数字PID及其算法

范立南 李雪飞 编著机械工业出版社计算机控制技术第5章 数字PID及其算法第5章 数字PID及其算法 5.1 PID算法的离散化5.2 位置式PID算法5.3 增量式PID算法5.4 数字PID算法的改进5.5 PID算法程序的实现5.6 数字PID算法的参数整定第第5章章 数字数字PID及其算法及其算法 PID是Proportional（比例）、Integral（积分）、Differential（微分）三者的缩写。PID调节的实质是根据输入的偏差值，按比例、积分、微分的函数关系进行运算，运算结果用以控制输出。在实际应用中，根据被控对象的特性和控制要求，可以灵活地改变PID的结构，比如：比例（P）调节、比例积分（PI）调节、比例积分微分（PID）调节。为了充分发挥计算机的运算速度快、逻辑判断功能强等优势，进一步改善控制效果，在PID算法上作了一些改进，就产生了积分分离PID算法、不完全微分PID算法、变速积分PID算法等来满足生产过程提出的各种要求。5.1 PID算法的离散化算法的离散化 在连续控制系统中，常常采用如图5-1所示的PID控制。其控制规律为tteTtteTteKtutd)(dd)(1)()(D0IP（5-1）图5-1 模拟PID控制系统框图5.1 PID算法的离散化算法的离散化 对式（5-1）取拉氏变换，并整理后得到模拟PID调节器的传递函数为sTsTKsEsUsDDIP11)()()(（5-2）式中，KP比例系数；TI积分时间常数；TD微分时间常数；e（t）偏差；u（t）控制量。5.1 PID算法的离散化算法的离散化 由式（5-1）（5-2）可以看出：比例控制能提高系统的动态响应速度，迅速反应误差，从而减小误差，但比例控制不能消除稳态误差，KP的加大，会引起系统的不稳定；积分控制的作用是消除稳态误差，因为只要系统存在误差，积分作用就不断地积累，输出控制量以消除误差，直到偏差为零，积分作用才停止，但积分作用太强会使系统超调量加大，甚至使系统出现振荡；微分控制与偏差的变化率有关，它可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高，同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。5.1 PID算法的离散化算法的离散化 对式（5-1）进行离散化处理，用求和代替积分，用向后差分代替微分，使模拟PID离散化为数字形式的差分方程。在采样周期足够小时，可作如下近似)()(kutu（5-3）)()(kete（5-4）kikitiTetiette000)()(d)(（5-5）Tkeketkekette)1()()1()(d)(d（5-6）5.1 PID算法的离散化算法的离散化式中，T为采样周期；k为采样序号，k=0，1，2，5.2 位置式位置式PID算法算法 由式（5-1）式（5-6）可得离散化之后的表达式为)1()()()(K )1()()()()(D0IPD0IPkekeKieKkekekeTTieTTkeKkukiki（5-7）式中，e(k)第k次采样时的偏差值；e(k-1)第（k-1）次采样时的偏差值；u(k)第k次采样时调节器的输出。KP比例系数；积分系数；微分系数；IPITTKK TTKKDPD5.2 位置式位置式PID算法算法 式（5-7）中所得到的第k次采样时调节器的输出u(k)，表示在数字控制系统中，在第k时刻执行机构所应达到的位置。如果执行机构采用调节阀，则u(k)就对应阀门的开度，因此通常把式（5-7）称为位置式PID控制算法。由式（5-7）可以看出，数字调节器的输出u(k)跟过去的所有偏差信号有关，计算机需要对e（i）进行累加，运算工作量很大，而且，计算机的故障可能使u(k)做大幅度的变化，这种情况往往使控制很不方便，而且有些场合可能会造成严重的事故。因此，在实际的控制系统中不太常用这种方法。5.3 增量式增量式PID算法算法 根据递推原理，写出位置式PID算法的第（k-1）次输出的表达式为)2()1()()1()2()1()()1()1(D10IPD10IPkekeKieKkeKkekeTTieTTkeKkukiki（5-8）用式（5-7）减去式（5-8），可得数字PID增量式控制算法为)2()1(2)()()1()()2()1(2)(T)()1()()1()()(DIPDIPkekekeKkeKkekeKkekekeTkeTTkekeKkukuku （5-9）5.3 增量式增量式PID算法算法 增量式算法和位置式算法相比具有以下几个优点。增量式算法只与e（k）、e（k-1）和e（k-2）有关，不需要进行累加，不易引起积分饱和，因此能获得较好的控制效果。在位置式控制算法中，由手动到自动切换时，必须首先使计算机的输出值等于阀门的原始开度，即，才能保证手动到自动的无扰动切换，这将给程序设计带来困难。而增量式设计只与本次的偏差值有关，与阀门原来的位置无关，因而易于实现手动/自动的无扰动切换。增量式算法中，计算机只输出增量，误动作时影响小。必要时可加逻辑保护，限制或禁止故障时的输出。