《毕业论文《向量》》word版

摘要向量在中学教学和研究中占有比较重要的地位，如何用向量的知识去解决平面几何问题是比较重要的利用向量解决一些数学问题， 将大大简化解题 的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.本文首先回顾了向量的一 些基本性质，接着分别从证明线段平行，证明垂直问题，求夹角问题，求长 度问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用并举例说明使用向量 更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题.关键词向量平面几何方法Abstract vector occupy an important position inmiddle school teaching and research, knowledge of how to use vector plane geometry to solve problems using vector to solve some mathematical problems is more important, will greatly simplify the problem-solving steps, enable students to master a proven mathematical tools. First of all, this article reviews some basic properties of vector, then proof from line segments parallel to prove that the vertical issues, angle problems, and the length problem summary application of vector in solving a series of mathematical problems faster, and gives examples of using vector and intuitive solution to some of the more complex mathematical problems.Keywords vector, plane geometry, method目录前言31向量基本性质回顾31.1向量的概念31.2向量的几何表示31.3相等向量与共线向量31.4向量的运算41.5向量的数量积51.6平面向量的基本定理52证明线段平行问题63证明垂直问题 74求夹角问题85求线段的长度9结束语12致谢13参考文献14前言向量作为中学数学的必修内容，在知识体系中占的比例也较大，在中 学平面几何中有着广泛的应用.向量的加法运算与全等、平行，数量的向量 积与相似，距离、夹角之间有密切的联系.因此，利用向量可以解决中学平 面几何中的相关问题.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量可以解决 一些数学问题，将大大化简解题的步骤，使学生掌握一些行之有效的数学 工具。本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从证明线段平行， 证明线段垂直，求夹角，求长度，不等式及最值问题总结归纳向量在解决 一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些 复杂的数学问题。1向量基本性质回顾1.1向量的概念、几何表示、相等向量及共线向量既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向 的量叫做数量（物理学中叫做标量）.具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作藻（AB是印刷体，书写体是上面加个一）.有向线段AB的长度叫做向量的模，记作| AB |.有向线段包含3个因素：起点、方向和长度.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.lb两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量 a、 b平行，记作IIia / b，零向量与任意向量平行，艮口 0 / a.任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量.1.2向量的运算加法运算：AB + BC = AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则.（首尾相 连，指向终点）.已知两个从同一点o出发的两个向量oA、oB，以oA、oB为邻边作 平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量oA、OB的和，这种 计算法则叫做向量加法的平行四边形法则.对于零向量和任意向量a，有： F0 + a = a + 0 = at hib| a + b |W| a | + | b |向量的加法满足所有的加法运算定律.减法运算：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，一（一a ） = a , 零向量的相反向量仍然是零向量.a + ( a ) = ( a) + a = 0a 一 b = a + ( b)数乘运算:实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a ,|入a | = |入|a |，当入0时，入a的方向和a的方向相同，当 入 0时，入a的方向和a的方向相反，当入二0时，入a=0.设入、u是实数，那么：（1）（入 u） a 二入（u a）*F-（2）（入 + u） a 二入 a + u a（3）入（a 土 b）二入 a 土 入 biqI（4）（一入） a 二一（入 a）二 入（一a）.向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算 1.3向量的数量积， 一， 、一 ,一 f， I f I I f一 ,、已知两个非零向量a、b，那么|a | | b | cos 0叫做a与b的数量积或内积，记作a-b，0是a与b的夹角，| a | cos 0（ | b | cos 0）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.零向量与任意向量的数量积为0.h . *.-* . .T . . - .a-b的几何意乂 ：数量积a-b等于a的长度| a |与b在a的方向上的投影| b | cos 0的乘积.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.向量的数量积的性质/ . X if I f I 7 一 a-a = | a | 2 N0(2)a-(3)fc- fe- fb-f(5) a-b = 0a b1.4平面向量的基本定理1如果.