数学思维训练教程小升初

中小学课外辅导专家 数学思维训练教程小升初系统总复习目 录目 录3第1讲 计算（一） 速算与巧算4第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算20第3讲 数字谜、数阵图、幻方35第4讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题53第5讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数66第6讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理79第7讲 几何（一） 平面图形92第8讲 几何（二） 曲线图形116第9讲 几何（三） 立体图形130第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题142第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题151第12讲 牛吃草问题161第13讲 行程（一） 相遇追及（多次）、电车问题170第14讲 行程（二） 平均速度、变速度、流水、电梯188第15讲 行程（三） 行程中的比例201第16讲 分数与百分数218第17讲 工程问题229第18讲 浓度与经济问题247第19讲 方程257第20讲 排列组合270第21讲 容斥原理283第22讲 抽屉原理297第23讲 逻辑推理305第24讲 统筹与策略324第1讲 计算（一） 速算与巧算一、知识地图速算与巧算 整数计算 基本公式平方、立方公式 数列及特殊公式特殊方法分数计算 拆分与裂项几个常用拆分分数循环小数化分数二、基础知识（一）整数计算1、基本公式（1） 加法交换律：（2） 加法结合律：（3） 减法的性质：（4） 乘法交换律：（5） 乘法结合律：（6） 乘法分配律：（7） 除法的性质：2、平方、立方公式（1） 完全平方公式：（2） 平方差公式：仅做了解（3） 完全立方公式：（4） 立方和公式：（5） 立方差公式：3、数列及特殊公式（1） 等差数列：A) 通项公式：为什么要“n-1”呢？B) 求项数公式：为什么要“+1”呢？C) 求和公式：为什么要“2”呢？关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？“在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的如图：请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。例如： a) 22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）3；b) 如果要求这个数列从4到25，一共有多少个数，相当于把4看作第一棵树，问25是第几棵树？可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”，（25-4）3=7，所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？c) 求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：法一：高斯“配对法”。例如，在计算1+2+3+8+9这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5，没有配上对，所以，这组数列9个数的和是104+5=45。法二：借来还去法。例如，还是计算1+2+3+8+9这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+3+2+1”， 这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了“变异为同”了！如图： 所以，可以得出，1092=45 回头再看，这里的10可以用（1+9）为代表，则得： （1+9）92=45 再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式： 和=（首项+末项）项数2（2） 等比数列：（3）a)b)（4）（5）（n9） （6）（7）这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。4、特殊方法（1） 凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整十整百再计算。（2） 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c 达到化繁为简的目的。（二）分数计算1、拆分与裂项（1）（2） （3）（4） 2、几个常用拆分分数 3、循环小数化分数 请聪明的你，来比较1与0.99999999的大小？