5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进5.4.1 积分分离积分分离PID算法算法 积分分离PID算法的基本思想是：设置一个积分分离阈值，当 时，采用PID控制，以便于消除静差，提高控制精度；当 时，采用PD控制，以使超调量大幅度降低。)(ke)(ke5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进积分分离PID算法可以表示为)1()()()(K)(D0IPkekeKieKkekuki（5-10）或)2()1(2)()()1()()(DIPkekekeKkeKkekeKku （5-11）式（5-10）（5-11）中，为逻辑变量，其取值为)(,0)(,1keke5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 对于同一个控制对象，分别采用普通PID控制和积分分离PID控制，其响应曲线如图5-2所示。图5-2 积分分离PID控制效果1-普通PID控制效果 2-积分分离PID控制效果5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进5.4.2 不完全微分不完全微分PID算法算法 微分环节的引入是为了改善系统的动态性能，但对于具有高频扰动的生产过程时，微分作用响应过于灵敏，容易引起控制过程振荡，反而会降低控制品质。比如当被控制量突然变化时，正比于偏差变化率的微分输出就会很大，而计算机对每个控制回路输出时间是短暂的，且驱动执行器动作又需要一定的时间。所以在短暂的时间内，执行器可能达不到控制量的要求值，实质上是丢失了控制信息，致使输出失真，这就是所谓的微分失控。5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 为了克服这一缺点，同时又要使微分作用有效，可以在PID控制器的输出端再串联一阶惯性环节（比如低通滤波器）来抑制高频干扰，平滑控制器的输出，这样就组成了不完全微分PID控制，如图5-3所示。图5-3 不完全微分PID控制器5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 一阶惯性环节Df（s）的传递函数为 11)(ffsTsD（5-12）因为tteTdtteTteKtutd)(d)(1)()(D0IP（5-13）)()(d)(dftututtuT （5-14）所以tteTtteTteKtuttuTtd)(dd)(1)()(d)(dD0IPf（5-15）5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 对上式进行离散化处理，可得到不完全微分PID位置式控制算法)()1()1()(kukuku （5-16）式中，)1()()()()(D0IPkekeTTieTTkeKkukiTTTf5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 与普通PID控制算法一样，不完全微分PID控制算法也有增量式控制算法，即)()1()1()(kukuku（5-17）式中，)2()1(2)()()1()()(DIPkekekeKkeKkekeKku5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 在单位阶跃输入下，普通PID控制算法和不完全微分PID控制算法的阶跃响应比较如图5-4所示。图5-4 PID控制的阶跃响应比较5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 由图可见，普通PID控制中的微分作用只在第一个采样周期内起作用，而且作用较强。一般的执行机构，无法在较短的采样周期内跟踪较大的微分作用输出，而且理想微分容易引起高频干扰；而不完全微分PID控制中的微分作用能缓慢地维持多个采样周期，使得一般的工业执行机构能较好地跟踪微分作用的输出。又由于其中含有一个低通滤波器，因此，抗干扰能力较强。5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进5.4.3 变速积分变速积分PID算法算法 变速积分PID的基本思想是设法改变积分项的累加速度，使其与偏差的大小相对应。偏差越大，积分速度越慢；反之，偏差越小时，积分速度越快。设置一系数 ，它是 的函数。当 增大时，f 减小，反之增加。每次采样后，用 乘以 ，再进行累加，即)(kef)(ke)(ke)(kef)(ke)()()()(10IikekefieKkuki（5-18）式中，表示变速积分项的输出值。)(iku5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进 系数 与 的关系可以是线性或非线性的，比如可以设为如下的关系式)(kef)(keBAkeBAkeBABkeABkekef)(0)()()(1)(（5-19）将 代入PID算式，得到变速积分PID算法为)(iku)1()()()()()(K)(D10IPkekeKkekefieKkekuki（5-20）5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进5.4.4 带死区的带死区的PID算法算法 某些生产过程对控制精度要求不是很高，但希望系统工作平稳，执行机构不要频繁动作。