2.1例析化归思想在数学解题中的应用ppt课件

例析化归思想 在数学解题中的应用 王亚红 给你一个煤气灶、一个水龙头、一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？于是回答：把空水壶放到水龙头底下，打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，打开煤气灶，把一满壶水烧开。那如果给你一个煤气灶、一个水龙头、一个已装了半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？他说，物理学家这时会回答，把装了半壶水的壶放到水龙头底下，打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，打开煤气灶，把一满壶水烧开。但是数学家的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为刚才已解决的问题了。（一）的应用（1一条线段AG上有B、C、D、E、F五个点，你能说出图中共有几条线段吗？（2一条线段上共有n个点，你能说出这n个点构成几条线段吗？答案是：(1)2n n(1)2n n 图一 图二（二一个易被学生遗忘的几何原型（1）在梯形ABCD中，ADBC，E、F分别为对角线DB、AC的中点。求证：EF=(BC-AD)12(2)AB为 O 的直径，弦CD与AB相交，AE CD,BFCD,垂足分别为E、F，若AB=10,CD=8,求:BF-AE的值。分析：与弦有关的题目添加辅 助线首先考虑作弦心距OP，由平行线等分线段定理得 PE=PF，这样就得到前面提到的原型图AEBF ，求出OP，那么 BF-AE=2OPABCDEFOP（三轴对称在数学解题中的三种运用模式v1、两点一线v(1)、小河边有两个村庄、要在河边建一自来水厂向村与村供水。若要使水厂到、村的水管最省料，应建在什么地方？(2)、四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE1，P是对角线BD上任一点，则PEPC的最小值是_。分析：本题可理解为在直线BD的同旁有点E、C,在BD上求一点P,使P到E、C距离和最小。即“两点一线问题。在图中C关于BD的对 称点即点 A,所以连接 AE,AE与BD的交点 即为点P,此时PEPC=AE,由两点之间线段最短，知此为 最小值。v（3）、在梯形ABCD中，ADBC，ABCDAD1，B60，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PCPD的最小值为_。分析：本题可理解为在直线MN的同旁有点D、C,在MN上求一点P,使P到D、C距离和最小。即“两点一线问题。在图中D关于MN的对称点即点A,所以连接 AC,AC与MN的交点即为点P,此时PDPC=AC.（4）、点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PMPN的最小值是（）分析：本题为在直线AC的同旁有点M、N,在AC上求一点P,使P到M、N距离和最小。即“两点一线问题。作M关于AC的对称点M1,连接M1N与 AC交点即为所求的点P M1N=PMPN的值。（5）、MN是 O 的直径，MN=2，点A在 O 上，AMN=30,B为 的中点，P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值是多少？分析：本题为在直线MN的同 旁有点A、B,在MN上求一点P,使P到A、B距离和最小。即 “两点一线问题。作A关于 MN的对称点A1,连接A1B与 MN交点即为所求的点P。BOA1=90,由勾股定理求出 A1B的值，即PA+PB。AN(6)知，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-3,0),B(1,0),C(0,),此抛物线的顶点为D。（1求此抛物线的解析式。（2在直线BC上是否存在一点P,使得PAD的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。分析:由于AD值一定，若要 PAD的周长最小,即PA+PD 和最小，又归结为在直线BC 的同旁有点A、D,在BC上求 一点P,使P到A、D距离和 最小。即 “两点一线问题。3v（7）、在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O0，0），B0，4），把AOB绕点O按顺时针方向旋转90，得到COD.v求(1)C、D两点的坐标。v（2经过A、B、D三点的抛物线解析式。v（3在2中的抛物v线的对称轴上取两点E、vF点E在点F的上方），v且EF=1，使四边形ACEFv的周长最小，v求出E、F两点的坐标。分析：（3只需求AF+CE最短。抛物线的对称轴为x=1,EF=1，将点A向上平移1个单位至A1(-2,1)，则AF=A1E，又归结为在直线EF的同旁有点A1、C,在对称轴上求一点 E,使E到A1、C距离和最小。即 “两点一线问题。作A1关于对称轴x=1的对称点A2(4,1),连结A2C，A2C与 对称轴交于点E，E为所求。2、一点两线（1两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，选定加油站的位置，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析：两相交直线OA、OB，及一点P,在OA、OB上各求一点,使这两点与P组成 的三角形周长最小。即 “一点两线问题。分别做 点P关于直线OA和OB的 对称点P1、P2，连结P1P2 分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是所求满足条件的油库的位置。