第五章正弦电路的态分析

第五章 正弦电路的稳态分析 第五章第五章 正弦电路的稳态分析正弦电路的稳态分析 5.1 正弦电压和电流正弦电压和电流 5.2 利用相量表示正弦信号利用相量表示正弦信号 5.3 R、L、C元件元件VAR的相量形式和的相量形式和 KCL、KVL的相量形式的相量形式 5.4 阻抗与导纳阻抗与导纳 5.5 电路基本元件的功率和能量电路基本元件的功率和能量 5.6 正弦稳态电路中的功率正弦稳态电路中的功率 5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输正弦稳态电路中的最大功率传输 5.8 正弦稳态电路的相量分析法正弦稳态电路的相量分析法 5.9 三相电路概述三相电路概述 5.10 小结小结 第五章 正弦电路的稳态分析 5.1 正弦电压和电流正弦电压和电流 5.1.1 正弦量的三要素正弦量的三要素 所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，电流或电压的波形重复出现；或者说，每隔一定的时间T，电流或电压完成一个循环。图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形，周期信号的数学表示式为)()(kTtftf式中k为任何整数。周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期，单位为秒(s)。第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.1-1 周期信号 第五章 正弦电路的稳态分析 周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用f表示。显然，频率与周期的关系为 Tf1 频率的单位为赫兹(Hz)。我国电力网所供给的交流电的频率是 50 Hz，其周期是0.02s。实验室用的音频信号源的频率大约从2020103Hz左右，相应的周期为0.05s0.05 ms 左右。第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.1-2 正弦电流 第五章 正弦电路的稳态分析 按正弦(余弦)规律变化的周期信号，称为正弦交流电，简称交流电。以电流为例，其瞬时表达式为)cos()(imtIti由于正弦信号变化一周，其相位变化了2弧度，于是有 2)()(iitTtfT22 表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率，其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相位角为i，称为初相位或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角i常用角度表示。第五章 正弦电路的稳态分析 5.1.2 相位差相位差 假设两个正弦电压分别为)cos()()cos()(222111tUtutUtumm它们的相位之差称为相位差，用表示，即 2121)()(tt两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.1-3 相位差 第五章 正弦电路的稳态分析 例例 5.1-1 已知正弦电流i(t)的波形如图 5.1-4 所示，角频率=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正的最大值的时间t1。图 5.1-4 例 5.1-1用图 第五章 正弦电路的稳态分析 解解 由图可知，i(t)的振幅为 100A，即 Attii)10cos(100)(3当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得 5.0cos50cos100)0(iii故 第五章 正弦电路的稳态分析 当t1=/3时，电流达到正最大值，即 msti047.110331Atti310cos100)(3于是 3i由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即 第五章 正弦电路的稳态分析 例例 5.1-2 设有两频率相同的正弦电流 AttiAtti)40sin(10)60cos(521）（）（问哪个电流滞后，滞后的角度是多少?解解 首先把i2(t)改写成用余弦函数表示，即 Atttti)50cos(10)5090sin(10)40sin(10)(2110)50(6021故相位差 第五章 正弦电路的稳态分析 5.1.3 有效值有效值 正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间T内(T可取为正弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称该直流电的值为正弦信号的有效值。当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电能为RTIW2第五章 正弦电路的稳态分析 当正弦电流i流过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消耗的电能为 dttRidttpWTT)()(002上 式 中 p(t)表 示 电 阻 在 任 一 瞬 间 消 耗 的 功 率，即p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效值的定义，有 dttRiRTIWWT)(022第五章 正弦电路的稳态分析 TdttiTI02)(1故正弦电流的有效值为 正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，故有效值也称为均方根值。