同济大学数学系课件

Graduate Engineering Mathematics同济大学数学系2009-3-222009-3-22工科研究生数学工科研究生数学-矩阵论矩阵论第第 4 章章 内积空间内积空间G E MG E M同济大学数学系4.1 实内积空间实内积空间定义定义.设设V 是一个实线性空间，是一个实线性空间，R为实数域，为实数域，2若若 a a,b b V,存在唯一的存在唯一的 r R与之对应，与之对应，记作记作(a a,b b)=r,并且满足并且满足(1)(a a,b b)=(b b,a a)(2)(a a+b b,g g)=(a a,g g)+(b b,g g)(3)(ka a,b b)=k(a a,b b)(4)(a a,a a)00,(a a,a a)=0 0 a a=0 0则称则称 (a a,b b)为为a a 与与b b 的内积，的内积，V 为为实实内积空间。内积空间。实实内积空间也称欧几里得内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性G E MG E M同济大学数学系3定义内积定义内积b ba ab ba aT2211),(+nnyxyxyx,),(T21nxxx a aT21),(nyyy b b,|),(TRxxxxxxRnnn 2121例例.线性线性空间空间称为内积称为内积空间空间 的标准内积。的标准内积。nRG E MG E M同济大学数学系4定义内积定义内积b ba ab ba aAT),(,),(T21nxxx a aT21),(nxxx b bA为为 n 阶实正定矩阵，阶实正定矩阵，,|),(TRxxxxxxRnnn 2121例例.线性线性空间空间G E MG E M同济大学数学系5定义内积定义内积 aadxxgxfgf)()(),(例例.线性线性空间空间Ca,b，f,gCa,bG E MG E M同济大学数学系6由定义知由定义知(5)(a a,b b+g g)=(a a,b b)+(a a,g g)(6)(a a,kb b)=k(a a,b b)G E MG E M同济大学数学系向量长度向量长度,Cauchy-Schwarz不等式不等式),(a aa a定义定义.设设V 为为实实内积空间，称内积空间，称 为向量为向量a a 的长度，的长度，记作记作|a a|。定理定理.设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a,b b V,k R，则，则；当且仅当当且仅当且且00|,0|)1(a aa aa a；|)2(a aa akk|,|),(|)3(b ba ab ba a 等号成立当且仅当等号成立当且仅当a a,b b 线性相关；线性相关；。|)4(b ba ab ba a+Cauchy-Schwarz不等式不等式三角不等式三角不等式正定性正定性齐次性齐次性G E MG E M同济大学数学系8 niiniiniiiyxyx12121)1(例：利用例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明不等式证明 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()()2(22G E MG E M同济大学数学系向量的夹角向量的夹角由由Cauchy-Schwaz不等式可知不等式可知,1|),(|1 b ba ab ba a可可用用，中中的的结结论论对对比比nR|),(|,cosb ba ab ba ab ba a.,b ba ab ba a在内积空间中的夹角在内积空间中的夹角与与定义定义G E MG E M同济大学数学系向量的正交向量的正交定义定义.设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a,b b V,若若(a a,b b)0 0,则称则称 a a 与与b b 正交，记作正交，记作 a a b b。),(|2b ba ab ba ab ba a+由由知知22|),(2|b bb ba aa a+a a 与与b b 正交正交222|b ba ab ba a+这就是实这就是实内积空间中的勾股定理。内积空间中的勾股定理。G E MG E M同济大学数学系11向量向量a a 与与b b 在该基下的坐标为在该基下的坐标为的一个基，的一个基，维实内积空间维实内积空间是是，设设Vnna aa aa a,21,),(T21nxxxx T21),(nxxxy,2211nnxxxa aa aa aa a+nnyyya aa aa ab b+2211G E MG E M同济大学数学系12),(),(22112211nnnnyyyxxxa aa aa aa aa aa ab ba a+ninjjiiiyx11),(a aa a nnnnnnnnyyyxxx2121222121211121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aAyxT G E MG E M同济大学数学系度量矩阵度量矩阵矩阵矩阵 A 称为基的度量矩阵。称为基的度量矩阵。AAT ),(),(1221a aa aa aa a ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnAa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a即即 A 为实对称矩阵。为实对称矩阵。0),(a aa aAxxT即即 A 为实正定矩阵。为实正定矩阵。