你可能已经知道：0.9999999=1也就是：=1，可是这是为什么呢？铺垫： = = = = = 以此题为例推导：设 为A，那么100A=10000A=所以：10000A-100A=1234-129900A=1234-12注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。三：经典透析【例1】：（） 审题要点：1） 看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？对了，每一个数都有一个小秘密： 2） 发现了秘密就赶紧动手吧！详解过程： 专家点评：原来平方差公式还可以这么用！ 这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！【例2】（） 审题要点：1） 好大的数啊！别怕，肯定有绝招。2） 哈哈，终于发现了数之间的小秘密。 详解过程：专家点评： 做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手。【例3】（） ；凑整；提取公因数；“借来还去”思想。审题要点：1） 这题看着很熟悉联想平方求和公式2） 可是起始的数不是？没关系，缺什么补什么！详解过程：提取公因数的两大特征： 一是要有“公因数”，“疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工。 二是要有互补数。专家点评：很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式的前提下，做适当的变换，这道题目就是一个很好的例子。【例4】（） 审题要点：1）“73”好像是关键。2）如果可以提取73，那不是很简单？试试吧！详解过程： 专家点评：此处利用了分拆法，将730分拆为7310，153.3分拆为732.1，目的都是为了构造出“公因数”73。此种构造方法很常用，你学会了吗？【例5】（） 审题要点：1） 分母很特别哦：2） 3）详解过程：原式=专家点评：这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。【例6】（）审题要点：1） 分数相加，分子不相等，似乎不能裂项；2） 如果做一下变换呢？ 试试吧。详解过程：原式=专家点评：这道题目的解题关键在于对裂项的熟练应用。题目本身并不是很难，但是需要同学认真仔细。【例7】（） 审题要点： 1）既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知：，（这两个利用辗转相除法），能够约掉37，看来确实可以裂项。详解过程：观察到5，37，101以及约去的最大公约数17和65都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后的约分后等于，原式等于。专家点评：这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出来。但是，小学生如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答案的。本题解题的关键在于“试算观察法”与“辗转相除法”的综合运用，你学会了么？【例8】（） 审题要点： 1）看到这么庞大的算式，应该想到要换元； 2）换元时注意要整个括号作为一个整体代换； 3）不妨设 详解过程： 原式 = = = =9专家点评： “换元”法在庞大的数学计算中经常用到，数学题目很少是需要你对一个复杂的式子进行每一步的计算，一般都有简便算法，这些需要你平时多积累。利用换元法解题时有两种可能性：一，换元的未知数最后都消去，可直接得出答案。二，换元的未知数不能完全消去，那么就应该将原数或原式重新代入计算，此时的代入计算将很简单，如本题中最后（a-b）须换回原来式子计算得。【例9】（） 审题要点：1）：有循环小数的计算，首先要进行分数转换。2）：每个数都是混循环小数，应该怎样化成分数？详解过程： 原式=+ =+ = = =专家点评： 循环小数化分数，你学会了么？这是个很重要的知识，在比较大小和计算过程中经常用到。另外，如果对循环小数的性质很熟悉的话，知道=1，则可观察到：还有一个，所以总和为。经验证，。四、拓展训练1. =初级点拨 这道题目不难，关键是考察对公式的应用；深度提示 注意哦，分母中1与3，3与5都是要差2，所以在裂项时，括号外面要乘以；全解过程 原式=2. （）（1） （1）（）=_。初级点拨 这么庞大的式子，换元毫无疑问，但是要找好，到底换什么哦。深度提示 换元时，可以设，；全解过程 设， 原式= =+=3. =_。初级点拨 类似于例题2；深度提示 运用平方差公式，你会了么？全解过程 原式4. =_。初级点拨 这题比较简单，利用；深度提示 这道题目很简单，主要就是公式应用的问题；全解过程 原式= 2（+） = =5. =_。