资源描述
图形运动过程中的临界问题一、题型特点1.图形位置不确定；2.图形运动具有连续性；3.多以求某一变量的取值范围或最值为主二、涉及的主要知识点1.几何作图或画函数图象；2.几何计算；3.方程或不等式（组）；三、主要解题思路1.通过画图（或示意图）或直观操作把问题直观化；2.确定运动的起始位置、终止位置或某些特殊位置，化动为静；3.计算临界位置的相应结果，得到相应变量的取值范围或最值四、例题讲解例1 在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5如图1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则BA的取值范围是 图3图2图1分析：如图2，解题由画图开始点A在BC边上移动，可首先使点A与点B重合，画出相应的图形，如图2所示；再使点A与点C重合，画出相应的图形，如图3所示，可知均不满足条件，进而可得出，点P、Q的位置决定BA的取值范围当点P与点B重合时，如图4所示，BA值再大，当点Q与点D重合时，如图5所示，BA值再小，BA的取值范围可求图5图4 解：如图4，当点P与点B重合时， BA=3如图5，当点Q与点D重合时， DA=5，CA=5，BA=1所以BA的取值范围是1BA3.例2 已知二次函数y = x2+2x+c（1）当c3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；图4图3图2（2）若2x1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围图1解：（1）略（2）分析：从已知入手，画出图形由函数的解析式y = x2+2x+c可以得出二次项系数是1，函数图象的形状确定，因为一次项系数是2，所以函数图象的对称轴确定是直线x=1,故而可知该函数的图象因常数项的变化而沿直线x=1上下平移又因为条件2x1可知，该二次函数的图象如图1所示确定一种运动方式，不妨确定为从下向上运动函数图象与x轴的交点情况为0、1、2、1、0五种情况确定临界位置分别如图2、图3、图4所示分别把（1,0）、（2,0）、（1,0）代入函数的解析式可得出相应的c值，c的取值范围可求解：（2）由（1,0）得，0 = 12+21+c， c = 3；由（2,0）得，0 = （2）2+2（2）+c， c = 0；由（1,0）得，0 = （1）2+2（1）+c， c =1.所以c的取值范围是3c0或c =1.图3例3如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F，求直径EF的范围.图1图2 分析：要求直径EF的范围，就是求出EF的最大值与最小值因为图形位置不确定，找到图形运动的临界位置，画出相应的图形，化动为静由已知条件“动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F”，可得出点E、F与点O重合是此题的两个临界位置（此时圆心D分别在x、y轴上）画出对应的图形，如图2、图3所示由已知条件动圆D经过A、O，可以确定圆心D在线段OA的垂直平分线上，以DO为半径依次画出规范的图形，如图4所示，观察EF的变化规律：当点F从图2中的位置向图3中的位置连续变化时，EF的大小变化是先由大变小，再由小变大，直观得出图3时最大，并猜想最小值在运动过程中的某处进而猜想圆心D在线段OA上时，FE的值最小，如图5.此猜想的证明如图6，连接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，当OD+DA最小时，EF的值最小，又OD+DAOA，所以EF得最小值等于OA图6图5图4 解：如图5，易知OA=5如图3，求得EF=；如图4，求得EF=.所以5EF.五、练习题1如图，ABC=90，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作O，若射线BA绕点B按顺时针方向旋转至，若与O有公共点，则旋转的角度（0 180）的范围是 2已知二次函数y2x24x6把二次函数y2x24x6的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线(bk)与此图象有两个公共点时，b的取值范围3已知二次函数和一次函数，设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围ABCDPE4.如图，已知在矩形ABCD中，AB2，BC3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PEPC交AB于E当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围5.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长备用图练习题参考答案: 160 1202 34 BE25(1) (2)说明:例2是2012年北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷第22题 ；22已知二次函数（1）当c3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；（2）若2x1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围22. 解：（1）由题意，得.当时，.解得，.该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（3,0），（1，0）. （2）抛物线的对称轴为. 若抛物线与x轴只有一个交点，则交点为（1，0）. 有，解得. 若抛物线与x轴有两个交点，且满足题意，则有 当时， 0， 0，解得0. 当时，解得. 0. 综上所述，c的取值范围是或0.练习2是由2009年北京市中考数学试卷第23题改编原题及答案23已知关于x的一元二次方程2x24xk10有实数根，k为正整数(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y2x24xk1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线(bk)与此图象有两个公共点时，b的取值范围第23题图23解：(1)由题意得，168(k1)0k3k为正整数，k1，2，3(2)当k1时，方程2x24xk10有一个根为零；当k2时，方程2x24xk10无整数根；当k3时，方程2x24xk10有两个非零的整数根综上所述，k1和k2不合题意，舍去；k3符合题意当k3时，二次函数为y2x24x2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y2x24x6(3)设二次函数y2x24x6的图象与x轴交于A、B两点，则A(3，0)，B(1，0)依题意翻折后的图象如图所示第23题答图当直线经过A点时，可得；当直线经过B点时，可得由图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为练习3是由2012年北京中考数学试卷第23题改编原题及答案23已知二次函数 在和时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。23. 解：（1）由题意得. 解得. 二次函数的解析式为. （2）点在二次函数的图象上， . 点的坐标为. 点在一次函数的图象上， . （3）由题意，可得点的坐标分别为. 平移后，点的对应点分别为 . 将直线平移后得到直线 . 如图1，当直线经过 点时，图象（点除外） 在该直线右侧，可得； 如图2，当直线经过 点时，图象（点除外） 在该直线左侧，可得. 由图象可知，符合题意的的取值范围是.练习5是2012年北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷第25题（有改动），原题及答案如下:25. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答： PEF的大小是否发生变化？请说明理由； 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长备用图25. 解：（1）在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，PB= ， ABPDPC，即PC=2 （2） PEF的大小不变理由：过点F作FGAD于点G四边形ABFG是矩形GF=AB=2， APEGFP.在RtEPF中，tanPEF=即tanPEF的值不变PEF的大小不变 .
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