G E MG E M同济大学数学系,;,2121nnb bb bb ba aa aa a定理：设内积空间定理：设内积空间V 的两个基是：的两个基是：BAPPT 它们的度量矩阵它们的度量矩阵分别分别为为A与与B，则，则A与与B是合同的，是合同的，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P，使得，使得其中可逆矩阵其中可逆矩阵P 是由前组基到后组基的过渡矩阵。是由前组基到后组基的过渡矩阵。G E MG E M同济大学数学系4.2 标准正交基标准正交基的的一一组组非非零零向向量量，是是实实内内积积空空间间，定定义义：设设Vsa aa aa a,21若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。定理：正交向量组必是线性无关的。的的一一个个正正交交向向量量组组，维维内内积积空空间间是是，若若Vnna aa aa a,21的的一一个个正正交交基基。则则称称其其为为VG E MG E M同济大学数学系16的一正交基，的一正交基，是实内积空间是实内积空间，定义：设定义：设Vna aa aa a,21的一个标准正交基。的一个标准正交基。则称其为则称其为V且其中每个向量的长度都是且其中每个向量的长度都是 1，注意：注意：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即基向量上的正投影，即),(),(2211inniixxxxa aa aa aa aa aa a+yxT),(b ba aG E MG E M同济大学数学系Gram-Schmidt 正交化过程正交化过程Gram-Schmidt 正交化过程：正交化过程：设设是内积空间是内积空间V 中线性无关中线性无关的向量组的向量组，na aa aa a,21，使得，使得则则V 中存在正交向量组中存在正交向量组nb bb bb b,21 nnb bb bb ba aa aa a,2121G E MG E M同济大学数学系Gram-Schmidt 正交化过程正交化过程 图解图解2222|a aaaaaa a 1212121(,)|b b a ab ba ab ba ab b 12111(,)(,)b ab ab bbbbb 11a ab b 222a aa ab b 1b b 2b b 2a a2a a 1112122),(),(b bb bb ba ab ba ab b 222a aa aa a+2a a 1a a上上的的投投影影向向量量在在12a aa aG E MG E M同济大学数学系19令令111222111121121112211;(,);(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrrbabab ab ababbabbbbbb ab abab ab abababbbbabbbbbbbbbbbbbbb nnb bb bb ba aa aa a,212112,rbbbbbb是是正交向量组，并且正交向量组，并且则则G E MG E M同济大学数学系112121211221,1rrrrrrrkkkkabababbabbabbbbabbbb +(,)(,)ijijiiikb ab ab bb bb b 记记G E MG E M同济大学数学系或或 100101),(),(21122121rrrrkkkb bb bb ba aa aa a注意到注意到K是可逆矩阵，因此是可逆矩阵，因此 nnb bb bb ba aa aa a,2121KG E MG E M同济大学数学系12,rbbbbbb是正交向量组是正交向量组下面用归纳法说明下面用归纳法说明),),(),(),(11jikiiikikjkb bb bb bb ba ab ba ab bb b ),(),(),(),(11jikiiikijkb bb bb bb ba ab bb ba a )1(kj ),1(0),(kjiji b bb b由归纳法假设可知由归纳法假设可知0),(),(),(kjjkjka ab bb ba ab bb b12,rbbbbbb是正交向量组。是正交向量组。即即G E MG E M同济大学数学系矩阵矩阵A的的QR分解分解推论推论1：n 维实内积空间维实内积空间V 必存在标准正交基。必存在标准正交基。推论推论2：n 维实内积空间维实内积空间V 中任一中任一正交向量组都可扩充成正交向量组都可扩充成V 的一个正交基。的一个正交基。推论推论3:设设A为可逆阵，则存在为可逆阵，则存在正交阵正交阵Q和可逆上三角阵和可逆上三角阵R使得使得 A=QR，称为矩阵，称为矩阵A的的QR分解。分解。G E MG E M同济大学数学系24设设A为为 n 阶可逆阵，则利用阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，正交化过程，),(21nAa aa aa a 100101),(211221nnnkkkb bb bb bKnnn|)|,|,|(212211b bb bb bb bb bb bb bb bb bG E MG E M同济大学数学系25niiii 1,|b bb b 记记|00|0|),(22211112121nnnnkkkAb bb bb bb bb bb b 则则QRA QRG E MG E M同济大学数学系26例例:求求矩阵矩阵A的的QR分解，分解，101011111AG E MG E M同济大学数学系4.3 正交子空间正交子空间定义定义:设设W,U是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，(1)a a V,若若 b b W,都有都有(a,b a,b)=0,则称则称a a 与与W 正交，记作正交，记作a a W;(2)若若 a a W,b b U,都有都有(a,b a,b)=0,则称则称W 与与U 正交，记作正交，记作W U;(3)若若W U，并且，并且W +U=V,则称则称U 为为W 的正交补。的正交补。