初级点拨 直接利用公式；深度提示 公式的直接应用，但是要注意，分母拆开后，差值是3；全解过程 原式=（1+）=6. =_。初级点拨 带分数在计算过程中，通常有两种处理办法，或者化成整数和分数的和，或者化成假分数，聪明的同学，想想这道题应该怎么处理呢？深度提示 拆成你熟悉的形式：全解过程 原式=（1+2+3+6）+(+)=7. =_。初级点拨 类似于上面的第6题，但是要稍微难点，关键也是对带分数的处理，不要犹豫，你想的没错，写出来试试。深度提示 将带分数拆成整数和分数的和；全解过程 原式=(3)(3+)+(5)+(5+)(7)+(7+)(9)+(9+)(1+) =8. =_。初级点拨 这道题目是典型的利用公式解题，所以公式一定要熟记哦。深度提示 记住两个公式即可，翻看前面的基础知识，你需要的都在那里；全解过程 原式=9. =_。初级点拨 提取公因数，但是要先做下变换，看看，怎么变动一下！深度提示 1）找题目中的特殊之处。2）如果分母中也是那多好啊！3）变变嘛！全解过程 原式=1.10. =_。初级点拨 第一步肯定是要去括号，聪明的你想到了吗？深度提示 去括号，提取公因式，两项结合；全解过程 原式=11. _。初级点拨 如果在计算中出现循环小数，那毫无疑问要先化为分数。深度提示 循环小数化分数的计算。全解过程 原式=第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算一：知识地图：比较大小 分数的大小比较 通分 比倒数 与1相减比较法 经典结论 放缩法 化成小数比较 两个数相除进行比较 对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较 小数的大小比较 估算 常用方法 经典步骤 定义新运算二：基础知识（一）：比较大小1、分数的大小比较1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小； b） 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。2）比倒数：倒数大的分数小。3）与1相减比较法：a） 真分数：与1相减，差大的分数小； b） 假分数：与1相减，差大的分数大。4）经典结论：a） 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；b） 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。 对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：（，且为非零自然数时）（1）即“真分数越加越大，越减越小”（）如；（2）即“假分数越加越小，越减越大”。5）放缩法。6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！7）两个数相除进行比较。如：和，所以。2、小数的大小比较常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。（二）估算问题1、常用方法1） 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。2、经典步骤 估算和式整数部分：a） 令和式结果等于A； b） 最小的数个数A最大的数个数； c） 求A。对于较简单的题目，使用“最小的数个数A最大的数个数”就可以确定整数部分。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原式与（最小的数+最大的数）个数2的大小，以及与（中位数个数）的大小（总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数）。（三）定义新运算这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读理解应用。三：经典透析【例1】（）如果，那么，中较大的数是_。审题要点： 1通分似乎太麻烦了，怎么办呢？ 2大小比较有6个经典方法，这个似乎与“4 经典结论”相仿哦！3发现了吗？两个分数的分子分母的差值都相等：， 详解过程：因为a与b都是真分数，且分母与分子差相同，并且，所以ab。专家点评：分数比较问题，方法很多，做题时要注意从不同角度考虑。 下面再介绍两种解题方法：方法二：1a与b都很接近“1”；2聪明的你，发现秘密了吧！1-a= ， 1-b=。 且a和b为真分数， 所以ab。方法（三）：比倒数。=1， =1， 所以ab。方法（四）：两个数相除进行比较。，所以：。同学们开动脑筋看还有没有更多的思路！【例2】（）如果，A与B中哪个数较大？审题要点：1快开动脑筋看这个题目适合用哪个方法？2不妨先试试比倒数。详解过程：，专家点评： 同样是分数比大小的问题，你能做出几种解答过程呢？下面给出另外两个解题过程。 解法二：1这么庞大的式子，如果能“4经典结论”该多棒啊！