针对这类系统，人们提出了一种带死区的PID控制算法。带死区的PID算法为：BkekKuBkekuku)()()()()(，（5-21）式中，K为死区增益，其数值可为0，0.25，0.5，1等；死区B为一个可调的参数。其具体数值可根据实际控制对象由实验确定。5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进带死区PID控制的动作特性如图5-5所示。图5-5 带死区PID控制的动作特性5.4 数字数字PID算法的改进算法的改进5.4.5 PID比率控制比率控制 PID比率控制算法即将两种物料的比例作为被控制量，对其进行PID调节。例如，在加热炉燃烧系统中，要求空气和煤气按一定的比例供给，若空气量比较多，将带走大量的热量，使炉温下降；反之，如果煤气量过多，则会有一部分煤气不能完全燃烧而造成浪费。采用PID比率控制的过程为：煤气和空气的流量差压信号经变送器后，经计算机作开方运算，得到煤气和空气的流量qa、qb，再用qa除以qb得到一个比值d（k），给定值r（k）与d（k）相减得到偏差信号e（k），该偏差信号e（k）经PID控制器调节后输出一个控制信号给调节阀，以控制一定比例的空气和煤气。5.5 PID算法程序实现算法程序实现5.5.1 位置式位置式PID算法的程序设计算法的程序设计 为了方便程序设计，可以对式（5-7）所示的位置式PID算法作进一步整理，方法如下。设比例项输出为)()(PPkeKku积分项输出为)1()()()()()(II10II0IIkukeKieKkeKieKkukiki5.5 PID算法程序实现算法程序实现微分项输出为)1()()(DDkekeKku则式（5-7）可以写成)()()()(DIPkukukuku （5-22）式（5-22）的流程图如图5-6所示。5.5 PID算法程序实现算法程序实现图5-6 位置式PID运算程序流程图5.5 PID算法程序实现算法程序实现5.5.2 增量式增量式PID算法的程序设计算法的程序设计对式（5-8）所示的增量式PID算法可以进一步改写为)2()1()()2()1()2()()()(210DDPDIPkedkedkedkeKkeKKkeKKKku（5-23）其中，DIP0KKKd)2(DP1KKdD2Kd式（5-23）的流程图如图5-7所示。5.5 PID算法程序实现算法程序实现图5-7 增量式PID算法程序流程图5.5 PID算法程序实现算法程序实现5.5.3 积分分离积分分离PID算法的程序设计算法的程序设计对式（5-11）重新改写为)()2()1()()(I210keKkeckeckecku（5-24）其中，DP0KKcDP12KKcD2Kc 令)2()1()()(210keckeckecku则)()()(IkeKkuku （5-25）式（5-24）和（5-25）的流程图如图5-8所示。5.5 PID算法程序实现算法程序实现图5-8 积分分离PID算法流程图5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定5.6.1 采样周期采样周期T的确定的确定一般应考虑的因素如下：1被控对象的特性 若被控对象是慢速变化的对象时，采样周期一般取得较大；若被控对象是快速变化的对象时，采样周期应取得小一些，否则，采样信号无法反映瞬变过程；如果系统纯滞后占主导地位时，应按纯滞后大小选取采样周期T，尽可能使纯滞后时间接近或等于采样周期的整数倍。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定2扰动信号 采样周期应远远小于扰动信号的周期，为了能够采用滤波的方法消除干扰信号，一般使扰动信号周期与采样周期成整数倍。3控制的回路数 如果控制的回路数较多，计算的工作量较大，则采样周期长一些；反之，可以短些。4执行机构的响应速度 执行机构的动作惯性较大，采样周期T应能与之相适应。如果采样周期过短，那么响应速度慢执行机构就会来不及反映数字控制器输出值的变化。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定5控制算法的类型 当采用PID算法时，如果选择采样周期T太小，将使微分积分作用不明显。因为当T小到一定程度后，由于受到计算精度的限制，偏差始终为零。另外，各种控制算法也需要计算时间。6给定值的变化频率 加到被控对象上的给定值变化频率越高，采用频率应越高。这样给定值的改变才可以得到迅速反应。7考虑A/D、D/A转换器的性能 A/D、D/A转换器的速度快，采用周期可以小些。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定5.6.2 扩充临界比例度法扩充临界比例度法 扩充临界比例度法是基于模拟调节器中使用的临界比例度法的一种PID数字调节器的参数整定方法。具体步骤如下：（1）选择一个足够短的采样周期Tmin。例如带有纯滞后的系统，其采样周期取纯滞后时间的十分之一以下。（2）求出临界比例度u和临界振荡周期Tu。