注意：若注意：若W U，则则 W与与U 的和必是直和。的和必是直和。G E MG E M同济大学数学系正交补的存在唯一性正交补的存在唯一性定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，则的子空间，则W 的正交补的正交补存在且唯一，记该存在且唯一，记该正交补为正交补为 ，并且，并且 W,|VWW a aa aa a;,0)1(.WVW证证再扩充再扩充的一个正交基的一个正交基取取,0)2(21reeeWW 记记的的一一个个正正交交基基为为,11nrreeeeV+nreeU,1,|VWUWU a aa aa a且且的的正正交交补补，是是往往证证，G E MG E M同济大学数学系向量的正投影向量的正投影定义定义:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，,WWV于是于是，其其中中有有 +WWVg gb bg gb ba aa a,则称向量则称向量b b 为向量为向量a a 在在W上的正投影，上的正投影，称向量长度称向量长度|g g|为向量为向量a a 到到W 的距离。的距离。W b bOa ag gG E MG E M同济大学数学系垂线最短定理垂线最短定理定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，a a V,b b 为为a a 在在W|a ab ba a 上的正投影，则上的正投影，则 W,有有并且等号成立当且仅当并且等号成立当且仅当 b b=。，WW b bb ba a,，b bb ba a ，a a b bb ba a +（勾勾股股定定理理），222|a a b bb ba a +|a ab ba a 即即W b ba aG E MG E M同济大学数学系4.4 正交变换正交变换定义定义:设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，若的线性变换，若 a a V 有有),()(),(a aa aa aa a TT则称则称T 为为V 的正交变换。的正交变换。),(|a aa aa a 保持向量的长度不变；保持向量的长度不变；可看做可看做等式等式TTT),()(),(a aa aa aa a G E MG E M同济大学数学系正交变换的特征刻画正交变换的特征刻画定理定理:设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a,b b V，保持向量的长度不变；保持向量的长度不变；即即TTT),()(),()1(a aa aa aa a 保保持持向向量量的的内内积积不不变变；即即TTT),()(),()2(b ba ab ba a 则下列命题等价，则下列命题等价，的的标标准准正正交交基基，是是Veeen,21的的标标准准正正交交基基；是是VeTeTeTn)(,),(),()3(21,)4(21AeeeTn下下的的矩矩阵阵是是在在标标准准正正交交基基若若EAAAT 即即是正交阵是正交阵则则,G E MG E M同济大学数学系33推论推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。正交变换的逆变换仍是正交变换。11,2|A|A|EAAAT，则则，即即是是正正交交阵阵设设,21AeeeTn下下的的矩矩阵阵是是在在标标准准正正交交基基设设正正交交变变换换或称为旋转变换；或称为旋转变换；为第一类的正交变换，为第一类的正交变换，称称时，时，则当则当T|A|1 为为第第二二类类的的正正交交变变换换。称称时时，当当T|A|1 ),3,2()(,)(:11njTTjj a aa aa aa a定定义义例例如如，.,也称为镜面反射也称为镜面反射此时此时变换变换就是一个第二类的正交就是一个第二类的正交则则TTG E MG E M同济大学数学系Householder 变换变换TnEHR 21|,，用用正正交交阵阵且且例例：设设构造构造 的正交变换的正交变换nRnRHH a aa aa a,)(讨论正交变换讨论正交变换H 的几何意义。的几何意义。G E MG E M同济大学数学系故故H(a a)是是a a关于子空间的反射，关于子空间的反射，,WWRWn +g gb bg gb ba aa a 其其中中设设)(2(g gb b a a+TEH g gb b g gb b g gg g g gb b|0TT，注意到，注意到，W a ag gb b Ogg矩阵矩阵H 称为称为Householder矩阵，矩阵，变换变换H 称为称为Householder变换，变换，变换变换H 也称初等反射也称初等反射变换。变换。G E MG E M同济大学数学系36，且且例例：设设|,b ba ab ba ab ba a nR求一个求一个初等反射初等反射变换变换H，使，使H(a a)=b b。只需求一个只需求一个 使得使得b b 是是a a 关于子空间关于子空间 的反射，的反射，|b ba ab ba a 于是于是 与与a b a b 平行，故可取平行，故可取G E MG E M同济大学数学系4.5 复内积空间复内积空间定义定义.设设V 是一个是一个复复线性空间，线性空间，C 为复数域，为复数域，37若若 a a,b b V,存在唯一的存在唯一的 c C与之对应，与之对应，记作记作(a a,b b)=c,并且满足并且满足(2)(a a+b b,g g)=(a a,g g)+(b b,g g)(3)(ka a,b b)=k(a a,b b)(4)(a a,a a)00,(a a,a a)=0 0 a a=0 0则称则称 (a a,b b)为为a a 与与b b 的内积，的内积，V 为为复复内积空间。内积空间。复复内积空间也称酉空间。