2012年高考文科数学解析分类汇编：数列(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：数列一、选择题 （2012年高考（四川文）设函数,是公差不为0的等差数列,则（）A0B7C14D21 （2012年高考（上海文）若,则在中,正数的个数是（）A16.B72.C86.D100. （2012年高考（辽宁文）在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A12B16C20D24 （2012年高考（课标文）数列满足,则的前60项和为（）A3690B3660C1845D1830 （2012年高考（江西文）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（）A76B80C86D92 （2012年高考（湖北文）定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:;.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）ABCD （2012年高考（福建文）数列的通项公式,其前项和为,则等于（）A1006B2012 C503D0 （2012年高考（大纲文）已知数列的前项和为,则（）ABCD （2012年高考（北京文）某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为（）A5B7C9D11 （2012年高考（北京文）已知为等比数列.下面结论中正确的是（）AB C若,则D若,则（2012年高考（安徽文）公比为2的等比数列 的各项都是正数,且 =16,则（）ABCD二、填空题（2012年高考（重庆文）首项为1,公比为2的等比数列的前4项和_（2012年高考（上海文）已知.各项均为正数的数列满足,.若,则的值是_.（2012年高考（辽宁文）已知等比数列an为递增数列.若a10,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列an的公比q = _.（2012年高考（课标文）等比数列的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_（2012年高考（江西文）等比数列的前项和为,公比不为1。若,且对任意的都有,则_。（2012年高考（湖南文）对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等于1的个数为奇数时,;否则。(1)_ _;(2)记为数列中第个为0的项与第个为0的项之间的项数,则的最大值是_.（2012年高考（湖北文）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3, 6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:()是数列中的第_项; ()_.(用表示)（2012年高考（广东文）(数列)若等比数列满足,则_.（2012年高考（北京文）已知为等差数列,为其前项和.若,则_;=_.三、解答题（2012年高考（重庆文）(本小题满分13分,()小问6分,()小问7分)已知为等差数列,且()求数列的通项公式;()记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值.（2012年高考（浙江文）已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=,nN,数列bn满足an=4log2bn+3,nN.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.（2012年高考（天津文）(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(I)求数列与的通项公式;(II)记()证明:.（2012年高考（四川文）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由.（2012年高考（四川文）已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.()求数列的通项公式;()设,当为何值时,数列的前项和最大?（2012年高考（上海文）对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1，3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,m).求证:(k=1,2,m);(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,求.（2012年高考（陕西文）已知等比数列的公比为q=-.(1)若=,求数列的前n项和;()证明:对任意,成等差数列.（2012年高考（山东文）已知等差数列的前5项和为105,且.()求数列的通项公式;()对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.（2012年高考（江西文）已知数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3(1)求an;(2)求数列nan的前n项和Tn.（2012年高考（湖南文）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.()用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;()若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).（2012年高考（湖北文）已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1)求等差数列的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前项和.（2012年高考（广东文）(数列)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.()求的值;()求数列的通项公式.（2012年高考（福建文）在等差数列和等比数列中,的前10项和.()求和;()现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.（2012年高考（大纲文）已知数列中,前项和.()求;()求的通项公式.（2012年高考（安徽文）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.()求数列;()设的前项和为,求.2012年高考文科数学解析分类汇编：数列参考答案一、选择题 答案D 解析是公差不为0的等差数列,且 点评本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点. xya2a3a4a6a5a8a9a13a12a11a10a7a14a解析 令,则,当1n14时,画出角序列na终边如图, 其终边两两关于x轴对称,故有均为正数, 而,由周期性可知,当14k-13n14k时,Sn0, 而,其中k=1,2,7,所以在中有14个为0,其余 都是正数,即正数共有100-14=86个,选C. 【答案】B 【解析】 ,故选B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】【法1】有题设知 =1, =3 =5 =7,=9, =11,=13,=15,=17,=19, -得=2,+得=8,同理可得=2,=24,=2,=40, ,是各项均为2的常数列,是首项为8,公差为16的等差数列, 的前60项和为=1830. 