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第 二 章 导 数 与 微 分,1 . 变速直线运动的瞬时速度,设有一质点作变速直线运动, 其运动方程为,一、问题的提出,时 刻瞬时速度,变化不大, 所以质点在,若t很小, 在t 时间内速度,2.若质点作变速直线运动,1. 若质点作匀速直线运动,由于速度是连续变化的,分析：,的极限即为,越小, 近似的程度越好,称为曲线 L 上点 P 处的切线.,2 曲线的切线的斜率,切线的一般定义:,设 P 是曲线 L 上的一个定点,Q 是曲线 L 上的另一个点,过点 P 与点 Q 作一条直线 PQ,称 PQ 为曲线 L 的 割线,当点 Q 沿着曲线 L 趋向定点 P 时,割线 PQ 的极限位置 PT,L,P,Q,T,设曲线 L 的方程为 y=f (x) ,x 越小,Q 越接近于 P ,PQ 越接近于 PT,切线的倾角为 ,则有:,分析: 如图, 割线的倾角为 ,求此曲线上点 P 处的切线斜率 k.,曲线在 P 处的切线斜率为:,趋于 0 时的极限.,即:,函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量,称为曲线 L 上点 P 处的切线,2 曲线的切线的斜率,切线的一般定义:,设 P 是曲线 L 上的一个定点,Q 是曲线 L 上的另一个点,过点 P 与点 Q 作一条直线 PQ,称 PQ 为曲线 L 的 割线,当点 Q 沿着曲线 L 趋向定点 P 时,割线 PQ 的极限位置 PT,L,P,Q,T,设曲线 L 的方程为 y=f (x) ,x 越小,Q 越接近于 P ,PQ 越接近于 PT,切线的倾角为 ,则有:,分析: 如图, 割线的倾角为 ,求此曲线上点 P 处的切线斜率 k.,曲线在 P 处的切线斜率为:,趋于 0 时的极限.,即:,函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量,二、导数的定义,定义 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义。如果极限,存在，则称函数f(x)在点x0处可导，且称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记为 f (x0)，即,如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导。,但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数y=f(x)在,点x0处的导数为无穷大,导数的其它符号：,函数的导数：,导数的其它定义式：,。,例1求函数y=x2在点x=2处的导数。,方法二,解：,方法一,函数在一区间上的导数：,如果函数 f(x)在区间 I 内每一点都可导，则称f(x)在区间 I 内可导，这时，对于区间 I 内每一点 x，都有一个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，这个函数称为函数y=f(x)的导函数，简称为导数，记作,导函数的定义式：,f (x0)与f (x)之间的关系：,定义 设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,为f(x)在点x0处的左导数，记作f -(x0)。,为f(x)在点x0处的右导数，记作f +(x0)。,左右导数：,如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导，且右导数f +(a) 和左导数f -(b)都存在，就说f(x)有闭区间a, b上可导。,显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时，函数在该点才是可导的。,导数与左右导数的关系：,左右导数：,函数在闭区间上的可导性：,步骤:,三、由定义求导数举例,例2求函数f(x)=C（C为常数）的导数。,解：,即 (C ) =0。,1.常数的导数：,(C ) =0.,例3,例4,解：,解：,2.幂函数的导数：,例5,解,更一般地,例如,2.幂函数的导数：,例6求函数f(x)=sin x的导数。,=cos x。,类似地可求得 (cos x )=-sin x。,即 (sin x) =cos x。,解：,3.正弦余弦函数的导数：,(sin x)=cos x，(cos x )=-sin x。,例7求函数f(x)=ax(a0，a 1)的导数。,4.指数函数的导数：,(a x)= a x ln a，(e x ) =e x 。,例8求对数函数y=log ax的导数。,解：,5. 对数函数的导数：,四、导数的几何意义,切线方程为： y-y0=f (x0)(x-x0)。,法线方程为：,函数 y=f(x) 在点x0处的导数 f (x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率，即 f (x0)=tan a ， 其中a是切线的倾角。,。,例 9,求等边双曲线,在点,2),2,1,(,处的切线的,斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程,五、函数的可导性与连续性的关系,如果函数y=f(x)在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。,这是因为,注意： 这个定理的逆定理不成立，即函数y=f(x)在点x0处 连续，但在点x0处不一定可导。,这是因为函数在点x=0处导数为无穷大：,连续但不可导的函数：,例,10,函数,在区间,内连续，,但在点x=0处不可导。,(-, +),这是因为,例11函数y=|x| 在区间(-, +)内连续，但在点 x=0处不可导。,连续但不可导的函数：,例12,解,2. 2 求导法则,两个可导函数之和(差)的导数等这两个函数的导数的和(差)： u(x)v(x)=u(x)v(x) 。,两个可导函数乘积的导数等于前一因子的导数乘以后一因子，加上后一因子的导数乘以前一因子： u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)。,两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方：,一、函数的和、差、积、商的求导法则,求导法则的推广： (uvw)=uvw， (uvw) =uvw+uvw+uvw。 