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高数公式导数公式：(tgx) sec x(ctgx)esc2 x(secx) seex tgx (esex)cscx ctgx(ax) ax lna(log ax) xl na(arcsin x)11 x2(arccos x)1、1 x2(arctgx)11 x2(arcctgx)11 x2cscxdx In cscx ctgx Cdx2 .2sec xdxtgx Ccos xdx2 2csc xdxctgx Csin xsecx tgxdx secxC基本积分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscx ctgxdx cscx Cxx a axdxCIn ashxdx chx Cdx-22a x丄InU2a a xchxdx shx Cdx.x arcs inadx.x2 a222In( x x a ) C nnn11nsinxdxcosxdxI n 200n22 2 vx adxxVx22 aaIn(xJ x2 a22222 2Vx adxxvx22 aaInx；2 2 V x a2222 2dxx；22ax -va xvaxarcsin-C22a22IC)C三角函数的有理式积分:2usin x 2, cosx1 u2u1 u2，tgf，dx2du1 u2xxe e2shx exx echx exx21)x21)x esinxlim1x 0 x1 x lim(1 -)x x xe 2.718281828459045双曲正弦：shx 双曲余弦：chx 双曲正切:thx arshx In (xarchx In (xarthxllnl x2 1三角函数公式:诱导公式：sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctg-和差角公式:sinsin2si ncos22sinsin2 cossin22-和差化积公式:cos cos 2 cos cos2 2coscos2 si nsin22函数角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 acos asin actg atg a90 acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 a-sin a-cos atg actg a270 a-cos a-sin actg atg a270 a-cos asin a-ctg a-tg a360 a-sin acos a-tg a-ctg a360 asin acos atg actg asin 2cos22sin cos2 22 cos1 1 2s in2 cosctg2ctg212ctgtg22tg21 tg倍角公式:-半角公式:.2 sinsin33si n4si n33cos3 4cos 3costg33tg tg321 3tg2：1 cos sin 22)1 costg 2, 1 cos1 cos sinsin 1 coscos21cosX2ctg-1cos1 cos1cossinsin1 cos-正弦定理:asin Absin Bsin C2R-余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC-反三角函数性质：arcsin x arccosx2arctgx arcctgx2)公式:(uv)(n)n即 k)v(k)k 0(n)(n 1)n(n 1) (n 2)u Vnu vuv2!高阶导数公式莱布尼兹(Leib niz中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a)n(n 1) (n k 1)紆化) u v k!f ( )(b a)UV(n)柯西中值定理：丄包血丄F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。M点的曲率：Klim0d y_ds J(1 y2)3直线：K 0;半径为a的圆：K丄.定积分的近似计算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab a, (yo yi nb a 1 z 、 (y。 yn) n 2yn 1)yiyn ib抛物线法：f (x)a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yi y3yn i)定积分应用相关公式:功：W F s水压力：F p A引力：F kmimP2,k为引力系数rf(x)dx均方根：.1f2(t)dt函数的平均值：yb a空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d M1M2 向量在轴上的投影：PrjuAB.(X2 xj2 (y2 如)2 (Z2 乙)2 AB cos ,是AB与u轴的夹角。Pr ju(a1 a?) Pr ja1 Pr ja2a b cosaxbxay byazbz，是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbx2 2axayayby azbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybyazbza b sin.例:线速度:向量的混合积:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzb I c cos ,为锐角时,代表平行六面体的体积 。平面的方程:1、点法式：A(x x0) B( y y0) C(z 般方程：Ax By3、截距世方程：-ya b2、Cz D 0zo) o,其中 n A, B,C, Mo(xo,yo,zo)平面外任意一点到该平面的距离:Axo By。Czo DA2 B2 C2Xo空间直线的方程:x XomyyonZoPt,其中s m, n, p;参数方程:yomtntZopt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222:xyz： 2 22abc222:xyz： 2.22abc椭球面:1抛物面:双曲面:11(马鞍面)单叶双曲面双叶双曲面多元函数微分法及应用全微分：dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz多元复合函数的求导法：du dx dy dzx y zfx(x,y) x fy(x,y) yz fu(x,y),v(x,y)zxz uuzxvvx当u u(x,y), v v(x, y)时，du dx dydvdxdyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y) 0,dyFx,d2y.2-(fx)+(dxFydxxFy隐函数 F(x,y,z) 0,zF,zFyxFzyFzz fu(t),v(t)Fx) dy Fy) dxdz z u z v dt u t v tFF隐函数方程组：feuv) 0J(F,G)u飞Fu FvG(x,y,u,v) 0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)Xj(x,v)Xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)z Zo在点M处的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)0Fy FzGy G zFzFxGz GxFxGx若空间曲线方程为：F(x, y,Z) 0则切向量T G(x,y,z) 0曲面 F (x, y,z) 0 上一点 M(Xo,y,Zo)，则:过此点的法向量：n Fx(Xo, yo,Zo), Fy(x, y, Zo), Fz(x, y,z。)过此点的切平面方程：Fx(Xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y)FyGy1、2、Fz(x,y,Zo)(z Zo) O3、x Xoyyoz Zo过此点的法线方程：Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo,yo,Zo)(t)在点M(X0,yo,Z0)处的切线方程：益 =方向导数与梯度:函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为：-cos xsin y其中为x轴到方向I的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y)它与方向导数的关系是： grad f (x,y) e，其中e cos isinj，为l方向上的单位向量。