让数学研究更加深刻例谈几何画板应用于小学数学几何板块温州...

让数学研究更加深刻 例谈几何画板应用于小学数学几何板块温州市忠义外国语学校 汪佩义【摘要】根据全日制义务教育数学课程标准( 实验稿)的要求以及当前小学数学教材的具体教学内容, 通过实例说明几何画板课件在小学数学几何板块教学中的广泛应用, 指出几何画板是揭露概念内涵、公式本质、问题价值的好工具, 应该在小学大力提倡和推广。实践表明：用好富有学科气质的教学软件，有利于学科教学。【关键词】几何画板 信息技术 小学几何 学科整合一、背景分析新课改以来，信息技术对于教学来说可能发生的改变是革命性的，教育信息化重要是“深入学科，注重实效”。多媒体技术在小学数学几何板块教学中的作用尤为突出，不少教师用流行的多媒体创作平台，如 Authorware 和 Flash 编制课件，但这些工具软件在表现几何关系方面不能真正满足小学数学教学的需要, 而且课件的制作特别费时，工作繁忙的小学老师难以经常使用。笔者认为辅助小学数学几何板块教学方面几何画板有它得天独厚的优势。首先，它简单易学，功能强大。在制作课件时我们能利用它有限的工具实现无限的组合和变化，将想要反映的问题表现出来。其次，用它制作课件快速简捷，课件界面朴素无华。第三，用它制作的课件短小精干、科学严谨。用它制作的课件容量小，一般只有几KB，大的也不过几十KB。它和数学知识联系紧密，强调软件对数学知识的推动和理解，所以用几何画板制作的课件对数学知识的反映准确，对问题的突破也更为直接有效。这里要说明一点，几何画板的功能不仅仅是纯粹解决几何问题，它的一个很强大的功能是“代数与几何”的完美结合，只是这一块要到中学才能体现，所以这里主要谈谈在小学数学几何板块中的应用。本文将通过具体的实例说明几何画板在小学数学中的广泛应用，促使信息技术与小学数学教学整合的改革试验更加广泛地开展。二、几何画板在小学数学几何板块教学中的作用小学数学的教学内容中，不论是平面几何还是立体几何的教学，几何画板都有其得天独厚教学辅助能力。正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形以及圆的特征、周长和面积公式，都可以利用几何画板制作课件，用动画展示图形的拼合和割补，通过动态的图形和实时度量的方法做数学实验加以验证。正方体与长方体的特征、表面展开图、表面积和体积，图形的平移和旋转、轴对称和中心对称等教学内容，利用几何画板制作的图形动画课件都能较好地把学生引入思考、探索、创新的情景之中，取得良好的效果。1让概念理解更加深刻1.1形象展示概念外延，深刻揭露概念内涵小学生的思维发展正处于从具体形象思维向抽象思维过渡的阶段。但部分几何概念往往比较抽象，与小学生要依赖于具体的事物进行形象思维之间存在着矛盾，为解决这一矛盾，我借助几何画板辅助教学，变抽象为形象，丰富了学生的感性认识，更深刻理解概念内涵。例1角的大小比较（教学义务教育课程标准实验教科书小学数学二年级上册第三单元“角的初步认识”）角的大小比较往往是学生认知的难点，角的大小本质在于两边叉开的大小而非边的长短。这里很多教师都会让学生摆动活动角，感知角是能变大变小的，这个操作必不可少。现实活动角有两个缺点：一、不能改变边的长短；二、不能留下活动角的角的象。这样一来，没有了对照，学生体会就不会那么深刻。在操作活动角的基础上，下面介绍用几何画板弥补以上的两个缺点，让学生理解角大小的本质。教学环节设计：问题一：你能知道怎么样改变老师这个角的大小吗？预设：把BC往上或者把BA往下。教师:更具学生的回答拖动BC改变角的大小。效果说明：虚线部分很好的保留了原来的角，角的标记让学生直接而且深刻的体会到角是怎么样变大的。问题二：请同学观察老师的操作，思考什么发生了变化，什么没有变？教师：拖动线段的长度从而改变角的边的长短。预设：原来是边的长短发生了变化，角的大小没有变。评析：通过这样的两个环节，有正面的动态演示，也有方面的动态演示，突显了角大小的本质。例2锐角与钝角教材定义：比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角。学生很容易理解这两句话，但是并不代表就是理解了锐角和钝角的本质。后测中发现学生有两个错误点。1判断“锐角（钝角）都是一样的”。学生出错率很高，这是因为学生没有了解到锐角的所有外延，从而影响了对内涵的理解。在学习过程中没有深刻意识到锐角和钝角其实是一个范围，而不是一个特定的角。