2开动脑筋做个小变换，变换后A与B分子分母相差相同的数“3”，A与B都为真分数且A的分子分母都较小， 所以AB。 解法三：与比较法，聪明的你自己动手试试哦!【例3】（）在上式的方框内填入一个整数，使不等式成立，那么= 。审题要点：这类题目解题方法：1）2）3）通过适当相加组合为A1这类题目关键是对公式的灵 活应用详解过程：因为所以即则专家点评：这道题目比较简单，聪明的你做出来了吧！下面再介绍另外一个解法希望对同学们日后解题有帮助。利用公式：当那么： 可以得到所以【例4】（）已知除法算式1234567891011121331211101987654321，它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是_。 审题要点： 1毫无疑问，这是一道估算题。详解过程：1） 取除数的前两位：12.34532原式12.345310.385原式0.398 在0.385到0.398之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩范围太大。2） 再取除数的前三位：123.456313原式123.4563120.394原式0.395仍无法确定。3） 取除数的前四位。1234.5673122原式1234.56731210.3954原式0.3955所以小数点后三位分别为3，9，5。专家点评：这道题目稍微有点难，但是只要是估算的问题，都不需要算出最终结果，通过这道题目，你有没有学到什么呢？有些书上解这道题的时候是把被除数和除数都放缩：1232原式1331，123313原式124312，12343122原式12353121。但是，对被除数的放缩只会徒增加放缩幅度，而不会简化计算。如果你认为，计算12343122比计算1234.5673122省事，那你一定是在用计算器！【例5】（）老师在黑板上写了7个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位），小明算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其他都对了”，那么正确的得数应是 。审题要点：1估算题目最直接的方法就是放缩。2这道题的关键点是，只有最后一位是错的，那么分数的取值范围是 14.7014.79详解过程：设这7个自然数之和为A（A为整数） 平均数为专家点评：关于平均数的估算，是经常会出的题目，所以同学们一定要学会如何去解答这类题目，下面再介绍另外一种解题方法。14.73中前三位14.7是 正确的 所以总数肯定大于 14.7则总数只能是103、104 当和等于103时，平均数是14.71 当和等于104时，平均数是14.86（不符合）所以七个自然数的和为103，平均分是14.71事实上一个自然数被7除如果除不尽，那么所得的商的小数部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的顺序不断循环，只是循环初始数字不一定相同。观察一下除式：所以如果对被7除商数特征熟悉的话，一定能马上反应过来这个平均数是。【例6】（），哪个更大，为什么？审题要点：1这道题比较难，式子比较庞大，我们不妨引入换元的思想。设a 2设详解过程：很明显所以 专家点评：这道题目，可以说是估算里面比较难的题目，需要自己构建新的算式，同学们学会这个解题思路了吗？【例7】（）数审题要点：1这道题的难点集中在分母上2不妨把分母单独拿出来，设A=3看明白了吧详解过程：原式= 所以即1原式1.9所以数。 【例8】（）（第二届小学希望杯全国数学邀请赛） 如果，那么 。审题要点：定义新运算，不妨试试经典三步法：阅读理解应用！详解过程：原式= = =专家点评：这是一道综合性题目，首先要看明白定义的新运算，其次要学会用裂项法解题，总的来说，题目不难，关键是要认真仔细。 【例9】（）两个用同样材料做成的球A和B，一个实心，一个空心，A的直径为7，重量为22，B的直径为10.6，重量为33.3。问哪一个球是实心球？审题要点：显然，两个球中单位体积重量大的球是实心球。所以第一步首先要求两个球的体积各是多少！详解过程：由球的体积公式可知，球的体积与半径的3次方成正比；显然球的体积与直径的3次方成正比。 即 V1：V2 = 73：10.63因为，即可知：所以 即A球为实心球专家点评：比较大小，估算以及定义新运算，都不是只局限于现有的几个数的计算，很多时候是将知识点作了综合，因此同学们在做题过程中，一定要在读懂题的前提下再动笔开始做！四、拓展训练1. 在_.初级点拨 1）观察题目，找数之间的相似处 2）你是否发现了这个小秘密？ 深度提示 1）发现了吗？2）因为 全解过程 显然，所以题中最小分数为.2. ，求A的整数部分 .初级提示 这道题隐藏的知识点是估算，你发现了么？深度提示 “经典三步法”看行不行？全解过程 ，适当扩展：，所以A的整数部分为44。（同学们想想，还有没有别的方法！）3. 已知：.