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余弦定理教师：郭庆友(1)语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍(2)公式表达1、余弦定理：在中，有，余弦定理证明如上图所示，ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明2、余弦定理的推论：，3、设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则注：此法可以进行三角形形状的判定：主要判定最大角的余弦值的正负号，若最大角的余弦值为负数，也即最大角为钝角，所以此三角形为钝角三角形；若最大角的余弦值为0，也即最大角为直角，所以此三角形为直角三角形；若最大角的余弦值为正数，也即最大角为锐角，所以此三角形为锐角三角形；4、余弦定理的适用范围余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：已知三角形两边及夹角求第三边；是已知三个边求角的问题.若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。注：在两边一对角的三角问题中，也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边；余弦定理的应用要比正弦定理范围广泛。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值例题：1 在ABC中，已知，求b及A；解析：（1）=COS=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即例2： 思路点拨：由题目可获取以下主要信息：已知三边比例； 求三角形的三内角 解答本题可应用余弦定理求出三个角题后感悟此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)例3：题后感悟可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦方法二直接运用正弦定理，先求角再求边2 若将题中条件改为“b3，c2，A30”，应如何求解三角形？考点二：判断三角形的形状 例5： 在ABC中，若，试判断三角形的形状思路点拨：由题目可获取以下主要信息：边角之间的关系：；确定三角形的形状解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状题后感悟判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状4在ABC中，(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状1余弦定理与勾股定理之间的联系(1)对于余弦定理中，若C90，则，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛特别提醒在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件2解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边(3)已知两边和它们的夹角，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角(4)已知三角形的三边，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角要解三角形，必须已知三角形的一边的长若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解已知钝角三角形的三边ak，bk2，ck4，求k的取值范围【错因】忽略隐含条件k(k2)k4，即k2，而不是k0.1.1.2 余弦定理 同步练习一、 选择题1在ABC中，则角为（） 在ABC中，已知，边上的中线，则sin的值为（） 在ABC中，若，并有sinAsinBcosC,那么ABC是（）直角三角形 等边三角形 等腰三角形等腰直角三角形二、填空题ABC中，ABC，则_5. 在ABC中，已知,ABC,则_三、解答题6在ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。7已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积
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