数学人教A版选修12作业与测评：2.1.1 合情推理2 Word版含解析

课时作业4合情推理(2)知识点一几何中的类比 1.在平面内，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案18解析由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系故若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18.2在平面中，ABC的ACB的平分线CE分ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为_答案解析平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有.知识点二 三角中的类比3.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可知扇形面积公式为()AS BSCS D无法确定答案C解析扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S.知识点三 类比的应用4.下面使用类比推理恰当的是()A“若a3b3，则ab”类比推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”类比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”答案C解析由实数运算的知识易得C项正确5利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示解平面向量的坐标表示：若i，j为平面直角坐标系中x轴，y轴的单位向量，axiyj，则a(x，y)类比可得空间向量的坐标表示：若i，j，k为空间直角坐标系中x轴，y轴，z轴的单位向量，bxiyjzk，则b(x，y，z).易错点 类比不当或机械类比6.若数列an(nN*)是等差数列，则有数列bn(nN*)也是等差数列类比上述性质，相应地：若数列cn(nN*)是等比数列，且cn0，则数列dn_(nN*)也是等比数列易错分析本题易忽视商开方的情况，进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不能只从表象类比，否则就会产生机械性类比的错误答案解析由等差、等比数列之间运算的相似特征知，“和积，商开方”，容易得出dn也是等比数列一、选择题1下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A三角形 B梯形C平行四边形 D矩形答案C解析只有平行四边形与平行六面体较为接近2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A B C D答案C解析正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故都对3设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A. B.C. D.答案C解析将ABC的三条边长a，b，c类比到四面体PABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，VS1rS2rS3rS4r，r.4在平面直角坐标系内，方程1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的直线方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1答案A解析由类比推理可知，方程应为1.二、填空题5若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn.现已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且bma，bnb(mn，m，nN*)，类比以上结论，可得到bmn_.答案解析等差数列中的除法与等比数列中的开方对应，等差数列中的乘法与等比数列中的乘方对应，所以bmn.类比是由特殊到特殊的推理，在运用类比推理时，其一般步骤为：首先，找出两类事物之间的相似性或一致性；然后，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)在近年的高考中屡有出现，且不断翻新，不但考查同学们对联想、类比等方法的掌握情况，还考查同学们的演绎(逻辑)推理能力，本题具有一定的难度，属于高档题6在RtABC中，C90，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径为r，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：_.答案在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PAa，PBb，PCc，则三棱锥PABC的外接球的半径为R解析利用类比推理，可把RtABC类比为三棱锥PABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PAa，PBb，PCc时，其外接球半径为R.7给出下列推理：(1)三角形的内角和为(32)180，四边形的内角和为(42)180，五边形的内角和为(52)180，所以凸n边形的内角和为(n2)180；(2)三角函数都是周期函数，ytanx是三角函数，所以ytanx是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行其中属于合情推理的是_(填序号)答案(1)(3)(4)解析根据合情推理的定义来判断因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理三、解答题8在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则有S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列bn中，若Tn是bn的前n项积，试得出类似结论并证明解类比等差数列可得等比数列对应性质：在公比为4的等比数列bn中，Tn表示bn的前n项积，则，也成等比数列且公比为4100.证明如下：Tnb1b2bnb1b1qb1q2b1qn1T10b445，T20b4190，T30b4435，T40b4780.b4145，b4245，b4345.而4100，4100，是以4100为公比的等比数列9已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特征的性质，并加以证明解类似的性质为：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(m，n)因为点M(m，n)在已知的双曲线上，所以n2m2b2，同理，y2x2b2.则kPMkPN(定值)