类似地，可得正弦电压的有效值为 TdttuTU02)(1(5.1-5)第五章 正弦电路的稳态分析 将正弦电流的表达式)cos()(imtIti代入(5.1-5)式，得正弦电流的有效值为 mmTimTimIIdttITdttITI707.021)(2cos1 21)(cos102022第五章 正弦电路的稳态分析 同理，可得正弦电压的有效值 mmUUU707.021必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是有效值。引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成)cos(2)cos()()cos(2)cos()(uumiimtUtUtutItIti第五章 正弦电路的稳态分析 5.2 利用相量表示正弦信号利用相量表示正弦信号 一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。设A为一复数，a1和a2分别为其实部和虚部，则 jaejaaA21代数型 指数型 式中a称为复数A的模；称为复数A的辐角。第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.2-1 复数的图示 第五章 正弦电路的稳态分析 122221aaarctgaaasincos21aaaaIm,Re21AaAa实部a1和虚部a2也表示为 和 aA第五章 正弦电路的稳态分析 5.2.1 利用相量表示正弦信号利用相量表示正弦信号 假设某正弦电流为 sincos)cos()(jetItijim根据欧拉公式 可以把复指数函数Im e j(t+i)展开成)sin()cos()(immtjmtjItIeIii)cos(Re)()(imtjmtIeItii(5.2-3)第五章 正弦电路的稳态分析 ReRe)()(tjmjmetjmeIeeIReItitjii式中 ijmmeII把式(5.2-3)进一步写成 第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.2-2 相量图 第五章 正弦电路的稳态分析)cos(1imtIRe)(tjmeItiReReRe)cos()(tjmtjjmtjmumeUeeUeUtUuuuumjmmUeUUu第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.2-3 旋转相量及其在实轴上的投影第五章 正弦电路的稳态分析 例如，已知角频率为的正弦电流的相量 ，那么该电流的表达式为 AeIjm305Atti)30cos(5)(若已知正弦电压u=10cos(t-45)V，则电压相量为 VeUjm45101045第五章 正弦电路的稳态分析 相量也可以用有效值来定义，即 umujimijUUUeUIIIeIui22mmUUII2121第五章 正弦电路的稳态分析 5.2.2 几个定理几个定理 1.定理定理 1如果K是一个实常数，A(t)是任何实变数t的复函数，则)()(RetAKPetKA证明 设)(Re)()(Re)()()()()()(12121tAktKatKAtjKatKatKAtjatatA则 故 第五章 正弦电路的稳态分析 2.定理定理 2如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则)(Re)(Re)()(RetBtAtBtA)(Re)(Re)()()()(Re),()()(),()()(112121tBtAtbtatBtAtjatbtBtjatatA证明证明 设 则 第五章 正弦电路的稳态分析 3.定理定理 3 设相量 jAeA，则 Re)(Re)Re(tjtjtjeAjeAdtdeAdtd)Re()Re()(tjtjAedtdeAdtd)(ReReRe)sin()cos(tjtjtjeAdtdeAjAejtAtAdtd）（第五章 正弦电路的稳态分析 4.定理定理 4设 和 为相量，为角频率。如果在所有时刻都满足ABReRetjtjeBeA则 BA第五章 正弦电路的稳态分析 第五章 正弦电路的稳态分析 例例 5.2 1 电路如图 5.2-4(a)所示，已知电流i1和i2分别为AttiAtti)1.53cos(10)()9.36cos(5)(21图 5.2 4 例 5.2-1用图 第五章 正弦电路的稳态分析 第五章 正弦电路的稳态分析 5.3 R、L、C元件元件VAR的相量形式的相量形式 和和KCL、KVL的相量形式的相量形式 5.3.1 R,L,C元件元件VAR的相量形式的相量形式 1.电阻元件电阻元件 假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图5.3-1 所示。