特殊情况： (Cu)=Cu。,1.函数的和、差、积、商的求导法则：,u(x)v(x)=u(x)v(x)，,u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)，,2. 求导举例,例1,解：,例2y=e x (sin x+cos x)，求y。,=2e x cos x。,解：,y=(e x )(sin x+cos x) + e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+ e x,(cos x -sin x),例3y=tan x ，求y。,即 (tan x)=sec2x 。,解：,例4y=sec x，求y。,即 (sec x)=sec x tan x 。,用类似方法，还可求得：,(cot x)=-csc2x ，,(csc x)=-csc x cot x 。,解：,3. 求导公式小结,1(C ) =0，,2(x m)=mx m-1 ，其中m为常数，,3(sin x)=cos x ，(cos x )=-sin x ，,4 (a x)= a x ln a ，特殊地(e x ) =e x ，,(tan x)=sec2x ，(cot x)=-csc2x ，,(sec x)=sec x tan x ， (csc x)=-csc x cot x，,二、反函数的求导法则,如果函数x=j (y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内 也可导，并且,简要证明：,因为y=f(x)连续，所以当Dx0时，Dy0。,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例1求(arcsin x)及(arccos x)。,解：,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以,例2求(arctan x)及(arccot x)。,解：,因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以,(1) (C)=0， (2) (xm)=m xm-1， (3) (sin x)=cos x， (4) (cos x)=-sin x， (5) (tan x)=sec2x， (6) (cot x)=-csc2x， (7) (sec x)=sec x tan x， (8) (csc x)=-csc x cot x， (9) (ax)=ax ln a ， (10) (ex)=ex，,基本初等函数的导数公式小结：,，,(16),三、复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,复合函数的求导法则：,例,3,y,=lntan,x,，,求,解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，,对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必 再写出中间变量。,复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。,解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n-1x (sin x ) = ncos nx sin nx+nsin nx sin n-1x cos x =n sin n-1x sin(n+1)x。,例,9,y,=,sin,nx,sin,n,x,(,n,为常数,),，,求,。,2. 3 高阶导数,一、高阶导数的定义,问题:,变速直线运动的加速度,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,定义,二、 高阶导数求法举例,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,同理可得,2. 高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,例5,解,3.间接法:,例7,解,三、小结,高阶导数的定义;,高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);,n阶导数的求法;,1.直接法;,2.间接法.,思考题,思考题解答,可导,不一定存在,故用定义求,一、隐函数的导数,显函数： 形如 ysin x ，yln xe x 的函数。,这种由方程确定的函数称为隐函数。,把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。,2. 4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?,如, 如何求,求隐函数的导数的方法： 把方程两边分别对x求导数,然后从所得的新的 方程中把隐函数的导数解出,求导时要注意y是x的函数。,例1. 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数.,解：方程两边分别对x求导得,(e y)(xy)(e)(0)，,即 e y yy+xy0，,解：把方程两边分别对x求导数得,当x0时，从原方程得y0，,例,2,求由方程,y,5,+,2,y,-,x,-,3,x,7,=,0,所确定的隐函数,y,在,x,=,0,处的导数,。,所以,解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得,所求的切线方程为,解：方程两边对x求导，得,上式两边再对x求导，得,1,-,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.目的是利用对数的性质简化求导运算。,-对数求导法,适用范围:,二、对数求导法,有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦.,例5,解,等式两边取对数得,一般地,两边取对数得,例6,解,等式两边加绝对值后再取对数得,解：先在两边取对数，得,上式两边对x求导，得,例,7,求,函数,的导数。