初级点拨 问题的关键在分母，同于“例7”（但是要小心，有一点小区别哦）深度提示 这道题目中，分母按照我们给出的估算方法，似乎不能做到最后，那怎么办呢？ 发现规律了么？全解过程 设 即 不能确定A的整数部分，怎么办？先看看一个例子 则聪明的你从中会发现一个找“最小界线的新规律”，那么让我们回到原题来看看吧！ 即 A的整数部分为73。4. 有8个数，如果按从小到大的顺序排列时，第四个数是初级点拨 循环小数化分数。深度提示 1）分数小数的大小比较首先要统一形式 2）两个未写出的数要确定它们的位置全解过程 显然即因为8个数由小到大排第4个是所以从大到小第4 个是5. 1）试比较。2）如果A=.初级点拨 这两道题目可以参考例1和例2深度提示 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大全解过程 1） 2）AB6. 有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9。那么精确到小数点后两位数是多少？初级点拨 估算问题参考例5深度提示 平均小数估算，关键确定最后两位是什么？平均数如果保留两位数，则范围为26.8526.94全解过程 1）平均数如果保留两位数，则范围为26.8526.94。（想想为什么？）2）设13个自然数的和为A ，所以A=350，平均数为.7. 1）比较以下小数，找最大的数： 2）比较以下5个数，排列大小：初级点拨 分数、小数之间大小的比较，首先要统一形式深度提示 通常将分数化为循环小数，将各个数位都写出来，逐个数位作比较全解过程 （1） 1.121=1.121000000 1)倒数法2)与1相减法3)分子分母差值相同时,分子分母大的分数大. 1.12121=1.121210000 1.12=1.120000000 显然 （2）8. 如果用maxmax.初级点拨 1）这是一道典型的定义新运算的问题，经典三大步找出来2）阅读-max，理解-找最大的数，应用吧！深度提示 max的作用是找较大的数，所以首先要比较两个分数的大小全解过程 ，所以max.9. 假设有一种计算器，它由A，B，C，D四种装置组成。将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数，各装置的运算程序如下： 装置A：将输入的数加上6之后输出； 装置B：将输入的数除以2后输出； 装置C：将输入的数减去5之后输出； 装置D：将输入的数乘以3后输出；这些装置可以互相连接，如在装置A后接装置B就记做：AB。例如输入1后，经过AB输出3.51）若经过ABCD，输出120。则输入的数是多少？2）若经过BDAC，输出13，则输入的数是多少？初级点拨 1）好复杂的过程啊，但是聪明的同学肯定不会被吓倒2）对啦，利用经典三步分析后，你会发现，这并不是一道难题3）阅读A，B，C，D四个装置是关键理解明白这四个装置的运算特点应用逆向思维深度提示 装置A：将输入的数加上6； 装置B：将输入的数除以2； 装置C：将输入的数减去5； 装置D：将输入的数乘以3； 确定每个装置的作用后，从后往前计算结果。全解过程 1）经ABCD后输出120按逆向思维后推 设最先输入的数为经过A后变为，经过B后变为，经过C后变为，如上图所示即 2）类似于1）的解答，聪明的你试试吧。输入的数是8。10. 有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值： 求左边方框里的整数从左至右分别是什么？初级点拨 1）这道题目，入手比较难。开动你的小脑筋看能不能发现什么小秘密？ 2）近似值估算？深度提示 看似一道数字谜问题，其实也是估算的问题，既然结果约等于1.16那么原式可以做一个变换（看明白了么）全解过程 将原式做一下变化，三个分数不妨先通分，即，将式子扩大105倍得设A= ；A为整数（想想为什么？） 121.275，A=122即通过试验知所以左边方框里的值依次是1，2，3。11. 用表示不超过a的最大整数。例如=0.3； ，记请计算的值.初级点拨 1）这是一道综合题目，同学们千万不要被多变的符号给吓倒！2）“三步经典”来分析深度提示 阅读题中的符号有； ；，理解， ；的意义及表示方法应用吧！全解过程 =1.4=1=1.4=0.4=1.4=1=1=0 =1=1第3讲 数字谜、数阵图、幻方一，知识地图 二，基础知识趣题导引： 学而思教育的数学兴趣小组每周都要进行小组讨论。有一次小组讨论时，李同学在黑板上画了一个“九宫格”，问其他同学说：“你们能看出这个表格的的数字规律吗？”这时很多同学都说：“这还不简单啊，这是幻方，每行每列和两条对角线的数字和都相等，我自己也会填。”李同学又画了一个幻方，但是里面数字不全，只有三个数字，说：“那你们能把这个表格补充完整，使它成为一个幻方吗？”这时刚才非常活跃的同学都沉默了，同学们，你们可以补充完整吗？ （一）数字谜1、 数字谜介绍数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除四种数字谜。