设通过电阻的正弦电流为)cos()(imtIti第五章 正弦电路的稳态分析 5.3-1 电阻元件第五章 正弦电路的稳态分析 对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧姆定律，即)cos()cos()()(umimtUtRItRituiummRIU电阻上的正弦电流和电压用相量表示为 Re)cos()(tjmimeItItiRe)cos()(tjmumeUtUtu第五章 正弦电路的稳态分析 ujmmijmmeUUeII,根据欧姆定律，有 ReRetjmtjmeIReUReRetjmtjmeIeUIRUIRUmmiujmjmeRIeUiuRUmIm第五章 正弦电路的稳态分析 图5.3-2 电阻元件的电流、电压波形和相量图第五章 正弦电路的稳态分析 2.电感元件电感元件 设有一电感L，其电压、电流采用关联参考方向，如图 5.3-3(a)所示，当通过电感的电流为)cos()(imtIti)sin()(imtLIdtdiLtu)cos()90cos(umimtUtLI第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.3-3 电感元件 第五章 正弦电路的稳态分析 第五章 正弦电路的稳态分析 90iummLIULmmXLIUIU它们振幅之间的关系为 式中XL=L=2fL具有电阻的量纲，称为感抗。当L的单位为H，的单位为rad/s时，XL单位为。第五章 正弦电路的稳态分析 对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的感抗越大；反之越小。Re)cos()(Re)cos()(tjmumtjmimeUtUtueItItiujmmijmmeUUeII,式中 dtdiLu 根据 ReRetjmtjmeIdtdLeUReRetjmtjmeILjeU第五章 正弦电路的稳态分析 LjIUIUIjXUIjXILjUmmLmLmm(5.3-6)因为(5.3-6)式可以写成)90(iiujmjmjmeLIeLIjeU90,iummLIU第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.3-5 电感元件的电流、电压波形图 第五章 正弦电路的稳态分析 3.电容元件电容元件 图 5.3-6 电容元件 第五章 正弦电路的稳态分析 当电容两端的电压为)cos()(umtUtu时，通过电容的电流)cos()90cos()sin(imumumtItCUtCUdtduCi90uimmCUI第五章 正弦电路的稳态分析 通过电容的电流与电容电压是相同频率的正弦量，而且电流的相位超前电压 90。它们振幅之间的关系为 fCCXXCIUIUCCmm2111 具有电阻的量纲，称为容抗。当C的单位为F，的单位为rad/s时，XC的单位为。当电容C一定时，频率越高，其所呈现的容抗越小；反之越大。第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.3-7 XC的频率特性曲线 第五章 正弦电路的稳态分析 电容电压和电流可用相量表示为 Re)cos()(Re)cos()(tjmimtjmumeItItueUtUtuiujmmjmmeIIeUU,式中，根据 dtduCi ReRetjmtjmeUdtdCeIReRetjmtjmeUCjeI上式可写成 第五章 正弦电路的稳态分析 IjXUIjXICjUUCjICmCmmmm1根据节 5.2 中定理 4，可得 或（5.3-11）因为(5.3-11)式可以写成)90(11iijmjmumeICeICjejU故 90,1iummICU第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.3-8 电容元件的电流、电压波形图 第五章 正弦电路的稳态分析 5.3.2 KCL、KVL的相量形式的相量形式 对于任意瞬间，KCL的表达式为 0i第五章 正弦电路的稳态分析 图 5.3-9 流向节点A的电流分布 对于图 5.3-9 所示的节点A 有 0321iiii第五章 正弦电路的稳态分析 0ReReRe321tjmtjmtjmeIeIeI0)Re(321tjmmmeIII0321mmmIII对于任意节点，则有 00IIm流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。第五章 正弦电路的稳态分析 同理可得KVL的相量形式为 0mU0U或 它表明，在正弦稳态电路中，沿任意闭合回路绕行一周，各支路电压相量的代数和恒等于零。第五章 正弦电路的稳态分析 例例 5.3-1图 5.3-10(a)所示RL串联电路。已知R=50,L=25H,us(t)=10cos106tV。求电流i(t)，并画出相量图。图 5.3-10 例 5.3-1用图 第五章 正弦电路的稳态分析 解解 激励us(t)的相量为 010jsmeULmRmsmUUUAttiAjjXRUIIjXRIjXIRULXIjXUIRULsmmmLmLmsmLmLLmmRm)6.2610cos(179.0)(6.26179.06.269.55102550010)(25102510,666第五章 正弦电路的稳态分析 例例5.3-2 RC并联电路如图 5.3-11(a)所示。已知R=5,C=0.1 F,us(t)=10cos2t V。求电流i(t)并画出相量图。