的估计值求所有参数的可行广义最小二乘估计值（FGLS）3.6 非线性模型v内在线性模型：能转化为线性模型的非线性模型v非线性模型的一般方法双曲函数模型XbbY110XX1*10XbbY举例：需求函数一.内在线性模型指数函数模型XbAeY1XbAY1lnlnAbYYln,ln0*XbbY10*这种形式称为对数线性模型或半对数模型幂函数模型eAXYb1XbAYlnlnln1AbXXYYln,ln,ln0*10*XbbY这种形式称为对数对数模型或双对数模型举例：柯布-道格拉斯生产函数多项式函数模型kkXbXbXbbY2210kkX，XXXXX*2*2*1,*22*110kXbXbXbbYk适用范围：边际量不单调的函数，比如短期生产函数逻辑增长曲线btKaKyeKaKyeKaKyaeKybtbtbtt)ln()11ln(11111v已被线性化，但依然无法估计参数，因为不知道K的值。可根据经济背景给出K的上下限，分别估计，按残差平方和最小的原则，逐步缩小K的范围v第二种方法是“三和法”估计，参考李子奈著计量经济学v第三种方法：按一般非线性模型估计参数龚珀兹曲线tbaKyKaybtt)(ln)ln(ln)ln(ln与逻辑增长曲线一样，共有三种方法非线性模型的一般方法(1)v直接优化法：0),(2),()(),(22jjiibfBXfYbQBXfYeBQBXfY非线性模型的一般方法(2)v泰勒级数展开敛重复上述步骤，逐步收估计，得省略高阶项作最小二乘泰勒级数展开设定一组初始值1211112022100201021020102121,)(21)(),;,(,),;,(00bbbbbbfbbbfbbbXXXfYbbbbbbXXXfYjjjbjjjjbjkkii