横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜，所以我们这里主要讨论竖式数字谜的一般解题技巧与思路。2、数字谜常用的分析法介绍解决数字迷问题最重要的就是找到突破口，突破口的寻找是需要一定的技巧，一般来说首先是观察题目中给出数字位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，一般的突破顺序是，三位分析（个位分析，高位分析，进位借位分析），另外加入三大技巧（估算技巧（结合数位），奇偶分析技巧，分解质因数技巧）等。而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后再考察加法或减法的分析（并不完全是这样）。（1）个位数字分析法（加法个位数规律，减法个位数规律，乘法个位数规律）若题目已知条件里面给出的主要是个位数字，那么我们就要考虑使用个位分析法，这是大部分数字谜都要用的分析方法。加减法的个位数字规律比较简单，这里要求重点掌握乘法个位数的规律。A）加法个位数规律举例：如右图：由a+8的结果个位数为5可推出a=7，十位进位，9+1+b结果个位为7，可推出b=7，进而推出c=1。B）减法个位数规律举例：如右图：由a-7的结果个位为9，可推出a=6，且借一位，进而十位数中9-1-b结果个位数为4，可推出b=4。注意：当个位数已经推导出来，那么十位数的推理也可以继续使用个位分析法进行推理，后面依次类推，高位使用个位数字分析法时必须同时考虑进位或借位的情况。C）乘法个位数规律归纳：1、当结果为奇数，其中一个乘数也为奇数时，则另一个乘数也为奇数，且只有一种答案（注意：数字5除外，5和0的规律比较特殊，后面补充）。 如右图：由b7结果个位为1，可推知b=3，利用后面介绍的高位分析法可继续推出a=1，c=9。2、当结果为偶数，其中一个乘数为奇数时，则另一个乘数为偶数，且只有一种答案。如右图：由b9结果个位数为8，可推知b=2，由后面介绍的高位分析法可继续推知a=4，c=7。3、当结果为偶数，其中一个乘数也为偶数时，则另一个乘数有两种可能性，一奇一偶，且相差5。如右图：由b6结果个位数为4，可推知b=4或9，当b=4时，进而推出a=8或9，相对应c=0或6。当b=9时，进而推出a=8或9，相对应c=3或9。共有四种可能性，再根据其他条件进行排除。4、当结果为奇数，其中一个乘数为偶数时，另一个乘数无解，因为根据奇偶性，偶数乘于任何数都不可能等于奇数。如右图：由b8结果为7可推知此题无解。5、当结果为5，则其中一个乘数必须为5，另一个为奇数。当结果为0，则其中一个乘数为5，另一个为偶数，或者一个乘数为0即可。当一个乘数为5，则结果为0或5，另一个乘数为偶数时，结果为0；另一个乘数为奇数时，结果为5。（2） 高位分析法（主要在乘法中运用）如右图：由a7结果为四十几，结合进位考虑，可知a=5，6或7，再根据其他条件进行排除。（3） 数字估算分析法（最大值与最小值的考量，经常要结合数位考虑）如右图：由4=A，A为三位数，可推知25，由3=B，B为二位数，可推知33，由34=C，C为三位数，可推知29，综合考虑可知b=2，a=5，6，7，8或9。再根据其他条件排除。（4） 加减乘法中的进位与借位分析前面三种分析法都涉及到了进位与借位，这里再次强调进位与借位的重要性，千万不要忽视了（这是同学们非常容易出错的地方。）加法进位中，加数有n个，则最多向前进n-1，乘法进位中，乘数是n，则最多向前进n-1。如右图：由百位可推知十位向百位进2，而个位最多向十位进2，则推知a至少为9，即就是9，进而继续推知b也只能是9，而c=d=0。如右图：由a8等于四十几而个位最多向前进7，得知a只能为5或6，而不能是4。注意：此处也可以利用数字估算分析法得出5062，同学们知道为什么吗？（5） 分解质因数分析法当乘法数字谜中一个积全部已知或者只有一个数字未知而又没有其他办法判断时，可考虑使用分解质因数。由c=206可将206分解质因数，206=222213，根据两个乘数分别是一位数和两位数可推知两种可能性：524与268，又根据3为两位数可确定=26。（6） 奇偶性分析（加减乘法）数字谜中经常可以直接利用奇偶性进行排除选项。（见乘法个位规律里面的第四点。）复杂数字谜中不能直接确定某一数字时，经常需要使用假设法进行逐一排除，排除的判断一般是通过另外一个数字或者题目中其他条件来进行。如带汉字的数字谜经常需要符合的条件是“相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字”等。（二）数阵图的一般解题思路与步骤数阵图中的数字关系一般比较复杂，同学们注意一定不要一开始就使用尝试的方法，而应该使用一定的技巧求出某些特殊位置的数字后再逐一分组尝试。由于数阵图中没有填充之前各个数字的位置无法确定，所以从每一个单个数字上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数字和全部相加法进行分析。