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5 函数的凸性与拐点,返回,任意弧段位于所张弦的上方, 任意点的切线在曲线上方,任意弧段位于所张弦的下方，任意点的切线在曲线下方,凸函数,凹函数,设 A(x1,f(x1), B(x2,f(x2)，则线段AB间的任意点C(x,y)可表示为：,x,C,注：如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则,则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有,则称 f 为 I 上的一个凹函数.,相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.,引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是：,从而有,因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以,整理后即为 (3) 式.,即,由于必要性的证明是可逆的，从而得到,（充分性）对于任意,则,所以 f 为 I 上的凸函数.,同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于,例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在,证,(a, b) 中每一点的左、右导数存在.,由引理得到,则右极限,这就证明了F(h)有下界. 所以,定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述,论断互相等价：,证,我们在这里再一次强调，,的切线位于曲线的下方.,于相应曲线段的上方;而它,义是:曲线 y = f (x) 的弦位,函数 f 是凸函数的几何意,(本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的,极值点与稳定点是等价的.),例 3 设函数 f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数.,此下面这个例题自然就产生了.,值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值. 因,定理6.14 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导，则 f (x),在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为：,解 因为,例 4,图中所示的M 是一个拐点.,定义2,曲线的切线，并且切线的两侧分别,是严格凸和严格凹的，这时称,下面两个定理是显然的.,定理6.15,定理6.16,但根据定义2,点(0, 0) 却是曲线,这是著名的詹森不等式 .,由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要,即：,均为正数.,詹森不等式,例 5,证,即,又因,故有,再由对数函数是严格增的，就证得,复习思考题,1. 两个凸函数的乘积是否是凸函数 ?,2. 两个凸函数的复合是否是凸函数 ?,3. 任选一个凸函数, 利用詹森不等式构造出新的,不等式.,的严格凹函数，所以有,例 6,例 4 设函数 f (x)为 (a, b) 上的凸函数.不恒为常数,证明：若不然，可设f (x0)为最大值，由凸函数的定义，对于任意的,
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