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第三章检测试题唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。 (时间:120分钟满分:150分)“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 【选题明细表】其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。 知识点、方法题号导数的定义及其计算2,3,13导数的几何意义1,9,14,17函数的单调性4,5,10,15,18函数的极值与最值6,7,19不等式恒成立问题11导数的实际应用8,20导数的综合应用12,16,21,22一、选择题(每小题5分,共60分)1.曲线y=x2-2x在点(1,-)处的切线的倾斜角为(D)(A)-135(B)45(C)-45 (D)135解析:y=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此,倾斜角为135.故选D.2.下列求导运算正确的是(B)(A)(x+)=1+(B)(log2x)=(C)(3x)=3xlog3e(D)(x2cos x)=-2xsin x解析:(x+)=1-,所以A不正确;(3x)=3xln 3,所以C不正确;(x2cos x)=2xcos x+x2(-sin x),所以D不正确;(log2x)=,所以B正确.故选B.3.若f(x0)=-3,则等于(A)(A)-12(B)-9 (C)-6(D)-3解析:因为=+3=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以=-12.故选A.4.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是(A)(A)(0,) (B)(,+)(C)(-,0)(D)(-,0)(,+)解析:f(x)=2x2-x3,f(x)=4x-3x2,由f(x)0得0x.故选A.5.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是(C)(A)在区间(-2,1)上f(x)是增函数(B)在(1,3)上f(x)是减函数(C)在(4,5)上f(x)是增函数(D)当x=4时,f(x)取极大值解析:由导函数y=f(x)的图象知,f(x)在(-2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减,在(4,5)上单调递增,x=4是f(x)的极小值点,故A,B,D错误.故选C.6.函数y=x4-4x+3在区间-2,3上的最小值为(D)(A)72 (B)36 (C)12(D)0解析:y=4x3-4,令y=0,则4x3-4=0,x=1,当x1时,y1时,y0得y极小值=yx=1=0,得ymin=0.故选D.7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为(D)(A)(-1,2) (B)(-3,6)(C)(-,-1)(2,+)(D)(-,-3)(6,+)解析:因为f(x)有极大值和极小值,所以导函数f(x)=3x2+2ax+(a+6)有两个不等零点,所以=4a2-12(a+6)0,得a6.故选D.8.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为(C)(A) (B) (C) (D)2解析:设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2sin 60l,所以l=,所以S表=2S底+3S侧=x2sin 60+3xl=x2+,S表=x-.令S表=0,所以x3=4V,即x=.又当x(0,)时,S表0,所以当x=时,表面积最小.故选C.9.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象是曲线C,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是(D)(A)(-,-)(B),+)(C)(-,)(D)(-,解析:函数f(x)=ex-mx+1的导数为f(x)=ex-m,设切点为(s,t),即有切线的斜率为es-m,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则关于s的方程es-m=-无实数解,由于es0,即有m-0,解得m.故选D.10.已知向量a=(ex+,-x),b=(1,t),若函数f(x)=ab在区间(-1,1)上单调递增,则t的取值范围是(A)(A)(-,-1(B)(e+1,+)(C)(-1,e+1)(D)(-,-1)解析:f(x)=ex+-tx,f(x)=ex+x-t,由题意得ex+x-t0,即tex+x在(-1,1)上恒成立,所以t-1.故选A.11.当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是(C)(A)-5,-3(B)-6,-(C)-6,-2(D)-4,-3解析:显然x=0时,对任意实数a,已知不等式恒成立;令t=,若0x1,则原不等式等价于a-+=-3t3-4t2+t,t1,+),令g(t)=-3t3-4t2+t,则g(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),由于t1,故g(t)0,即函数g(t)在1,+)上单调递减,最大值为g(1)=-6,故只要a-6;若-2xk1,则下列结论中一定错误的是(C)(A)f()(C)f()解析:因为f(x)k1,构造函数g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R上单调递增,又0,所以g()g(0)即f()-1,得到f(),所以C选项一定错误.A,B,D都有可能正确.故选C.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为.解析:f(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,所以f(0)=3.答案:314.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=.解析:因为f(1)=2+a,f(1)=3a+1,所以切线方程为y-(2+a)=(3a+1)(x-1),又切线过点(2,7),所以5-a=3a+1,得a=1.答案:115.函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是.解析:由y=3x2+2x-50得x1.答案:(-,-),(1,+)16.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是.解析:由于f(x)=1+0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)=+在x1,2上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a.答案:,+)三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)因为f(x)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率k=f(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=3+1=4,所以x0=1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=,x2=,x1x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时,f(x)0;当x1x0.故f(x)在(-,)和(,+)内单调递减,在(,)内单调递增.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21.由(1)知,f(x)在0,1上单调递增.所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减.所以f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.19.(本小题满分12分)给定函数f(x)=-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+.(1)求证:f(x)总有两个极值点;(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值.(1)证明:因为f(x)=x2-2ax+(a2-1)=x-(a+1)x-(a-1),令f(x)=0,解得x1=a+1,x2=a-1.当x0;当a-1xa+1,f(x)0.所以x=a-1为f(x)的一个极大值点.同理可证x=a+1为f(x)的一个极小值点.所以f(x)总有两个极值点.(2)解:因为g(x)=1-=.令g(x)=0,则x1=a,x2=-a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点,且x1=a和a+1,a-1不可能相等,所以当-a=a+1时,a=-;当-a=a-1时,a=.经检验,当a=-和a=时,x1=a,x2=-a都是g(x)的极值点.20.(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L=0,得x=6+a或x=12(不合题意,舍去).因为3a5,所以86+a.在x=6+a两侧L的值由正变负.所以当86+a9,即3a时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+a,即a5时,Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=综上,若3a,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(万元);若a5,则当每件售价为(6+a)元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=4(3-a)3(万元).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx-1,当x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间-1,2上的最大值与最小值;(3)若过点P(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=3x2+2bx+c,f(x)在x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3,可有函数f(x)的解析式为f(x)=x3+3x2-1.(2)由(1)知f(x)=3x2+6x,令f(x)=0,有x1=0,x2=-2.所以,当x-1,0时,f(x)0,f(x)在(0,2)上单调递增.所以f(x)min=f(0)=-1.又f(-1)=1,f(2)=19,所以f(x)max=19.(3)设切点为(x0,+3-1),切线斜率为k=f(x0)=3+6x0,所以切线方程为y-(+3-1)=(3+6x0)(x-x0) ,又切线过点P(1,m),代入化简为m=-2+6x0-1,令y=m 与 h(x0)=-2+6x0-1,h(x0)=-6+6,令h(x0)=0,得x1=-1,x2=1;h(x0)在(-,-1),(1,+)单调递减,(-1,1)上单调递增, h(-1)=-5,h(1)=3.过点P(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,即存在三个x0,也即是y=m与h(x)有三个交点.故可知-5m3,即m的取值范围为(-5,3).22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,11,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.(1)解:由题设,f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-1,令f(x)=0解得x=1.当0x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.(2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,f(x)0,即ln xx-1.故当x(1,+)时,ln xx-1,ln -1,即11,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1c,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故当0x0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.第 15 页
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