f是gradf (x, y)在l上的投影多元函数的极值及其求法：设fx(xo,y，o)fy(Xo, yo)0,令：fxx(xo,yo) A,fxy(xo, yo) B,fyy(xo,yo) CACB20时，Ao,(xo,yo)为极大值Ao,(xo,yo)为极小值则：ACB20时，无极值ACB20时,不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面积A2dxdy平面薄片的重心：x业Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量： 对于X轴I X平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2 (x, y)d ,D对z轴上质点M (0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I yo)的引力:3 ?D/222X2(x y a )柱面坐标和球面坐标：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐标：y r sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0丄M转动惯量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设f (x, y)在L上连续,L的参数方程为:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2 sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),则:特殊情况:y (t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为y(;),则:P(x,y)dx Q(x,y)dyL两类曲线积分之间的关P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x yl当Py,Q x,即：卫2时，x y平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域；Qdy(Pcos QcosLQdy格林公式：(-QD X得到D的面积：A)ds其中和分别为P)dxdy ydxdyD:Pdx QdyLxdy ydx2lQP2、P(x,y), Q(x,y)在 G内具有一阶连续偏导数,且-Q二上。注意奇点，如(0,0)，应xy减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积：Q P在一=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y00(xo,yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y) 1 z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x, y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQx yR)dvz、Pdydz Qdzdx Rdxdy:(P cosQcos散度：.PdivQR,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyz通量：A ndsAn ds(PcosQ cosRcos)ds，高斯公式的物理意义 通量与散度:Rcos )dsdiv0,则为消失因此，咼斯公式又可写成： div Adv . Andsy zz xdydz dzdx上式左端又可写成：xyPQ斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：( )dydz (-P )dzdx空间曲线积分与路径无关的条件:QP()dxdy。PdxQdyRdzxydxdycoscoscoszxyzRPQRRQPRQ Pyzzxx yi旋度：rotA xP向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx Qdy Rdz A tds常数项级数：等比数列：q q2等差数列：2 3调和级数：-1231 qn1 q(n 1)n21是发散的n级数审敛法:1、正项级数的审敛法设： lim n Un，则根植审敛法(柯西判1时，级数收敛1时，级数发散1时，别法)：不确定2、比值审敛法:设： limUnn 1uT，则级数收敛 级数发散1时，1时，1时，不确定3、定义法:SnU1U2Un;lim sn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数U1U2U3U4U1 U2 U3,Un 0)的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足UnUn 1.门，那么级数收敛且其和Slim Un 0nUi,其余项rn的绝对值rnUn 1。绝对收敛与条件收敛:(1)U1 U2U1如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1发散，而n丄收敛；n1 /pn p . pU2U3Un，其中un为任意实数;Un调和级数:级数:1时发散1时收敛幕级数:1 x x21时，收敛于 -1 X发散1时,对于级数(3)a0ax2a?x数轴上都收敛，则必存anXx在R,使 xx，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时,求收敛半径的方法：设limnan 1an，其中an， an 1是(3)的系数，则0时，时，R 0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:f(x)f(X0)(X X0)-(x X0)22!(n),f (x0)(x X0)nn!余项：Rn：(n 0()x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R, 0x0时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f (0)x2!f (n)(0) nXn!些函数展开成幕级数:(1 x)m1 mx2!m(m 1) (m n 1) nXn!1 x 1)sinx x3X3!5X5!1)n2n 11(2n 1)!欧拉公式:ixe cosxi si nxcosx或sin xix e三角级数:f(t) A。ixe2ixixe e2A sin( nn 1aA，anAn sin n，S其中，正交性：1,sin x, cosx, sin 2x,cos2x 上的积分=0。傅立叶级数：a(an cosnxn 1An COs n， sin nx,cosnxbn sin nx)X。t任意两个不同项的乘积 在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期 2anf(x)cosnxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n 1,2,31丄321 122428 24 11221321孑2(相加)62一(相减)12正弦级数:an0, bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bn sin nx是奇函数余弦级数:bn0, anf(x)cosnxdx0,1,2f(x)ao2an cos nx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数:f(x) 7an其中bn/ n x ,.(an cosbn sinn 1lln x,f (x) cos dxilX),周期 211(n 0,1,2 )1 ln x-f (x)si ndx1 i1(n 1,2,3 )微分方程的相关概念:或 P(x,y)dx Q(x, y)dy 0f(x)dx的形式，解法:一阶微分方程：y f (x, y)可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dyg(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。dydx齐次方程：一阶微分方程可以写成f(x,y)(x, y),即写成丫的函数，解法:x设u y，则包u x dx即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：duxdx，dudx(u),dxxdu-分离变量，积分后将代替u,ux1、阶线性微分方程:dydxP(x)yQ(x)当Q(x) 0寸，为齐次方程,y CeP(x) dx当Q(x) 0时，为非齐次方程，yP(x)dx(Q(x)e dxP(x)dxC)e2贝努力方程:全微分方程：如果 P(x, y)dx矽 P(x)y Q(x)yn, (n 0,1) dxQ(x,y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即：uudu(x, y) P(x, y)dx Q(x,y)dy 0,其中：P(x,y),Q(x,y)xyu(x,y) C应该是该全微分方程的 通解。0时为齐次0时为非齐次二阶微分方程：雪 P(x)dy Q(x)y f(x), f(x)dxdxf (x)二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;1、写出特征方程：()r2 pr q 0,2、求出()式的两个根r1,r2r1， r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p24q 0)yrixr2xceC2e两个相等实根(p24q 0)y(Ci C2x)erix一对共轭复根(p24q 0)ye x (Ci cos x C2 sin x)rii，QipJ41 p22，2二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)，p,q为常数f(x) e xPm(x)型，为常数；f (x) exR(x)cos x Pn(x) sin x型