一般分为以下几个步骤：（注意：建议先学习完几个相关例题再回来进行总结）1、从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为nS的形式。 2、从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为（题目所给全部数字和）一般位置数字相加次数（特殊位置数字和）多加或少加次数 的形式。 3、根据整体与个体的关系，列出等式即：nS=（题目所给全部数字和）一般位置数字相加次数（特殊位置数字和）多加或少加次数4、根据数论知识即整除性确定特殊位置数的取值及相对应的S值。5、根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试。三：幻方811211732136幻方中的各数互不相同，且横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记：1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如1，2，3， 6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=72，一般为等差数列（不完全是）。2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的7必须位于幻方中心。3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。如上列数中的1，13与4，10的平均数均为7。4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。如幻和为21，等于中心数7的三倍。 5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。 6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。 7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等（同学们能不能知道为什么？）如第一行和第一列中有一个共同数8，则其他两个数1+12=11+2。 综合利用上面7个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。趣题解析： 学习完幻方的性质之后，开篇趣题就很好填了吧，首先根据性质7，可知a+6=10+4，a=8，根据性质3，可知：d=（4+8）2=6，根据性质4，可知幻和为18，其他就全部根据每行相加等于幻和求出每一项，结果如图所示： 三、经典透析【例1】（）右面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的乘积是 。审题要点：此题为乘法数字谜，由于其中A中4出现在高位，所以利用高位分析法进行突破。详解过程：解：1、由c=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则ca必须向前进8，不可能。所以c=9。2、c=9时，a9至少向前进4，即a940，知a5。3、对a=5，6，7，8，9进行逐一验算，验算的主要方法是通过c中的4进行，若a=5，则A=405，f=4，但5b末位不可能为4，排除。若a=6，则A=414，f=3，但6b末位不可能为3，排除。若a=7，则A=423，f=2，7b末位为2，则b=6，所以乘积为3243。若a=8，则A=432，f=1，但8b末位不可能为1，排除。若a=9，则A=441，f=0，但9b末位不可能为0，（因为乘数不能0开头），排除。专家点评：此题是乘法数字谜中比较经典的一个题型，用到的分析法依次包括：高位分析法（步骤1），进位分析法（步骤1），估算分析法（步骤2），个位分析法（步骤3），逐一尝试法（步骤3），及排除法（步骤3），注意寻找数字谜突破口的方法，抓住题目所给的已知数字，从涉及已知数字所有的计算处考虑，首先考虑乘法的关系，因为能够使用的分析法最多。希望同学也可以自己根据做题体会进行总结。【例2】（）已知右面的除法算式中，每个表示一个数字，那么被除数应是 。审题要点：此题属于数字谜中的复杂题型，题目给出已知数字只有两个，不能直接使用个位分析法与高位分析法，可以结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析。详解过程：解：1、首先比较明显可得出d=0，然后从2个数字的相关计算进行突破，首先，由于B只有两位数，所以可估算推知=10，11或12。2、又，A为3位数，结合=10，11或12可知，c=9且，将其他各数补充完整即可。专家点评： 此题是结合数位进行估算的一个典型数字迷，也利用了循环推理的原理。