ejuAAA数学归纳法课件PPT

12一、复习与引入一、复习与引入11aa21daa4313aadad 3212aadad 1(1)naand na 1、在等差数列、在等差数列 中，已知首项为中，已知首项为 ，公差为，公差为 d，na1a2、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？（完全归纳法）（完全归纳法）结论：结论：盒内粉笔都是白色的盒内粉笔都是白色的（不完全归纳法）（不完全归纳法）3（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确。不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。例：例：22(55)nann说说 明：明：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？由两种归纳法得出的结论一定正确吗？想 一 想 ：4问题情境三问题情境三 多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 5问题情境三问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）（相当于前牌推倒后牌）6 对于由不完全归纳法得到的某些与对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：用下面的方法来证明它们的正确性：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立，时命题成立，（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立，时命题也成立，这种证明方法叫做这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法（一）、数学归纳法的定义（原理）（一）、数学归纳法的定义（原理）因为证明了这一点，就可断定这个命题对于因为证明了这一点，就可断定这个命题对于 取取第一个值后面的所有正整数也都成立。第一个值后面的所有正整数也都成立。n7分析：分析：综综(1)(2)(1)(2)知命题成立。知命题成立。即即11kaakd（2 2）假设当）假设当 时命题成立，时命题成立，(1 k N*)n k k且即即 成立吗？成立吗？111 1kaakd 那么当那么当 时命题成立吗？时命题成立吗？1n k（1 1）当）当 时，时，成立吗？成立吗？11naand1n等差数列等差数列 的通项公式为的通项公式为 。例：用数学归纳法证明首项为例：用数学归纳法证明首项为 ，公差为，公差为 的的 na1a1(1)naandd81(1)kaakd 根据根据(1)(2)知当对任意的知当对任意的 命题成立。命题成立。n N（1）当）当 时，左边时，左边 ，右边，右边 ，证明：证明：1kkaad1akd1(1)akdd1(1)1akd命题成立。命题成立。（2）假设当）假设当 时命题成立，即时命题成立，即1n1a110ad a*(1 k N)n k k且那么当那么当 时，时，1n k 即当即当 时命题成立。时命题成立。1n k（依据）（依据）（结论）（结论）（传递性）（传递性）9（二）、数学归纳法的步骤（二）、数学归纳法的步骤根据根据(1)(2)知对任意的知对任意的 时命题成立。时命题成立。0n Nn n且注：注：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 或或 时结论正确时结论正确n00(12)n n（2）假设当假设当 时结论正时结论正0(,)nk kNkn且确，并证明当确，并证明当 时结论也正确。时结论也正确。1n k 两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了去了递推的依据递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个做一个总的结论总的结论。（3 3）数学归纳法用来证明与）数学归纳法用来证明与正整数正整数有关的命题。有关的命题。（1）（2）10（三）数学归纳法的应用举例（三）数学归纳法的应用举例135（2n1）例例1 1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明n2即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2）可知，等式对任何都成立。）可知，等式对任何都成立。n N证明：证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当那么当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 +2(k+1)1k2 2k1k2（k+1）2（假设）（假设）（利用假设）（利用假设）11练习：练习：用数学归纳法证明用数学归纳法证明3、11 4 7(32)(31)2nn n 1、211 22221nn2、11nnaaq首项是首项是 ，公比是，公比是 的等比数列的通项公式是的等比数列的通项公式是1aq12(n2,n(n2,nN)N)过程中过程中,由由“n=k”n=k”变到变到“n=k+1”n=k+1”时，不等式左边的变化是时，不等式左边的变化是（）：）：练习练习(1)(1)用数学归纳法证用数学归纳法证:D D;)1(21 )(kA;221121 )(kkB;11221 )(kkC.11221121 )(kkkD2413212111nnn13(2)(2)用数学归纳法证用数学归纳法证:(n2,n(n2,nN)N)过程中过程中,由由“n=k”n=k”变到变到“n=k+1”n=k+1”时，左式所需添加的项数为时，左式所需添加的项数为（）：）：nn1214131211.项项.项.项项.项项12kk212 k14三、小结三、小结归纳法：归纳法：由特殊到一般由特殊到一般，是数学发现的重要方法。，是数学发现的重要方法。数学归纳法的数学归纳法的原理原理与与科学性科学性：基础正确；可递推。：基础正确；可递推。数学归纳法的步骤：数学归纳法的步骤：两个步骤，一个结论两个步骤，一个结论。事物事物由特殊到一般、由有限到无限。由特殊到一般、由有限到无限。数学归纳法的数学归纳法的优点优点：可以帮助我们可以帮助我们由简到繁、由简到繁、认识认识15四、作业四、作业习题习题2.1 1、（、（1）（）（2）16172k-1k2k-k1kkkk+1n k(k1,kN*),1 2 222 1n k+11 2 22+22 2 1=221n k1)1(2假设当=且时等式成立就是+=-那么当=时,就是+-这就是说，当=+时，等式-也成立。第第二二步步18111111kn k(k 1,kN*),n k+11(n k)kkkkkaaqaaqaqqaq假设当=且时等式成立就是那么当=时,就是 这就是说，当=+时，等式也成立。第第二二步步19第第二二步步23(k+1n k(k1,kN*),1 4 7(3k-2)(31)n k+11 4 7(3k2)+3(k+1)2(3k5k+2)=(k+1)3(k+1)-1n k 12(31)kkkk假设当=且时 等式成立 就是1+=2那么当=时,就是+1212这就是说，当=+时，等式12也成立。20123kk+1 二、新课二、新课例例 摆砖问题摆砖问题（取（取n块砖）块砖）21