v(2)O=30，在角内空间任取一点P，令OP=10cm,若在角的两边上任取两点Q、R，v求 PQR的最小周长。v分析：两相交直线，及一v 点P,在两直线上各求一点,v 使这两点与P组成的三角v 形周长最小。即“一点两v 线问题。分别做P关直v 线的对称点P1、P2，连v 结P1P2，分别交两线于v Q、R，线段P1P2的长度即 PQR的最小周长。由线段垂直平分线的性质易得 P1OP2为边长是10cm的等边三角形，PQR的最小周长=P1P2=10cm 3、两点两线（1在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C0，n）、Dm,0）,当四边形ABCD的周长最短时，求m,n的值分析：即两相交直线，及两点 A、B,在两直线上各求一点,使 这两点与A、B 组成的四边形周 长最小。即“两点两线问题。因 为A、B是定点且长度不变，只要 使其它的三条线段的和最小即可，所以考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。画点A关于x轴的对称点A1，点B关于y轴的对称点B1，A1B1与两轴交点即分别为点C、D，只要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C和点D 的坐标。（2知，抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,3),B(1,0),C(5,0)。求1此抛物线的解析式。（2若一动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点E,再到达抛物线的对称轴上某点F，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求这个最短总路径长。分析：第二问即两相交直线x轴及对称轴），及两点 A、M,在两直线上各求一点,使总路径最短。即“两点两线问题。所以考虑用轴对称的方法将ME、EF、AF这 三条折线拉直。画点A关于对称轴的 对称点A1，点M关于x轴的对称点M1，A1M1与对称轴及x轴交点即分别为点 F、E.。只要求出直线A1M1的函数解析 式就可以求出点E和点F 的坐标。并 求这个最短总路径长。v总结：总结：v轴对称在数学解题中三种模式的运轴对称在数学解题中三种模式的运用用v两点一线式：做其中一点关于这条两点一线式：做其中一点关于这条直线的对称直线的对称 点，连接所做对称点点，连接所做对称点与另一点，与直线的交点即所求的与另一点，与直线的交点即所求的点。点。v一点两线式：分别做这一点关于这一点两线式：分别做这一点关于这两条直线的对称点，连接所做两个两条直线的对称点，连接所做两个对称点，与这两条直线的交点即所对称点，与这两条直线的交点即所求的点。求的点。v两点两线式：分别做这两点关于这两点两线式：分别做这两点关于这两条直线的对称点，连接所做两个两条直线的对称点，连接所做两个对称点，与这两条直线的交点即所对称点，与这两条直线的交点即所求的点。求的点。折叠平移平移隐藏原型图v（三双直三角形的应用(1)四边形ABCD中，DCBC，若AB=100，A=45，ABD=75，CBD=30，求BC的长。分析：此题含有两个三角形，其 中一个不是直角三角形，可通过添加适当的辅助线 （一般不破坏已知的特殊角），即过B用BEAD，垂足为E，从而化“斜为“直”，由于BCD BED，将条件集中到RtABE 中来解决，求出BE即BC长。(2)如图，在ABC中，A=90，AB=AC，D是AC上的一点，且CD=3AD，求tanDBC的值。分析：要求的DBC在斜三角形中，而tanDBC的值不能从给定的直角 三角形中的到，故需将其转化到直 角三角形中，作辅助线DEBC，构造RtDBE来求tanDBC的值。在条件中没有给出有关线段的长度，于是将已知条件中的CD=3AD中的AD用参数k来表示，并对其是“设而不求”，这是一种常用的方法，这样让字母来参与运算，应用方便。(3)、初二、初二一班学生为了测量河两岸建筑物一班学生为了测量河两岸建筑物AB和和建筑物建筑物CD的水平距离的水平距离AC，他们首先在，他们首先在A点处点处测得建筑物测得建筑物CD的顶部的顶部D点的仰角为点的仰角为25，然后，然后爬到建筑物爬到建筑物AB的顶部的顶部B处测得建筑物处测得建筑物CD的顶的顶部部D点的俯角为点的俯角为1530。已知建筑物。已知建筑物AB的高的高度为度为30米，求两建筑物的水平距离米，求两建筑物的水平距离AC。（精。（精确到确到0.1米）米）分析：解题的关键是依据题分析：解题的关键是依据题意，通过作垂线构造两个直意，通过作垂线构造两个直角三角形，设两直角三角形角三角形，设两直角三角形的公共边的公共边DH=x米，利用三角米，利用三角函数及方程将有关数据有机的联系起来。函数及方程将有关数据有机的联系起来。2525(4)、如图，一斜坡的倾斜角为15，坡上有一棵树AB，当阳光与水平线成45角照射时，树影BC在斜坡上的长为7.80米，求树高精确到0.01米）分析:作辅助线，即过点B作BHAC，把ABC“分割成双直角三角形RtCHB和RtABH），即利用公共直角边HB沟通RtCHB和RtABH之间的联系，直接设未知数即可列出方程求解(5)今年入夏以来，松花江哈尔滨水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60方向上，前进100米到达B点，又测得航标C在北偏东45方向上，以航标为圆心，120米长为半径的圆形区域有浅滩，如果继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？