内积空间也称酉空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性(1)(a a,b b)=(b b,a a)G E MG E M同济大学数学系38定义内积定义内积b ba ab ba aT2211),(+nnyxyxyx,),(T21nxxx a aT21),(nyyy b b,|),(21T21CxxxxxxCnnn 例例.线性线性空间空间称为复内积称为复内积空间空间 的标准内积。的标准内积。nCG E MG E M同济大学数学系39在复内积空间中还有在复内积空间中还有(5)(a a,b b+g g)=(a a,b b)+(a a,g g)(6)(a a,kb b)=k(a a,b b)|),()7(a aa aa aa a记作记作的长度，的长度，称为称为(8)Cauchy-Schwaz不等式不等式),(),(),(),(b bb ba aa ab ba ab ba a,|),(|arccos,)9(b ba ab ba ab ba ab ba a 的的夹夹角角与与且且(a a,b b)0 0 a a 与与b b 正交正交(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组正交化过程把线性无关的向量组变成正交组G E MG E M同济大学数学系40向量向量a a 与与b b 在该基下的坐标为在该基下的坐标为的一个基，的一个基，维复内积空间维复内积空间是是，设设Vnna aa aa a,21,),(T21nxxxx T21),(nxxxy,2211nnxxxa aa aa aa a+nnyyya aa aa ab b+2211G E MG E M同济大学数学系41),(),(22112211nnnnyyyxxxa aa aa aa aa aa ab ba a+ninjjiiiyx11),(a aa a nnnnnnnnyyyxxx2121222121211121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa ayAxT G E MG E M同济大学数学系度量矩阵度量矩阵矩阵矩阵 A 称为基的称为基的度量矩阵度量矩阵。),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnAa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a0),(a aa axAxT，即，即 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。，则称，则称 A 为为Hermite矩阵。矩阵。AAT 若若AAT ),(),(1221a aa aa aa a，即，即A 为为Hermite矩阵。矩阵。称称 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。00 xxAxT等号成立当且仅当等号成立当且仅当，若若G E MG E M同济大学数学系设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，若的线性变换，若 a a V 有有),()(),(a aa aa aa a TT则称则称T 为为V 的酉变换。的酉变换。为为酉酉矩矩阵阵。则则称称设设AEAAAATT,G E MG E M同济大学数学系定理定理:设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a,b b V，；),()(),()1(a aa aa aa a TT；),()(),()2(b ba ab ba a TT则下列命题等价，则下列命题等价，的的标标准准正正交交基基，是是Veeen,21的的标标准准正正交交基基；是是VeTeTeTn)(,),(),()3(21,)4(21AeeeTn下下的的矩矩阵阵是是在在标标准准正正交交基基若若EAAAAATT 即即是是酉酉矩矩阵阵则则,G E MG E M同济大学数学系4.6 正规矩阵正规矩阵为正规阵。为正规阵。则称则称且且是复方阵，是复方阵，：设：设定义定义AAAAAATT,1 例如，对角阵，酉矩阵，例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。阵都是正规阵。的的复复方方阵阵都都是是正正规规阵阵。，满满足足kAAkEAATT BAUUAUUT 1定义定义2：设：设 A,B是复方阵，若存在酉矩阵是复方阵，若存在酉矩阵U，使，使则称则称A与与B酉相似。酉相似。G E MG E M同济大学数学系定理定理1：任意复方阵必与上三角阵：任意复方阵必与上三角阵酉相似酉相似。对复方阵的阶数用归纳法。对复方阵的阶数用归纳法。引理引理1：正规的三角阵必是对角阵。：正规的三角阵必是对角阵。定理定理2：复方阵：复方阵A与对角阵与对角阵酉相似的充分必要条件是酉相似的充分必要条件是A是正规阵。是正规阵。推论：实对称推论：实对称阵必与对角阵相似的阵必与对角阵相似的。G E MG E M同济大学数学系eNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6Ex*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*tmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOH5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*tXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLa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