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考点39 数学归纳法1用数学归纳法证明：（）能被整除从假设成立 到成立时，被整除式应为( )A B C D 【答案】C【解析】由于当n=k+1 时，x2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，故选： C2等式（ ）A 时都成立 B 当时成立C 当时成立， 时不成立 D 仅当时不成立【答案】B3利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（ ）A B C D 【答案】C【解析由题意，n=k 时，左边为（k+1）（k+2）（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选C4用数学归纳法证明“”时，由到时，不等试左边应添加的项是( )A B C D 【答案】C5如果命题对于成立，同时，如果成立，那么对于也成立。这样，下述结论中正确的是（ ）A 对于所有的自然数成立 B 对于所有的正奇数成立C 对于所有的正偶数成立 D 对于所有大于3的自然数成立【答案】B【解析】由于若命题对成立，则它对也成立 又已知命题成立，可推出 均成立，即对所有正奇数都成立故选：B6已知正项数列中，用数学归纳法证明：.【答案】见解析.7设，正项数列的前项的积为，且，当时， 都成立.（1）若， ， ，求数列的前项和；（2）若， ，求数列的通项公式.【答案】(1) (2) 【解析】（1）当n2时，因为M=1，所以=TnT1，可得an+1=ana1，故=a1=3（n2）又a1=，a2=3，则an是公比为3的等比数列，故an的前n项和为=3n（2）当nk时，因为=TnTk，所以=Tn+1Tk，所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以an（n2）是公比为q的等比数列因为当n=4，k=3时，T7T1=T42T32；当n=5，k=4时，T9T1=T52T42，所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2又a1=，所以an（nN*）是公比为的等比数列故数列an的通项公式是an=2n18已知数列满足（1）求， ， 的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明【答案】(1) (2)见解析，于是所以， 故时结论也成立由得， 9用数学归纳法证明：对于任意的，.【答案】见解析10（1）已知，比较和的大小并给出解答过程；（2）证明：对任意的，不等式成立.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 11已知数列是等差数列，. (1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项 (其中且)记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）当时，,当时，证明见解析. ,即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立 于是，当a1时，Snlogabn+1 ,当 0a1时，Snlogabn+1 .12已知数列满足，.（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由题意得，当时猜想也成立；由和，可知猜想成立，即.13已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.，当时猜想也成立，由和，可知猜想成立，即.14已知数列满足且.（1）计算、的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明【答案】（1），；（2）证明见解析.15是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】见解析.【解析】假设存在，使得所给等式成立16是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】见解析17已知正项数列中，且（1）分别计算出的值，然后猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1） 令得化简得，解得或 . 18数列中，前项的和记为（1）求的值，并猜想的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1），猜想（2）证明：当时， ，猜想成立；假设当时，猜想成立，即：；当时，时猜想成立由、得猜想得证19(1)证明： ；(2)证明：()；(3)证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 所以 （3）由题意得，20设,对于，有.（1）证明：（2）令,证明 ：（I）当时，（II）当时，【答案】（1）见解析;（2）（I）见解析;（II）见解析. 21用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)时，从“nk到nk1”时，左边应增加的代数式为_【答案】2(2k1)【解析】首先写出当nk时和nk1时等式左边的式子当nk时，左边等于(k1)(k2)(kk)(k1)(k2)(2k)，当nk1时，左边等于(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，从nk到nk1的证明，左边需增加的代数式是由两式相除得到2(2k1)22用数学归纳法证明“”从到左端需增乘的代数式为_【答案】23设，那么 _【答案】【解析】 ， ，故答案为.24用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是_.【答案】【解析】在等式中，当时，而等式左边起始为的连续的正整数的和，故时，等式左边的项为，故答案为.25用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上的项为_
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