先是根据数字8的乘积，利用数位估算确定的可能值，再根据c的乘积，利用数位估算确定为12。所以在数字迷中，不仅有数字的地方有突破口，没有数字的地方也可能有突破口，一般是利用数位估算，当然也有其他分析方法，例如利用进退位的分析进行突破。【例3】（）在右面的乘法算式中，每一个中要填一个数字，不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字？ 审题要点：此题属于乘法数字谜中较难的题型，由于题目中出现的几个数字都为个位数，所以首先考虑运用个位分析法进行突破。详解过程：解：1、A行中末位为1，可推知ab有四种可能性，11，37，73，99，又因为A行中为5位数，所以排除11，若ab为99，则又结合B，C，D行中末位为9，可推出h，f，d为1，与B，C，D都为5位数矛盾，排除。37，73暂时不能确定。2、假设a=7，b=3，由三个末位数是9，可推知h=f=d=7，这样反复利用乘法和加法的个位分析法，可推知c=6，e=4，g无法满足。假设排除。3、假设a=3，b=7，由三个末位数为9，可推知h=f=d=3，同步骤2反复利用乘法与加法个位分析法，可依次推出，而且满足，所以“新年”代表15。专家点评：此题也是乘法数字谜中非常经典的一个题型，综合运用的分析法非常的多，且反复使用，环环相扣，同学可以在练习中好好体会其中的巧妙之处，依次包括：个位分析法（乘法与加法）（步骤1，2，3），结合数位考虑数字大小估算分析法（步骤1），循环推导（步骤2，3）。【例4】（）2008年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把19分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？审题要点：此题属于典型的数阵图，应该利用数字和全部相加的方法进行解答，从整体与个体的角度，同时考察应该填入的数字。详解过程：解：1、首先由于一共5个圆圈的数字和相等，由于填入的数无法确认，将5个数字和全部相加，由于数字和未知，设为S，则5个圆圈全部数字和为5S。2、考虑全部数字和5S中的各个组成部分：可知a，b，c，h，i只加了一次，而d，e，f，g四个加了2次，即可以看成1至9全部数字均加了一次，d，e，f，g多加了一次，表示为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g）。3、 整体等于部分之和，列出方程：5S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g），化简为5S=45+（d+e+f+g），d+e+f+g的最小值为1+2+3+4=10，此时S=11，最大值为6+7+8+9=30，此时S=15，一共5种可能填法。4、逐一进行试验：当S=11时，d，e，f，g为1，2，3，4时，可得出答案为：当S=12时，经过试验无解。当S=13时，d+e+f+g=20，取2，4，6，8，得出答案：当S=14时，d+e+f+g=25，取3，6，7，9，得出答案：当S=15时，经过试验无解。【例5】（）小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？审题要点：此题属于数阵图中的经典题型，同学们一定要利用数字和的规律来做，千万不要直接试，否则会浪费很多时间的。详解过程：解：1、由于5条线段的和均相等，从整体考虑将其全部相加为5S。2、从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作所有数10至20均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（10+11+20）+4a，3、列出等式为5S=（10+11+20）+4a，化简为5S=165+4a，要使等式成立，a必须为5的倍数，得出三种答案，a=10时，S=41，a=15时，S=45，a=20时，S=49。4、将三种答案逐一尝试，得出三种答案分别如图：专家点评：此题中个体考虑时中心数字a一共加了5次，在列式当中一定要注意：加上的是多加的次数，即4a，而不是5a，因为在全部数字里面a已经相加一次。对a进行取值时的原则是使右边总和能够被5整除，确定a值与S值后进行简单的数字分组即可完成。有的题目在数字分组时需要同时满足多个条件，需要综合考虑，请看例6。【例6】（）右图中有三个正三角形，将19填入它们顶点处的九个中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个的每条直线上的四数之和也相等。审题要点：此题与上题相类似，注意题目要求两组和相等，应该先由一组进行分析满足后，再在此基础上满足另外一组和相等的条件。前面的分析方法一致，后面尝试部分数字分组时需要多考虑几个部分的和相等即可。详解过程：解：1、先考虑三角形和相等的部分，由于无重复数字，全部数字相加一次，直接列出