分析:通过作辅助线，即过点C作CDAB，交AB的延长线于D，把ABC“补成双直角三角形（RtCBD和RtCAD），利用公共直角边CD来沟通RtCBD和RtCAD的联系，直接设未知数列出方程，即可得出解题思路v(6)如图，为测量探空气球离地面的高度CD，两个测量人员在地面上相距100米的A、B两点B、D在A的正东方向），测得仰角CAD=45，CBD=60v （1试计算气球离地面的高度；v分析：（1通过公共直角边v CD把ACD“折叠成双直角三v 角形RtCAD和RtCBD），v 利用公共直角边CD沟通RtCADv 和RtCBD之间的联系，即可直v 接设未知数列出方程，从而求出v 解题结果v v（2一股气流把气球向东吹去，20秒钟后到达C处，重新测得气球离地面的高度不变，但从点A测得仰角度数为CAD=30，试求气球飘移的速度v分析：（2通过平移CD到CDv ，“回位”成双直角三角形v RtCAD和RtCAD），v 利用相等的直角边CD，CDv 来沟通RtCAD和RtC ADv 之间的联系，求出CC的长，v 即可求解（7），如图是某型号飞机的机翼形状，其中ABCD，ACM=45，BDN=30，点B到EF的距离是3米，AB=2米，根据题中的数据，计算AC、BD和CD的长结果保留根号）分析：通过平移AC，作垂线，“回位成双直角三角形 （RtDEB和RtBEF），通过公共直角边BE沟通RtDEB 和RtBEF的联系，利用解直角 三角形的知识，就能得出解答 M（8如图，ABC中，A=90，AB=AC，D是AC上的一点，且AD DC=1 3，求tanDBC的值分析：此题的特征，在条件中 没有给出有关线段的长度，又tanDBC的值不能从给定 直角三角形中得到，因而，给解题带来了困难，但我们可以通过构造一个 直角三角形及构造方程可求得tanDBC的值 此题同前面第二题。v总结：总结：v 解解“双直角三角形问题双直角三角形问题的关键是：适当添加辅助线，灵的关键是：适当添加辅助线，灵活转化图形，运用活转化图形，运用“化斜为直化斜为直的数学思想构造双直角三角形，的数学思想构造双直角三角形，明确已知条件和所求问题是解直明确已知条件和所求问题是解直角三角形中的什么元素角三角形中的什么元素角、角、边、线等等，用公共或相等边、线等等，用公共或相等的直角边沟通已知条件和未知元的直角边沟通已知条件和未知元素之间的关系，设定未知数找出素之间的关系，设定未知数找出等量关系列出方程，就能使问题等量关系列出方程，就能使问题迎刃而解迎刃而解波利亚的波利亚的“解题表解题表”v第一，弄清问题第一，弄清问题v未知数是什么？已知数据是什么？条件是未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？什么？满足条件是否可能？v要确定未知数，条件是否充分？或者它是要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者否不充分？或者是多余的？或者 是矛盾是矛盾的？的？v画张图。引入适当的符号。画张图。引入适当的符号。v把条件的各个部分分开。你能否把它们写把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？下来？v第二，拟定计划第二，拟定计划 v你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道可能用得上的定理？可能用得上的定理？v看着未知数！想一个具有相同或相似未知数的熟看着未知数！想一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题。悉的问题。v这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？该引入某些辅助元素？v你能否重新叙述问题？你能不能用不同的方法重你能否重新叙述问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？新叙述它？v回到定义去！v如果你不能解决所提的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？v你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？v第三，实行计划第三，实行计划v你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？v实现你的求解计划，检验每一步骤。实现你的求解计划，检验每一步骤。v第四，回忆第四，回忆v检查结果并检验其正确性。检查结果并检验其正确性。v换一个方法做这个题。换一个方法做这个题。v尝试把你的结果和方法用到其他问题上。尝试把你的结果和方法用到其他问题上。陈省身的话陈省身的话v做数学，要做得很熟练，做数学，要做得很熟练，要多做，要反复的做，要要多做，要反复的做，要做很长时间，你就明白其做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新中的奥妙，你就可以创新了。灵感完全是苦功的结了。灵感完全是苦功的结果，果，要不灵感不会来。要不灵感不会来。华罗庚的话华罗庚的话 妙算还从拙中来，愚公智叟两分开。积久方显愚公智，发白始知智叟呆。埋头苦干是第一，熟能生出百巧来。勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。熟能生巧的理论思考v熟能生巧，熟能生巧，是中国文化传统的组成部是中国文化传统的组成部分，也是中国数学教育重要理念之一分，也是中国数学教育重要理念之一。v记忆通向理解记忆通向理解v速度赢得效率速度赢得效率 v严谨形成理性严谨形成理性 v重复依靠变式重复依靠变式 v张奠宙张奠宙谢 谢！