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（第（第3 3课时）课时）方法种类及历史背景方法种类及历史背景验证定理的具体过程验证定理的具体过程知识运用及思想方法知识运用及思想方法第一种类型：以赵爽的第一种类型：以赵爽的“弦图弦图”为代表，用几何为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系等关系;第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明用欧氏几何的基本定理进行证明;第三种类型：以刘徽的第三种类型：以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，为代表，“无字证明无字证明”.问题思考问题思考 运用了哪些数学知识？运用了哪些数学知识？体现了哪些数学思想方法？体现了哪些数学思想方法？这种方法与其他方法比较，有什么这种方法与其他方法比较，有什么共同点和不同点？共同点和不同点？对某一验证方法对某一验证方法三种类型：三种类型：第一种类型：第一种类型：以赵爽的以赵爽的“弦图弦图”为代表，用几何图形的截、为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合形数统一、代数和几何的紧密结合 .第二种类型：第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义.第三种类型：第三种类型：以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明不需用为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无无字证明字证明”.方法一方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经周髀算经作注作注解时，创制了一幅解时，创制了一幅“勾股圆方图勾股圆方图”，也称为，也称为“弦图弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明这是我国对勾股定理最早的证明.2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的是经过艺术处理的“弦图弦图”，标志着中国古代数学成就，标志着中国古代数学成就.第一种类型：第一种类型：cb a2214().2cabba22222.cabbaba222.cab由面积计算由面积计算,得得 展开展开,得得 化简化简,得得aabbcc方法二方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总总统证法统证法”.如图，梯形由三个直角三角形组合而如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式成，利用面积公式，列出代数关系式,得得化简化简,得得2111()()2.222ab baabc 222.abc第一种类型：第一种类型：据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。将将4个全等的直角三角形拼成边长个全等的直角三角形拼成边长为为(ab)的正方形的正方形ABCD，使中间留下，使中间留下边长边长c的一个正方形洞画出正方形的一个正方形洞画出正方形ABCD移动三角形至图移动三角形至图2所示的位置中，所示的位置中，于是留下了边长分别为于是留下了边长分别为a与与b的两个正方的两个正方形洞则图形洞则图1和图和图2中的白色部分面积必中的白色部分面积必定相等，所以定相等，所以c2=a2+b2图图1图图2方法方法三三第一种类型：第一种类型：第二种类型：第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。如图，过如图，过 A 点画一直线点画一直线 AL 使其垂直于使其垂直于 DE，并交并交 DE 于于 L，交，交 BC 于于 M。通过证。通过证明明BCF BDA，利用三，利用三角形面积与长方形面积的关角形面积与长方形面积的关系，得到正方形系，得到正方形ABFG与矩与矩形形BDLM等积，同理正方形等积，同理正方形ACKH与与 矩形矩形MLEC也等积，也等积，于是推得于是推得222ABACBC 第二种类型：第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。第三种类型：第三种类型：以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明不需用为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无无字证明字证明”。约公元约公元 263 年，三国时代魏国的数学家年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍刘徽为古籍九章算术九章算术作注释时，用作注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾股定理。证明了勾股定理。abc第三种类型：第三种类型：以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明不需用为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无无字证明字证明”。做法是将一条垂直线和一条水做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成平线，将较大直角边的正方形分成 4 4 分。之后依照图中的颜色分。之后依照图中的颜色,将两将两个直角边的正方形填入斜边正方形个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。之中，便可完成定理的证明。单击图片打开单击图片打开第三种类型：第三种类型：在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明的一种拼图证明abcABCDEFO方法三方法三:意大利文意大利文艺复兴时代的著名艺复兴时代的著名画家达画家达芬奇对勾芬奇对勾股定理进行了研究。股定理进行了研究。第三种类型：第三种类型：AaBCbDEFOABCDEF五巧板的制作ABCEDFGHIabcbcaabc这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法。合的思想方法。bc利用五巧板拼图验证勾股定理利用五巧板拼图验证勾股定理:ccbbaa(1)(1)勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。(2)(2)勾股定理反映了自然界基本规律勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙有文明的宇宙“人人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人外星人”联系的信号。联系的信号。(3)(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。(4)(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。题程序树立了一个范式。我最大的收获；我最大的收获；我表现较好的方面；我表现较好的方面；我学会了哪些知识；我学会了哪些知识；我还有哪些疑惑我还有哪些疑惑学生反思：学生反思：（1 1）写数学日记并发挥你的聪明才智，）写数学日记并发挥你的聪明才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理，去探索勾股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的发现？你又有什么新的发现？（2 2）尝试利用意大利著名画家达）尝试利用意大利著名画家达芬芬奇的方法验证勾股定理？奇的方法验证勾股定理？
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