垂径定理教学设计

垂径定理教学设计垂径定理（第一课时）教学设计兰甲明【教学内容】 7 3 垂径定理（初三几何课本P76P78）【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。【教学设计】一、实例导入，激疑引趣1实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400 多年历史，被誉为“华北四宝之一” ，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为 7.2 米。请问：桥拱的A1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4C弓弓DB半径（即 AB 所在圆的半径）是多少？弓弓通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图 1）2归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：在下列图形（如图4(a)(d)）中， AB 是 O 的弦， CD 是 O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。CACCOOEOEEOBAEBABABDD(a)AB CD 于 E(b)E 是 AB 中点(c)OC AB 于 E(d)OE AB 于 E（图 4）向学生强调： (1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。四、例题示范，变式练习1运用定理进行计算。例 1如图 5，在 O 中，若弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求 O 的半径。AEB分析：因为已知“圆心 O 到 AB 的距离为 3cm”，所以要作O辅助线 OE AB ；因为要求半径，所以还要连结 OA 。解：（略）学生口述，教师板书。（图 5）变式一在图 5 中，若 O 的半径为 10cm，OE=6cm ，则 AB=。 C思考一：若圆的半径为 R，一条弦长为 a，圆心到弦的距离为d，AB则 R、a、d 三者之间的关系式是。EO变式二如图 6，在 O 中，半径 OC AB ，垂足为 E ，若 CE=2cm ，AB=8cm ，则 O 的半径 =。（图 6）思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）2运用定理进行证明O例 2已知：如图 7，在以 O 为圆心的两个同心圆中，B大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点。A CD求证： AC BD。（图 7）分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？（证明 OAC OBD 或证明 OAD OBC ）此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）证法一：连结 OA 、OB 、 OC 、OD ，用“三角形全等”证明。证法二：过点 O 作 OE AB 于 E，用“垂径定理”证明。 （详见课本 P77 例 2）注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。思考：在图 7 中，若 AC=2 ， AB=10 ，则圆环的面积是。变式一若将图 7 中的大圆隐去，还需什么条件，才能保证 AC=BD ？O变式二若将图 7 中的小圆隐去，还需什么条件，才能保证 AC=BD ？EA CD B F变式三将图7 变成图 8（三个同心圆），你可以证明哪些线段相等？例 3（选讲）如图 9，Rt ABC 中， ACB 90， AC 3，BC 6 2 ，以 C 为圆心、 CA 长为半径画弧，交斜边 AB 于 D，求 AD 的长。（答案： 2）略解：过点 C 作 CE AB 于 E，先用勾股定理求得（图 8）CADB（图 9）AB=9 ，再用面积法求得CE= 2 2 ，最后用勾股定理求得AE=1 ，由垂径定理得AD=2 。五、师生小结，纳入系统1定理的三种基本图形如图 10、11、12。( a ) 2 。2计算中三个量的关系如图13， R2d 223证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。COOOOEREBEdAAAABBaBDD（图 12）（图 13）（图 10）（图 11）六、达标检测，反馈效果1（课本 P78 练习第 1 题）如图 14，在 O 的半径为 50mm ，弦 AB=50mm ，则点O 到 AB 的距离为， AOB 度。AB2作图题：经过已知 O 内的已知点 A 作弦，OO A使它以点 A 为中点（如图 15）。3课本 P 练习第 2 题。（图 14）（图 15）78课堂练习姓名得分1如图， O 的半径为 50mm，弦 AB=50mm ，则点 O 到 AB 的距离为，AOB 度。OOAAB（第 1题）（第 2题）2作图题：经过已知O 内的已知点 A 作弦，使它以点A 为中点（如图）。要求：保留作图痕迹，但不必写作法。3已知：如图，在 O 中， AB 、AC 是两条互相垂直且相等的弦，OD AB ，OEAC ，垂足分别为D、E。C求证：四边形 ADOE 是正方形。EOADB（第 3题）