2图 5.3-11 例 5.3-2用图 第五章 正弦电路的稳态分析 解解 电压源us的有效值相量为 VUs01051.0211CXCCRIIIAttiAjIAjjjXUIARUICsCsR)452cos(4)(452222250102025010第五章 正弦电路的稳态分析 5.4 阻阻 抗抗 与与 导导 纳纳 5.4.1 阻抗与导纳阻抗与导纳 图 5.4-1 第五章 正弦电路的稳态分析 端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用Z表示IUZIUZmm可改写成 IZUIZUmm第五章 正弦电路的稳态分析 如果无源二端网络分别为单个元件R、L和C，则它们相应的阻抗分别为 CjZLjZRZ1,把阻抗的倒数定义为导纳，并用Y表示，即 UIUIYZYmm1(5.4-4)第五章 正弦电路的稳态分析 导纳Y的单位是西门子(S)。当无源二端网络分别为单个元件R、L和C时，它们相应的导纳分别为 CLjBCjYjBLjLjYGRY111式中G为电导，和BC=C分别称为感纳和容纳，单位为西门子(S)。LBL1(5.4-4)式也可改写为 UYIUYImm第五章 正弦电路的稳态分析 5.4.2 RLC串联电路串联电路 图 5.4-2 RLC串联电路及其相量模型 第五章 正弦电路的稳态分析 设电路中的电流为)cos(2)(ititiijIeICLRUUUU根据R、L、C元件的VAR，有CXLXIjXUIjXUIRUCLCCLLR1,第五章 正弦电路的稳态分析 IUZIZIXXjRIjXIjXIRUCLCL)(jXRXXjRZCL)(阻抗Z也可写成极坐标形式，即 ZzjZeZjXRZ式中|Z|和Z分别称为阻抗模和阻抗角。第五章 正弦电路的稳态分析 ZZZZXZRRXarctgXRZsincos22ZiuiujjjjZeeIUIeUeIUZ)(iuZmmIUIUZ第五章 正弦电路的稳态分析 阻抗模等于电压相量 与电流相量 的模值之比，阻抗角等于电压相量 超前电流相量 的相位角。若Z0，表示电压相量 超前电流相量 ；若Z0,i0，故p0，电容供给功率。在此期间，电容电压由最大值逐渐减少到零，电容把贮存的电能全部供给了外电路或电源。当t=T/4 时，电容的贮能wC=0。在(T/4T/2)期间：u0,i0，电容吸收功率。这时，电容反向充电，电容电压由零逐渐达到负的最大值，电容从外电路或电源获得能量并贮存在电场中。当t=T/2时，电容的存贮能量达到最大值 22max21CUCUwmC 电容也不消耗能量，只是与外电路或电源进行能量交换，故平均功率也等于零。TdttpTP00)(1第五章 正弦电路的稳态分析 例例5.5-1 电路如图 5.5-4(a)所示，已知 ，求电阻R1,R2消耗的功率和电感L、电容C的平均贮能。tVtus5cos102)(图 5.5-4 例 5.5-1 用图 第五章 正弦电路的稳态分析 解解 405.0511515CXLXCLVUs010VjIjXUAjUIAjUICCss9.3681.532421.5321.535010434541.14507.70105521第五章 正弦电路的稳态分析 JCUWJLIWWRIPWRIPCavvL6.16405.021211212121123210541.121212221221211第五章 正弦电路的稳态分析 5.6 正弦稳态电路中的功率正弦稳态电路中的功率 5.6.1 二端电路的功率二端电路的功率 图 5.6-1 二端电路的瞬时功率波形 第五章 正弦电路的稳态分析 设端口电压为)cos()(umtUtu电流i是相同频率的正弦量，设为)cos()(imtIti)cos()cos()()()(iummttIUtitutp2)cos()cos(coscosyxyxyx)2cos()cos()2cos(21)cos(21)(iuiuiummiummtUIUItIUIUtp第五章 正弦电路的稳态分析 当u0,i0或u0,i0；当u0，i0或u0 时，二端电路供给功率，p0,表示i1的相位超前i2;若0，表示i1的相位滞后i2。正弦电流可以表示为 2ReRe)cos(tjtjmime IeItIi式中 称为电流振幅(有效值)相量。相量是一个复常数，它的模表示了正弦电流的振幅(有效值)，辐角表示了正弦电流的初相角。)(iijjmmIeIeII第五章 正弦电路的稳态分析 2.R,L,C元件元件VAR相量形式相量形式 第五章 正弦电路的稳态分析 3.阻抗与导纳阻抗与导纳一个无源二端电路可以等效成一个阻抗或导纳。阻抗定义为 ZZIUZmmIUIUZiuZjXRZZZ第五章 正弦电路的稳态分析 ZZZXZRsincosRXarctgXRZZ22指数型与代数型的转换关系为 导纳定义为 yYUIYZY1第五章 正弦电路的稳态分析|Y|称为导纳模，y称为导纳角。它们与电流、电压之间有如下关系：uiymmUIUIYZyZY1导纳也可以表示成代数型，即 jBGYYy第五章 正弦电路的稳态分析 指数型与代数型的转换关系为 yyYBYGsincosGBarctgBGYy22第五章 正弦电路的稳态分析 4.电路定律的相量形式和相量分析法电路定律的相量形式和相量分析法KCL和KVL的相量形式分别为 00UI欧姆定律的相量形式为 IZU第五章 正弦电路的稳态分析 5.正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率 ZZUIQUIPsincosZjSeSjQPSUIP任一阻抗Z的有功功率(平均功率)和无功功率分别为 视在功率为 复功率为 在电源和内阻抗Zi一定条件下，负载阻抗ZL获得最大功率的条件为*iLZZ 第五章 正弦电路的稳态分析 这称为共轭匹配，此时负载获得的最大功率为 iiiLZXRP22这称为模匹配，即负载电阻RL等于内阻抗的模|Zi|时，能获得最大功率。计算模匹配情况下的最大功率，首先应该计算流过负载电阻RL的电流 ，那么负载电阻消耗的功率为 RILRLRIP2