具体方法是：将上述的采样周期Tmin输入到计算机中，使用纯比例控制，调节比例系数KP，直到系统产生等幅振荡为止。所得到的比例度（）即为临界比例度 ，此时的振荡周期即为临界振荡周期Tu。P1Ku5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定（3）选择控制度。所谓控制度，就是以模拟调节器为准，将DDC的控制效果与模拟调节器的控制效果相比较。控制效果的评价函数通常采用 （误差平方积分）表示。02)(dtte控制度=模拟02DDC02d)(d)(ttette（5-26）对于模拟系统，其误差平方积分可按记录纸上的图形面积计算。而DDC系统可用计算机直接计算。通常当控制度为1.05时，表示DDC系统与模拟系统的控制效果相当。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定（4）根据选定的控制度，查表5-1，即可求出T、KP、TI、TD的值，进而求出T、KP、KI、KD的值。控制度控制规律TKPTITD1.05PI0.03Tu0.53u0.88 TuPID0.014Tu0.63u0.49 Tu0.14 Tu1.2PI0.05Tu0.49u0.91 TuPID0.043Tu0.47u0.47 Tu0.16 Tu1.5PI0.14Tu0.42u0.99 TuPID0.09Tu0.34u0.43 Tu0.20 Tu2.0PI0.22Tu0.36u1.05 TuPID0.16Tu0.27u0.40 Tu0.22 Tu5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定（5）按求得的参数运行，在运行中观察控制效果，再适当地调整参数，直到获得满意的控制效果。该参数整定方法适用于具有一阶滞后环节的被控对象，否则，最好选用其他的方法整定。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定5.6.3 扩充响应曲线法扩充响应曲线法 对于那些不允许进行临界振荡实验的系统，可以采用扩充响应曲线法。具体方法如下：（1）断开数字PID控制器，使系统在手动状态下工作。当系统在给定值处达到平衡以后，给一个阶跃输入信号。（2）用仪表记录下被控参数在此阶跃输入信号作用下的变化过程，即阶跃响应曲线，如图5-9所示。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定图5-9 被控参数的阶跃响应曲线5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定（3）在曲线的最大斜率处作切线，该切线与横轴以及系统响应稳态值的延长线相交于a、b两点，过b点作横轴的垂线，并与横轴交于c点，于是得到滞后时间和被控对象的时间常数，再求出 的值。（4）选择控制度。（5）查表5-2，即可求出T、KP、TI、TD的值，进而求出T、KP、KI、KD的值。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定控制度控制规律TKPTITD1.05PI0.10.84/0.34PID0.050.15/2.00.451.20PI0.20.78/3.6PID0.161.0/1.90.551.50PI0.50.68/3.9PID0.340.85/1.620.652.00PI0.80.57/4.2PID0.60.6/1.50.82表5-2 扩充响应曲线法参数整定公式5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定（6）按求得的参数运行，在运行中观察控制效果，再适当地调整参数，直到获得满意的控制效果。该参数整定方法适用于具有一阶滞后环节的被控对象，否则，最好选用其他的方法整定。5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定5.6.4 归一参数整定法归一参数整定法 在1974年Roberts PD提出了一种简化扩充临界比例度整定法。由于该方法只需要整定一个参数即可，故又称为归一参数整定法。增量式PID算法重写如下：)2()1(2)(T)()1()()1()()(DIPkekekeTkeTTkekeKkukuku5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定 由式（5-27）可以看出，对四个参数的整定简化成只整定一个参数KP，因此，给PID算法的参数整定带来许多方便。)2(25.1)1(5.3)(45.2)(PkekekeKku （5-27）设T=0.1 Tu；TI=0.5 Tu；TD=0.125 Tu，式中Tu为纯比例作用下的临界振荡周期，则5.6 数字数字PID算法的参数整定算法的参数整定5.6.5 优选法优选法优选法就是对自动调节参数整定的经验法。其具体做法是：根据经验，先把其他参数固定，然后用0.618法对其中某一个参数进行优选，待选出最佳参数后，再换另一个参数进行优选，直到把所有的参数优选完毕为止。最后根据T、KP、TI、TD四个参数优选的结果选出一组最佳值即可。