一阶线性微分方程及其解法

一、一、一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法二、二、一阶线性微分方程的简单应用一阶线性微分方程的简单应用三、三、小结及作业小结及作业6.2 6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法一、一阶线性微分方程及其解法例例1 1在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。的，则称其为一阶线性微分方程。1.1.一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程的定义223)1(xyy 2sin1)4(xyxdxdy 22)3(xyy )12sin()()2(3 xxyyxyyy )5(1sin)6(2 xyxy(1)()(xQyxPdxdy （1 1）、（）、（4 4）是一阶线性的，）是一阶线性的，其余的是非线性的其余的是非线性的.解解2.2.一阶线性微分方程的一般式一阶线性微分方程的一般式3.3.一阶线性微分方程的分类一阶线性微分方程的分类 当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性齐次齐次微微分方程。分方程。0)(xQ 当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性非齐次非齐次微分方程。微分方程。0)(xQ0)(yxPdxdy dxxPCey)(（1）一阶线性齐次微分方程）一阶线性齐次微分方程分离变量法分离变量法4.4.一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法1）一般式）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式 dxxPCe yCdxxPydxxPdyy)(ln)(ln)(1通解通解两边积分两边积分分离变量分离变量.02 的通解的通解求求 yxyxxP2)(dxxCe2xCeln2 解解例例2 2则通解则通解2Cx dxxPCey)()()(xQyxPdxdy （2）一阶线性非齐次微分方程）一阶线性非齐次微分方程常数变易法常数变易法1）一般式）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxxPCe)(dxexQedxxPdxxP )()()(齐次的齐次的通解通解非齐次的特解)()()()()()()()()(xQexuxPxPexuexudxxPdxxPdxxP dxxPexuy)()(设设为非齐次线性方程的解，则为非齐次线性方程的解，则即即)()()(xQexudxxP dxxPexQxu)()()(CdxexQxudxxP )()()(4）常数变易法）常数变易法)()()()()(xPexuexuydxxPdxxP 代代入入原原方方程程有有将将yy,通解通解)()()(CdxexQeydxxPdxxP .1 2的通解的通解求求xyxy ,1)(xxP,xxQ2)(Cdxexeydxxdxx121 Cdxexexxln2ln解解例例3 3则通解为则通解为 Cdxxx31xCx 341.00)12(12的特解的特解满足满足求求 xydxxxydyx,2)(xxP 21)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx2221 Cdxxex)1(ln2解解例例4 4则通解为则通解为 Cxxx2122原方程变形为原方程变形为,122xxyxdxdy 其中其中2121xCx 得得由由01 xy,21 C因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为221121xxy 二、一阶线性微分方程的应用二、一阶线性微分方程的应用 1.分析问题分析问题,设出所求未知函数设出所求未知函数,确定初始条件。确定初始条件。2.建立微分方程。建立微分方程。3.确定方程类型确定方程类型,求其通解求其通解.4.代入初始条件求特解代入初始条件求特解.应用微分方程解决实际问题的步骤应用微分方程解决实际问题的步骤:例例5 5处处的的切切线线斜斜率率等等于于过过原原点点平平且且在在点点求求)(x,y的的曲曲线线方方程程。yx 3解解设所求曲线方程为设所求曲线方程为,)(xfy ,00 xy则依题有则依题有yxy 3 从而从而即即xyy3 其中其中,1)(xPxxQ3)(Cdxexeydxdx3 Cdxxeexx3则通解为则通解为 Cxdeexx3 Cdxexeexxx)3(Cexeexxx )3(Cexeexxx )3(xCex )13(得得由由00 xy,3 C因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为)1(3 xeyx 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比的速度成正比(比例系数比例系数 ，起跳时的速度为，起跳时的速度为0，求下落的速度与时间，求下落的速度与时间 的函数关系。的函数关系。)0 kt例例6 6设速度与时间的函数关系为：设速度与时间的函数关系为：解解,)(tvv ,00 tv则依题有则依题有由牛顿第二定律知：由牛顿第二定律知：vmmakvmg 即即gvmkv 其中其中,)(mktP gtQ)(则通解为则通解为 Cdtegevdtmkdtmk Cdtegetmktmk Cedkmgetmktmk)()(Cekmgetmktmk tmkCekmg 得得由由00 tvkmgc 因此所求速度与时间的函数关系为因此所求速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv 三、小结三、小结 1.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程2.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 dxxPCey)()()()(CexQeydxxPdxxP （1）一般式）一般式0)(yxPdxdy（2）通解公式）通解公式（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式)()(xQyxPdxdy