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精 品 数 学 课 件2019 年 北 师 大 版【知识回顾知识回顾】标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0,2(pF.yxoF2px)2,0(pF.xoyF2py)0(22ppxy)0,2(pF 2px)0(22ppyx)2,0(pF2py 抛物线定义抛物线定义 抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质 平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线L L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。你还记得吗？你还记得吗？2.2.坐标系中，方程坐标系中，方程 与与 的曲线是的曲线是 （）(A)(B)(C)(D(A)(B)(C)(D)1.1.抛物线抛物线 的焦点坐标是（的焦点坐标是（）。）。(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)4,0(m)4,0(m)41,0(m)41,0(m)0(12mxmyxyoxyoyxoyxo12222ybxa)0(02babyax【训练一训练一】A A D D 4.4.过抛物线过抛物线 的焦点作直线交抛物线于的焦点作直线交抛物线于 两点，如果两点，如果 x x1 1+x+x2 2=6 =6 那么那么 为为 。3.3.动点动点P P到直线到直线x+4=0 x+4=0的距离减它到的距离减它到M(2,0)M(2,0)的距离的距离之差等于之差等于2 2，则，则P P的轨迹是的轨迹是 ，其方程为。，其方程为。抛物线抛物线y y2 2=8x=8xxy42),(),(2211yxByxA、AB8 8l l1 1l l2 2【例题例题1 1】AMN6,3,17BNANAMB BA AM MN N分析：分析：1.1.如何选择适当的坐标系。如何选择适当的坐标系。2.2.能否判断曲线段是何种类型曲线。能否判断曲线段是何种类型曲线。3.3.如何用方程表示曲线的一部分。如何用方程表示曲线的一部分。如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L1L2L1L2，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐为锐角三角形，角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的的方程。方程。l l1 1l l2 2AMN6,3,17BNANAMy yx xD D解法一：解法一：1,22NCACNRtAC中，中，)0,2(,4为为则则NMN 422pp得由图得，由图得，），为（为（221A），为为（244BC CB BA AM MN N曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：)0,41(82yxxy即抛物线方程：即抛物线方程：xy823,ANADMCACMRt如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L1L2L1L2，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐为锐角三角形，角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的的方程。方程。建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)Ol l1 1l l2 2AMN6,3,17BNANAMy yx xD DC CB BA AM MN N42,或或得得p解法二：)0(22ppxy设抛物线方程：设抛物线方程：)22,23(pA)23(28ppNAxxAMN为锐角三角形，为锐角三角形，33224pppp所以得；即曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：)0,41(82yxxy如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L1L2L1L2，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐为锐角三角形，角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的的方程。方程。建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)Oy yx xB BA AM MN NC CD D建立如图所示的直角坐标系，建立如图所示的直角坐标系，原点为原点为解法三：解法三：)0,0(M3ANADMCACMRt中中，1,22NCACNRtAC中中，)02()0,4(,4，为为顶点顶点为为则则QNMN Q)2(82xy抛抛物物线线方方程程为为：6,3:BAxx易得易得曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：)0,63)(2(82yxxy【例题例题2 2】已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标中点纵坐标的最小值。的最小值。xoyFABMCND解：解：),(),(),(2211yxMAByxByxA中中点点设设,2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2,ABBFAFABF中43,2)41(2yy即即)41(2yBCAD【训练二训练二】1.1.已知已知M M为抛物线为抛物线 上一动点，上一动点，F F为抛物线的焦点，为抛物线的焦点，定点定点P(3,1),P(3,1),则则 的最小值为（的最小值为（）(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 MFMP xy422.2.过点过点(0,2)(0,2)与抛物线与抛物线 只有一个公共点的直线只有一个公共点的直线有有（）（A A）1 1条条 (B)2(B)2条条 (C)3(C)3条条 (D)(D)无数多条无数多条 xy82B BC C)0,1(F3xM.N.M.P.P3.3.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点F F作一直线交抛物线于作一直线交抛物线于P P、Q Q两点，若两点，若PFPF与与FQFQ的长分别是的长分别是 ()()(A)2a (B)(C)4a (D)(A)2a (B)(C)4a (D)0(2aaxy等于q1p1q则p,a21a2yxFPQ4.4.已知已知A A、B B是抛物线是抛物线 上两点，上两点，O O为坐标原点，若为坐标原点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线ABAB的方的方程是：程是：()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)0(22ppxyAOBOBOA且且,px px3px23px25ABOF.yxC CD D【总结总结】1.1.灵活应用抛物线的定义解决相关题目灵活应用抛物线的定义解决相关题目2.2.建立适当的坐标系建立适当的坐标系3.3.不同标准方程的几何性质是易混点，不同标准方程的几何性质是易混点，性质的应用是难点性质的应用是难点【思考题思考题】在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。的距离最短，并求此距离。分析：分析：抛物线上到直线距离最短的点，是和抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。此直线平行的切线的切点。yx y2=64x 4x+3y+46=0解：解：无实根无实根直线与抛物线相离直线与抛物线相离设与设与4x+3y+46=0平行且与平行且与y2=64x相切的直线方程为相切的直线方程为y=-4/3 x+bLP则由则由y=-4/3 x+by2=64x消消x化简得化简得y2+48y-48b=0=482-4(-48b)=0b=-12切线方程为：切线方程为：y=-4/3 x-12 y=-4/3 x-12 y2=64x解方程组解方程组得得 x=9 y=-24切点为切点为P（9，-24）切点切点P到的距离到的距离d=234|46)24(394|22抛物线抛物线y2=64x到直线：到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点有最短距离的点为为P（9，-24），最短距离为），最短距离为2。
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