和乌是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一: 向量a，有且只有一对实数 入、u，使a二入.+ u e22向量在平面几何中的应用2.1证明线段平行问题证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件：a/bo a二入b（x y -x y = 0）. 1 22 1例1如图（1），若ABCD是平行四边形，EF / AB， AE与BF、DE与CF分别相交于N和M .求证：MN / AD .分析：要证明MN n AD，只要证明AD = X MN （X。0）即可.证明EF / AB设 AB = XEF (XJ 1)ANeNAN - ENENAEEN=X 1:.AE = -1)eN同理，由于 EF / DC 得 DE =(X，-1)eM于是 AD = AE DE二 ，-i)eN - S -1em-1L - EM )二 EiMn令 X = N _ 1,贝 i| AD = X MN (X。0).MN / AD 2.2证明垂直问题证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a Lb o a b=0（或尤尤+ yy = 0）.如证明两直线或线段垂直，四边形是矩形、正方形等. 1 21 2例2如图（2）所示，。为 ABC的外心，E为三角形内一点，满足二 OC 2 OB 2O为外心，. |厅| = OB即 aE bC = 0 ，aE bC .2.3求夹角问题求夹角问题，往往利用向量的夹角公式:cos 0 = jaib或结合三角函数的1知识.如利用面积公式s = absin A求三角形的面积，可用夹角公式求sin A的值.2i例3.如图（3）所示，在 ABC中，已知AB =四6，cos B =AC边上的中线BD =寸5 .求sin A的值.解：以点B为坐标原点，BC为X轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.由 sin B 二 ,1 cos2 B =1 -II30则BA =V 4?cos B，4?sin B 设 BC = 1,0)，则 BD =，由条件得，(2而=*V 64焰)从而有x = 2,14x =-3（舍去）故 CA = BA - BC =-，于是有80cos AAB ACBA CAv14AB ACBA CA16809 + 98014. sin A 二扣1- cos2 A = U14图（4）图（5）2.4求线段的长度求线段的长度或相等，可以利用向量的模.例4如图（4），平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对 角线AC的长.分析：本题是求线段长度的问题，可以转化为向量的模来解决.解：设 AD = a，AB = b，则有 BD = a-b，AC = a + b而 B = |a - b| = yl a2 - 2a - b + b2j=a2 2a b + b2=v1 + 4 2a b二 v 5 - 2ab. 2 = 5 - 2a b， 即有 2a b = 1 又AC2 = |a + b|2 = a2 + 2a b + b2二 |a|2 + 2a b + |b|2=1 +1 + 4=6. AC2 = 6AC = 6 即 AC= J6E为CD的中点，AE与BD交于点F.例5如图（5），平行四边形ABCD中， 求证 FD = 3 BD.证明设 FD = X BD，FE =R AE . ,/ FD + DE + EF = Oc1 _ -. 二,人 BD + DC 日 AE = O2顼 1 C -）有人 aDAB+- AB 日 aD + DE= 0 z2又,: AD与AB不共线人日=0. 11n人一一L1 = 022X=- 3咋3二 FD = - BD 二 FD = - BD 33例 6 如图(6),在ABC 中，AM : AB = 1:3, AN : AC = 1:4 , BN 与 CM交于点P , B-.且AB=a, AC=b，用a ,b表示AP .解：,: AM : AB = 1:3 , AN : AC = 1:4.AM =3 AB = 3 a，AN= 4b因为M , P , C三点共线，故可设 MP = tMC,t e R于是 AP = Am + MP = 1 a + tMC3/ 1 、1 一-a3 J同理可设NP = sNB,s e R,r 1 、故 AP = AN+NP = - s b + sa k4 Js.t3112AP =3 2 a + b111111例题5和6的解题方法的综合性较强，运用了待定系数法和向量的知识: 一是两向量a，bb丰0共线的充要条件是a =祯,入eR.二是平面向量的基本定理，如果 1, 2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量。，有且只有一对实数人力使1 1 +*22,1122特别地，若入1 122 =0，则冗1 = x2 =0.结束语通过以上六个例子可以看到向量在中学的平面几何中有着广泛的应用.用向 量的方法解决平面几何问题可以分为三步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何 问题转化为向量问题.通过向量运算、研究几何元素之间的关系.把运算结果“翻译”成几何关系.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因而向量方法是几 何研究的一个有力工具.而“三步曲”给出了利用向量的代数运算研究几何问题 的基本思想.在解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键致谢走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已接近尾生，四年多的努力与 付出，随着本次论文的完成，将要划下完美的句号。本论文是在冯福存老师的悉心指导和严格要求下完成，从课题选择到具体的冯福存老师的心、血与汗水，在我的毕业论文的写作过程期间，冯福存老师为 我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，冯老师一丝不苟的作 风，严谨求实的态度使我深深感动，没有这样的帮助和关怀，我不会这么顺利的 完成毕业论文。在此向冯老师表示深深的感谢和崇高的敬意！在临近毕业之际，我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各 位老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培。不积硅步何以至千里，各 位老师认真负责，在他们悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识， 顺利的完成毕业论文。同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里一并向有 关的作者表示谢意。参考文献：1姜小川.向量问题中的待定系数法J.数学通讯，2001,19.2王后雄高考完全解读M中国青年出版社2006年.3黄爱民 用向量法求解几何综合题M数学通报2002年第3期.