小学奥数《容斥原理》

【例题分析】【例题分析】例例1.有长有长8厘米，宽厘米，宽6厘米的长方厘米的长方形与边长形与边长5厘米的正方形。如图放厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？面的面积？例例2.六一班参加无线电小组和航六一班参加无线电小组和航模小组的共模小组的共26人，其中参加无线人，其中参加无线电小组的有电小组的有17人，参加航模小组人，参加航模小组的有的有14人，两组都参加的有多少人，两组都参加的有多少人？人？例例3.六一班有学生六一班有学生46人，其中会人，其中会骑自行车的有骑自行车的有19人，会游泳的有人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？的有多少人？例例4.某年级的课外小组分为美术、音乐、某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有手工三个小组，参加美术小组有20人，人，参加音乐小组有参加音乐小组有24人，参加手工小组有人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有人，三个小组都参加的有3人，这个年人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？级参加课外小组的同学共有多少人？一次期末考试，某班有一次期末考试，某班有15人数学人数学得满分，有得满分，有12人语文得满分，并人语文得满分，并且有且有4人语、数都是满分，那么人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学这个班至少有一门得满分的同学有多少人？有多少人？容斥原理容斥原理 在计数时，为了使重叠部分不被重在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。斥原理。容斥原理容斥原理 一次期末考试，某班有一次期末考试，某班有15人数学得满分，人数学得满分，有有12人语文得满分，并且有人语文得满分，并且有4人语、数都人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？的同学有多少人？如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B两类，两类，那么，那么，A类或类或B类元素个数类元素个数=A类元素类元素个数个数+B类元素个数类元素个数既是既是A类又是类又是B类的元素个数。类的元素个数。某班学生每人家里至少有空调和电脑某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调两种电器中的一种，已知家中有空调的有的有41人，有电脑的有人，有电脑的有34人，二者都人，二者都有的有有的有27人，这个班有学生多少人？人，这个班有学生多少人？一个班有一个班有45名学生，订阅名学生，订阅小学生数小学生数学报学报的有的有15人，订阅人，订阅今日少年报今日少年报的有的有10人，两种报纸都订阅的有人，两种报纸都订阅的有6人。人。（1）订阅报纸的总人数是多少？（）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？两种报纸都没订阅的有多少人？容斥原理容斥原理 在在1到到1000的自然数中，能被的自然数中，能被3或或5整除的数共有多少个？不能整除的数共有多少个？不能被被3或或5整除的数共有多少个？整除的数共有多少个？某校选出某校选出50名学生参加区作文比名学生参加区作文比赛和数学竞赛，作文比赛获奖的有赛和数学竞赛，作文比赛获奖的有16人，数学比赛获奖的有人，数学比赛获奖的有12人，人，有有5人两项比赛都获奖了。人两项比赛都获奖了。（1）共有多少人获奖？）共有多少人获奖？（2）两项比赛都没获奖的有多少）两项比赛都没获奖的有多少人？人？某校六（某校六（1）班有学生）班有学生54人，每人人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有参加足球队的有25人，参加排球队人，参加排球队的有的有22人，参加游泳队的有人，参加游泳队的有34人，人，足球、排球都参加的有足球、排球都参加的有12人，足球、人，足球、游泳都参加的有游泳都参加的有18人，排球、游泳人，排球、游泳都参加的有都参加的有14人，问：三项都参加人，问：三项都参加的有多少人？的有多少人？如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B、C三类，三类，那么，那么，A类或类或B类或类或C类元素个数类元素个数=A类元素个数类元素个数+B类元素个数类元素个数+C类类元素个数元素个数既是既是A类又是类又是B类的元类的元素个数素个数既是既是A类又是类又是C类的元素类的元素个数个数既是既是B类又是类又是C类的元素个类的元素个数数+既是既是A类又是类又是B类而且是类而且是C类的类的元素个数。元素个数。1、四（、四（1）班有）班有40个学生，其中个学生，其中25人参加数学小组，人参加数学小组，23人参加航模小组，人参加航模小组，有有19个人两个小组都参加了，那么，个人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？有多少人两个小组都没有参加？2、有、有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不人既不懂英语又不懂俄语，有懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，人懂英语，83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的有多少人？有多少人？3、求不超过、求不超过100的自然数中，不能被的自然数中，不能被3、5中任何一数整除的数的个数。中任何一数整除的数的个数。4、在一次数学测验中，所有同学都答、在一次数学测验中，所有同学都答了第了第1、2两题，其中答对第两题，其中答对第1题的有题的有35人，答对第人，答对第2题的有题的有28人，这两题都答人，这两题都答对的有对的有20人，没有人两题都答错。一共人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？有多少人参加了这次数学测验？5、一个俱乐部里，会下中国象棋的有、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有人，会下国际象棋的有52人，这两种人，这两种棋都不会下的有棋都不会下的有12人，都会下的有人，都会下的有30人。人。这个俱乐部里有多少人？这个俱乐部里有多少人？6、全班有、全班有50人，不会骑车的有人，不会骑车的有23人，不会滑旱冰的有人，不会滑旱冰的有35人，两样人，两样都会的有都会的有5人。问：两样都不会的人。问：两样都不会的有多少人？有多少人？7、六年级（、六年级（2）班有）班有48名学生，名学生，其中会骑自行车的有其中会骑自行车的有27个，会游个，会游泳的有泳的有18人，既会骑自行车又会人，既会骑自行车又会游泳的有游泳的有10人。问两样都不会的人。问两样都不会的有多少人？有多少人？