【法2】可证明: 【答案】B 【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果. C 【解析】设数列的公比为.对于,是常数,故符合条件;对于,不是常数,故不符合条件;对于, ,是常数,故符合条件;对于, ,不是常数,故不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C. 【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等. 【答案】A 【解析】由,可得 【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和. 答案B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用. 【解析】由可知,当时得 当时,有 -可得即,故该数列是从第二项起以为首项,以为公比的等比数列,故数列通项公式为, 故当时, 当时,故选答案B 【答案】C 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去. 【答案】B 【解析】当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确. 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做. 【解析】选 二、填空题 【答案】:15 【解析】: 【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式 解析 (*),所以有:, ;又,得,令,则, 由题设,所以,变形(*)为,则,故 ,所以. 【答案】2 【解析】 因为数列为递增数列,且 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式,是简单题. 【解析】当=1时,=,=,由S3+3S2=0得,=0,=0与是等比数列矛盾,故1,由S3+3S2=0得,解得=-2. 【答案】11 【解析】由已知可得公比,可得. 【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心. 【答案】(1)3;(2)2. 【解析】(1)观察知; 一次类推; ;, b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. ()5030;()【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,的一个通项公式为,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故. 从而由上述规律可猜想:(为正整数), , 故,即是数列中的第5030项. 【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查. 解析:.,所以. 【答案】1, 【解析】,所以,. 【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算. 三、解答题 【答案】:()() 【解析】()设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ()由()可得 因 成等比数列,所以 从而 ,即 解得 或(舍去),因此 . 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力. (1)由Sn=,得 当n=1时,; 当n2时,nN. 由an=4log2bn+3,得,nN. (2)由(1)知,nN 所以, , ,nN. 解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故 (2)证明;由(1)得 由-得, 即,而当时, 所以 解析(1)由已知得,交点A的坐标为,对 则抛物线在点A处的切线方程为: (2)由(1)知f(n)=,则 即知,对于所有的n成立, 特别地,当n=1时,得到a3 当a=3,n1时, 当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立. 所以满足条件的a的最小值为3 (3)由(1)知f(k)= 下面证明: 首先证明0x1时, 设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0x1, 则. 当时,g(x)0; 当 故g(x)在区间(0,1)上的最小值 所以,当0x0,即得 由0a0,且 所以,bn单调递减的等差数列(公差为-lg2) 则 b1b2b3b6= 当n7时,bnb7= 故数列lg的前6项的和最大 点评本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 解(1)数列为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 (2)因为, 所以 因为, 所以,即 因此, (3)对,; ;. 比较大小,可得 因为,所以,即; ,即. 又, 从而, 因此 = = = 解:(I)由已知得: 解得, 所以通项公式为. (II)由,得,即. ,是公比为49的等比数列, . 【解析】 (1)当时, 则 , ,c=2.a2=4,即,解得k=2,(n)1) 当n=1时, 综上所述 (2) ,则 (1)-(2)得 【解析】()由题意得, , . ()由()得 . 整理得 . 由题意, 解得. 故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决. 考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算. 解析:()设等差数列的公差为,则, 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 ,或. 故,或. ()当时,分别为,不成等比数列; 当时,分别为,成等比数列,满足条件. 故 记数列的前项和为. 当时,;当时,; 当时, . 当时,满足此式. 综上, 【点评】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;有时需要利用等差数列的定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 解析:()当时,而,所以,解得. ()在中用取代的位置,有,两式相减,可得(),所以,两式相减,可得,即(),即,所以数列是一个首项为,公比为2的等比数列. 在式子中,令,有,即,所以,于是,所以().当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. 【答案】(1), (2) 【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识,考查运算求解能力,考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习. 解:(1)设是数列的公差,是的公比,由题意得: . (2)分别从,中的前三项中各随机抽取一项,得到基本事件有9个,.符合条件的有2个,故所求概率为. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用. 解:(1)由与可得 , 故所求的值分别为. (2)当时, -可得即 故有 而,所以的通项公式为 【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论. 【解析】(I) 得:当时,取极小值 得: (II)由(I)得: 当时, 当时, 当时, 得: 当时, 当时, 当时,