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资产组合理论：1、假如有 A 和 B 两种股票， 它们的收益是相互独立的。 股票 A 的收益为 15%的概率是 40%，而收益为 10%的概率是 60%，股票 B 的收益为 35%的概率是 50%，而收益为 -5%的概率也是50%。（ 1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？（ 2）如果 50%的资金投资于股票 A，而 50%的资金投资于股票 B，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？答案：（ 1）股票 A 的期望收益 E(R A )0.415%0.610%12%; 股票 A 的标准差20.6(10%20.0245 。A0.4 （15% 12%）12%)股票 B 的期望收益 E(R B )0.535%0.5( 5%)15%; 股票 B 的标准差20.5 ( 5% 15%)20.2B0.5 （35% 15%）因为股票 A 和股票 B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。（2）该投资组合的期望收益E（ R P） 0.5E(R A)0.5 E(R B )0.512%0.515%13.5%,222222220.1007标准差P（0.5）A（0.5）B（0.5） 0.0245（0.5）0.22、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下： A：期望收益10%标准差20%B：期望收益5%标准差10%计算：（ 1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？（ 2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？答案：（ 1）设组合中A基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。组合的方差2x22(1 x)222x(1 x)B 0.22x20.12(1 x)20.1 0.20.1x(1 x)PABA是关于 X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为 0。对 X 求导，并使其等于0，得：0.096x0.018 ，解得： X=0.1875,1-X=0.8125所以最小方差组合中 A 基金的投资比例为0.1875， B 基金的投资比例为0.8125。（2）最新方差组合的期望收益E( RP )=xE( RA ) (1x)E( RB ) 0.187510% 0.81255%5.9375%标准差Px 2A 2(1x) 2B22x(1x)AB22220.20.18750.1(10.1875)0.1 0.2 0.1875 (10.1875) 0.1CAPM ：3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据 CAPM ：（ 1）画图说明期望收益和之间的关系（ 2）市场的风险溢价是多少？（3）如果一个投资项目的为 1.5，那么该投资的必要回报率是多少？（4）如果一个为 0.8 的投资项目可以获得9.8%的期望收益率， 那么是否应该投资该项目？（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的是多少？答案：（ 1）E(R)E(R)=4%+ （12%-4%）*Beta4%0Beta（ 2）市场的风险溢价是： 12%-4%=8%（ 3）E （ R） =4%+ （ 12%-4%） *1.5=16%（ 4）该项目必要回报率 E（ R）=4%+ （ 12%-4%）*0.8=10.4% ，而只能获得 9.8%的期望收益率，小于 10.4%，所以不应该投资该项目。（5） 11.2%=4%+ （12%-4%） *，解得：=0.9。4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的系数等于1.2。根据 CAPM 计算： (1)该资产组合的预期收益率等于多少？ (2)假设某股票现价为 20 元，其 =0.8，预期该股票 1 年后股价为 23 元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？答案：（ 1）该资产组合的预期收益率E（ R） =6%+ （ 10%-6%） *1.2=10.8%(2)该股票的期望收益率为E(R)= 6%+ （ 10%-6%）*0.8=9.2% ，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06 。而该股票的现价2021.06，说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。APT ：5、考虑一个单因素APT模型，股票A 和股票B 的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B 的为 1.0。如果不存在套利机会，股票A 的应该是多少？答案：根据APT ，对于股票B： 18%=6%+1.0F ，解得： F=12%对于股票 A ： 15%=6%+F=6%+12%，解得：=0.75。6、考虑一个多因素APT 模型，股票A 的期望收益率是17.6%，关于因素1 的是 1.45，关于因素2 的是 0.86。因素1 的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2 的风险溢价是多少？答案：根据 APT ，有：，解得： F2=9.26% 因此，因素 2 的风险溢价是 9.26%。7、考虑一个多因素APT 模型，假设有两个独立的经济因素F1 和 F2，无风险利率是6%，两个充分分散化了的组合的信息如下：组合对应因素 1 的对应因素2 的期望收益A1.02.019%B2.00.012%如果不存在套利机会，那么因素1 和因素 2 的的风险溢价分别是多少？答案：设因素1 和因素 2 的风险溢价分别为R1 和 R2，根据对于组合 A ： 19%=6%+1.0R1+2.0R2对于组合B： 12%=6%+2.0R1联立以上两个等式，解得：R1=3% ， R2=5%因此，因素1 和因素 2 的风险溢价分别为3%和 5%。APT ，有：8、已知股票A 和股票 B 分别满足下列单因素模型：RA0.10.9RMARB0.051.1RMBM0.2( A)0.3( B)0.1（1）分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。（2）用股票 A 和 B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为 0.4 和 0.6，求该组合的非系统性标准差。答案：（ 1）股票 A 的标准差A0.92M 2( A )20.92 0.220.320.3499股票 A 的标准差 B1.12M2( B)21.120.220.120.2417股票 A 和股票 B 的协方差AB COV (RA, RB)COV (0.10.9RMA ,0.051.1RMB ) COV (0.9RM ,1.1RM )0.99 M20.99 0.220.0396（2）组合的收益率RP 0.4RA0.6RB0.4(0.10.9RMA )0.6(0.05 1.1RMB )组合的非系统性标准差0.42 ( A)20.62 ( B)20.42 0.320.62 0.120.13429、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：Rit E( Rit )i1 F1ti 2 F2t ，其中： Rit 表示第 i 种证券在时间t 的收益， F1t和 F2t表示市场因素，其数学期望等于0，协方差等于 0。此外，资本市场上有2 种证券，每种证券的特征如下：证券E（ Rit)i1i2110%10.5210%1.50.75（1） 建立一个包括证券1 和证券 2 的投资组合，但是其收益与市场因素F1t 无关。计算该投资组合的期望收益和贝塔系数2。（ 2） 设有一个无风险资产的期望收益等于5%，1=0，2=0 ，是否存在套利机会？答案：(1)设组合中证券 1 的投资比例为 X，那么证券 2 的投资比例为 1-X。RptXR1t(1 X ) R2tX E(R1t )11F1t12 F2t (1 X ) E( R2t )21F1t22 F2t 因为其收益与市场因素F1t 无关，所以组合关于F1t 的贝塔应该为0，即：X11(1X )210X(1X )1.50解得： X=3 ， 1-X=-2 ，所以 E( Rpt )3(10%)2(10%)10%p2X 12(1X )223(0.5)2(0.75)0所以其收益与市场因素F1t 和 F2t 都无关。（ 2） 因为（1）中投资组合收益与市场因素F1t和 F2t都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为10%，高于无风险资产5%的期望收益，所以应该借入期望收益为产，然后投资于（1）中 10%的投资组合。5%的无风险资
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