,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,参量函数,由复合函数及反函数的求导法则得,容易漏掉,例7,解,所求切线方程为,四、相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,例8,解,仰角增加率,第五节 函数的微分,一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、微分在近似计算中的应用,一、问题的提出近似计算问题,实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。,面积改变量,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数 (改变量的线性主要部分)？如果有,它是什么？ 如何求？,设函数yf(x)在某区间内有定义，x0及x0Dx 在这区间内，如果函数的增量 Dyf(x0Dx)f(x0) 可表示为 DyADxo(Dx)， 其中A是不依赖于Dx的常数，而o(Dx)是比Dx高阶的无穷小，那么称函数yf(x)在点x0是可微的，而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分，记作dy，即 dyADx。,微分的定义：,函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0 可导，且当函数f(x)在点x0可微时，其微分一定是 dyf (x0)Dx。,可微与可导的关系：,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)。dy=ADx。,这是因为，一方面,另一方面,其中a0(当Dx0)，且A=f(x0)是常数，aDx o(Dx)。,函数yf(x)在任意点 x 的微分，称为函数的微分， 记作dy 或 df(x)，即 dyf (x)Dx。,例如，,dex(e x)DxexDx。,dcos x(cos x)Dx sin x Dx；,例1求函数yx2在x1处的微分。,解：函数yx2在x1处的微分为 dy(x2)|x1Dx2Dx.,例2求函数 yx3当x2，Dx 0. 02时的微分。 解：先求函数在任意点x 的微分， dy(x3)Dx3x2Dx。 再求函数当x2，Dx0. 02时的微分，,=3220.02=0.24。,因为当y=x时， dy=dx=(x)Dx=Dx， 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分，记作dx ，即 dxDx。,因此，函数yf(x)的微分又可记作 dyf (x)dx。,自变量的微分：,二、微分的几何意义,几何意义:(如图),M,）,N,(e x)e x,(x m)m x m1,(sin x)cos x,(cos x)sin x,(tan x)sec 2 x,(cot x)csc 2x,(sec x)sec x tan x,(csc x)csc x cot x,(a x )a x ln a,d(x m)mx m1dx,d(sin x)cos xdx,d(cos x)sin xdx,d(tan x)sec 2xdx,d(cot x)csc 2xdx,d(sec x)sec x tan xdx,d(csc x)csc x cot xdx,d(ax)ax ln adx,d(ex)exdx,1基本初等函数的微分公式,三、微分公式与微分运算法则,2函数和、差、积、商的微分法则,关于d(uv)vduudv 的证明： 因为 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx。 而 udxdu，vdxdv， 所以 d(uv)vduudv。,求导法则： 微分法则： (uv)uv d(uv)dudv (Cu)Cu d(Cu)Cdu (uv)uvuv d(uv)vduudv,例3ye13xcos x，求dy。 解：应用积的微分法则，得,e13x(3cos xsin x)dx。,cos xe13x(3)dxe13x(sin x)dx,dyd(e13xcos x),cos xd(e13x)e13xd(cos x),3复合函数的微分法则,设yf(u)及uj(x)都可导，则复合函数yfj(x)的 微分为 dyyxdxf (u)j(x)dx。 于由j(x)dxdu，所以，复合函数yfj(x)的微分公式也可以写成 dyf (u)du 。,结论：,微分形式的不变性,例4ysin(2x1)，求dy。 解：把2x1看成中间变量u，则,2cos(2x1)dx。,cos(2x1)2dx,cos(2x1)d(2x1),dyd(sin u),cos udu,四、微分在近似计算中的应用,如果函数yf(x)在点x0处的导数f (x)0， 且|Dx|很小时，我们有 Dydyf (x0)Dx， f(x0Dx)f(x0)dyf (x0)Dx， f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx。 若令xx0Dx，即Dxxx0，那么又有 f(x)f(x0)f (x0)(xx0)。 特别当x00时，有 f(x)f(0)f (0)x。,微分在近似计算中的应用,1.计算函数的近似值,例1有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0. 01cm估计一下每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)?,利用f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx求函数增量的近似值,DVV(R0DR)V(R0) V (R0)DR4pR02DR 43.14120.010.13(cm3)。 于是镀每只球需用的铜约为 0.138.91.16(g)。,解：已知R01cm，DR0. 01cm。,利用公式 f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx求函数在x0附近的值,例2利用微分计算sin 3030的近似值。,sin x0 cos x0 Dx,sin 3030,sin(x0Dx),(2)sin xx (x用弧度作单位来表达)； (3)tan xx(x用弧度作单位来表达)； (4)ex1x； (5)ln(1x)x。,常用的近似公式(假定|x|是较小的数值)：,利用公式 f(x)f(0)f (0)x求函数在x=0附近的值,
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