7.1.1 数系的扩充和复数的概念 教学设计

7.1.1数系的扩充和复数的概念本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教 A 版）第七章复数，本节课主要 学习数系的扩充和复数的概念。本节课数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时是数学产生、发展的客观需求,复数的引入是 中学阶段数系的又一次扩充。课标将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用, 以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化 , 这部分内容的学习 , 有助于学生体会理论产生与发展的过 程,认识到数学产生和发展既有来自外部的动力 ,也有来自数学内部的动力,从面形成正确的数学观 ;有助于发 展学生的全新意识和创新能力。复数的内容是高中数学课程中的传统内容 . 对于复数 ,课标要求在问题情境中了解数系的扩充过程 , 体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作 用以数与现实世界的联系 ;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 ;了解复数的代数表示法及其几何 意义:能进行复数代数形式的四则运算了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。课程目标学科素养A、了解数系的扩展过程以及 i 的引入； 1.数学抽象：i 的规定以及复数的有关概念； B、理解复数的概念、表示法及相关概念； 2.逻辑推理：复数相等；C、掌握复数的分类及复数相等的条件。3.数学运算：复数相等求字母的值； 4.直观想象：熟悉的扩充。1.教学重点：对 i 的规定以及复数的有关概念。 2.教学难点：复数概念的理解。多媒体教学过程教学设计意图 核心素养目标1一、复习回顾，温故知新1对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教 师引导学生进行简明扼要的概括和总结）103=？35 = ？正方形的面积是 2，求该正方形的边长 a。通过复习数系的扩 充过程，引入本节新求方程x 2 + 1 = 0的解。课。建立知识间的联 系，提高学生概括、类比推理的能力。二、探索新知思考：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到 圆满解决呢？通过思考，引入 虚数单位，提高学生 分析问题、概括能【分析】 引入新数（1） ；，并规定：力。（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、 乘运算律仍然成立叫做虚数单位。（一）复数的概念形如 a+bi(a、bR)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示 。（二）复数的代数形式复数通常用字母 z 表示，即 z=a+bi（a、bR）其中 a 叫复数 z 的 ，b 叫复数 z 的 。 【答案】实部 虚部练一练：把下列式子化为 a+bi（a、b 虚部R）的形式，并分别指出它们的实部和（1）2 -i = （3）5=；（2）-2i = ；（4）0=；。通过练习题巩固复 数的形式，提高学生【答案】（1）2 -i =2+（ -i ），实部 2，虚部-1； （2）-2i =0+（-2）i ，实部 0，虚部-2； （3）5=5+0i ，实部 5，虚部 0；解决问题的能力。20.618i 1 - 3i 7 （4）0=0+0i ，实部 0，虚部 0。思考：根据上述几个例子，复数 z= a+bi 可以是实数吗？满足什么 条件？【答案】b=0 时，复数为实数。（三）、复数的分类试一试： 1、下列数中，3 -9 2i 实数有2 + 7( )25i +80；i2虚数有 ； 其中纯虚数是 。通过练习题，进一步【 答 案 】 实 数 ： 2 + 7 ,0.618， 0 ， i 2； 虚 数 ：巩固复数的分类，提 高学生概括问题的2 2i,3 -9 2i , i(1 - 3),5i +8 ；纯虚数： i, i(1 - 3) 7 72、判断下列命题是否正确：（1）若 a、b 为实数，则 Z=a+bi 为虚数。（2）若 b 为实数，则 Z=bi 必为纯虚数。（3）若 a 为实数，则 Z=a 一定不是虚数。【答案】（1）错 （2） 错 （3）对例 1、实数 m 分别取什么值时，复数 zm+1(m-1)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。【解析】练习：当 m 为何实数时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 ；（4）零。能力。通过例题、练习题 进一步巩固复数的 分类，提高学生的概 括问题的能力、解决 问题的能力。【解析】（1）当m2-1 =0即m =1时，复数 Z 为实数；（2）当m 2 -1 0即m 1时，复数 Z 为虚数； （3）当 m2 +m -2 =0 m 2 -1 0即m =-1时，复数 Z 为纯虚数；3 a2 2，m2 +m -2 =0 （4）当 即m 2 -1 =0 （四）、复数相等m =1时，复数 Z 为零。通过例题的讲解，让 学生进一步理解复 数相等的概念，提高如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数 学生解决与分析问相等题的能力。若 a、b、c、dR，a+bi=c+dia =c且b =d。注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数 可以比较大小。例 2 已知，其中 x、y R，求 x 与 y 的值。【解析】由已知得 2 x -1 =y -(3 -y ) =15，解得 x = , y =4 2。三、达标检测1判断正误(1)若 a，b 为实数，则 zabi 为虚数( ) (2)复数 i 的实部不存在，虚部为 0.( )(3)bi 是纯虚数( )通过练习巩固本节 所学知识，通过学生(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复 解决问题的能力，感数相等( )【答案】 (1) (2) (3) (4)悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应2已知复数 za2(2b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a， 用意识。 b 的值分别是( )A.，1 B.，5 C，5 D，1【答案】C【解析】 令2b3，得 a，b5.3已知 x2y22xyi2i，则实数 x，y 的值分别为 x1 x1【答案】 或y1 y1【解析】x2 y2 2xyi2i，42 2 2x y20， x1， x1， 解得 或2xy2， y1， y1.4实数 m 分别取什么数值时，复数 z(m25m6)(m22m15)i(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是 0？【解析】 由 m25m60 得，m2 或 m3，由 m22m150 得 m5 或 m3.(1)当 m22m150 时，复数 z 为实数，m5 或3. (2)当 m22m150 时，复数 z 为虚数，m5 且 m3.(3)当m22m150， m 5m60时，复数 z 是纯虚数，m2.m22m150， (4)当m 5m60 四、小结一、数系的扩充；二、复数有关的概念： 1、复数的代数形式； 2、复数的实部、虚部； 3、虚数、纯虚数；4、复数的相等。五、作业习题 7.1 2,3 题时，复数 z 是 0，m3.通过总结，让学生 进 一 步 巩 固 本 节 所 学内容，提高概括能 力 , 提高学生的数学 运 算 能 力 和 逻 辑 推 理能力。1、教师要精心设计合作的学习内容教师课前要花充足的时间,钻研教材,把握教学重点、难点,充分认识每个学生的特长与不足。要有针对性 课前预设,精心选择有价值的问题或练习,提高小组合作学习质量。并不是所有的教学内容都适合小组合作学 习,对于那些开放性的练习 ,在学生经过独立思考之后,再进行小组交流 ,这个过程让学生感受到与人合作的快 乐。2、在合作过程中给学生足够的思维时间和空间合作学习之前学生先独学,有了初步想法后再探究、交流,共同解决问题。这样做给不爱动脑思考或学习 有一定困难的学生提供进步的机会,让他们能有话可说,提高讨论效率。对提高学生的学习能力是有很大帮助 的。5