（也可能是直角概念的负迁移）2判断“比锐角大的是直角”。这个题目学生错误率也是很高，原因在于教学过程中对直角、锐角、钝角的辩证关系渗透的不够。因而不能够全面完整的进行思考。在几何画板中教学这两个概念能很好的突破这两个易错点。大概了解了什么是锐角后，且看结合画板如何显神奇。在学生活动角或者画图探究有多少个锐角的基础上：演示1：拖动一边，利用追踪画出有限个锐角。演示2：其实线段更加密些那就是这样： 通过这样的两个演示学生会体会到原来锐角是一个范围，锐角有无数个，关键只要比直角小就可以。接下来就可以用同样的方式来教学钝角，学生就可以类比锐角自己学校钝角。通过这个演示还能很自然的严谨钝角的定义，比直角大且比平角小（学生课前对平角有所了解，所以这里可以很自然的教学平角，以及利用平角严谨书本钝角的概念）。这样一来也就动态无缝的练习了锐角、直角、钝角。最后通过演示还能留下疑问，还有比这些角都大的角，以后再学习。评析：这样的动态演示，不仅能帮助学生理解概念内涵，还能让学生体会众多的数学思想方法，比如极限思想，分类思想，类比方法等等，还渗透了直角坐标系模型。利用追踪和阴影功能，教学圆的对称轴有无数条时久显得比较容易，学生理解也就不那么难了。1.2形象联系概念“属”，“种”，系统揭露概念本质在普通逻辑学中，通常把属性相同的客观事物叫做“类”，把从属于“类”的每个具体事物叫做“分子”。其外延放映“子类”的概念，称其为“种概念”，其外延放映“子类”所从属的“累”的概念，称其为“属概念”。比如四边形是平行四边形的 “属”，而且是最临近的属，平行四边形是四边形最临近的种。几何画板就能动态联系“”属，“种”概念，让概念教学更加深入，更加系统。例1四边形、正方形、长方形、平行四边形、和梯形等概念之间的属种关系。教材用下图来表示，可是笔者认为这样的表示还不足以让学生深刻理解，还必须设置一定的教学环节。下面是笔者利用几何画板所设计的教学环节，通过连续的追问和动态演示达到教学目的。问：这个是一个什么图形？生：四边形。问：怎么样才能变成梯形？生：让其中的一组对边平行等回答。问：怎么样又能继续变成平行四边形？生：让另外一组对边也平行等回答。问：怎么样又能继续变成长方形？生：让四个角都变成直角等回答。问：怎么样有能继续变成正方形？生：让四条边都相等回答。限制条件越来越多图形也是越来越特殊：梯形，平行四边形、正方形和长方形都是特殊的四边形;长方形和正方形都是特殊的梯形；长方形是特殊的正方形。几何画板随着问题逐步动态变化：评析：这样的动态演示，把静态的集合包涵关系动态化了，不仅拥有思维含量而且富有乐趣。2让公式理解更加深刻几何画板在代数方面（数形结合）的运用在中学阶段会体现的更加深刻。那小学阶段就没有这种数形结合了吗？其实不然，张景中教授说过，就算是在数正方体的定点数那也是在数形结合。笔者发现平行长方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等面积计算教学结合结合画板动态演示，学生理解更加到位。几何画板还能把这些图形的面积计算动态联系起来，让学生充分感受这些面积公式的转化的辩证关系，以便理解这些公式的本质，而不是去死记住。例1平行四边形面积计算通过拉动A点改变平行四边形的的形状，但是不改变每一边的长度，不断的动态演示学生就能感知当无限被压扁的时候，也就是高接近0的时候面积接近0，对于平行四边形来说，一定的周长，可以有不同的面积，正方形的时候最大（基于四边形层来说）。例2圆的面积推到教学“圆的面积”，为引导学生从实验得出圆的面积公式，通常要把圆分成 4 等份、8 等份、16等份，再把分得的这些小扇形拼合，让学生看这些小扇形拼成的图形最接近什么图形。直接用手工做这个实验既费力，又费时，如果不做这个实验，学生没有感性认识，对圆面积公式的理解和掌握就有很大的困难。利用一般的多媒体课件制作平台开发这样的课件虽然能实现手工实验的效果,但要实现从 4 等分逐步变到 32 等分的课件制作和演示操作还是不够方便。在用几何画板设计制作的课件中，不仅可以从圆的 4 等分变到 8 等分，就是 10、12、14、16、32 等分，甚至更多等分都可以( 见下图) ，还能实时显示可变化的度量值( 一般的多媒体制作平台无法做到)。从这个课件的演示中可看到，做每种等分的时候圆的半径和周长保持不变，变化的只有等分数和每段孤长， 而每段孤长和等分数的乘积都等于圆的周长。还有一个特别的优势是，上课时演示从 4 等分到 32 等分的逐步变化的过程，一瞬间就可毫不费力地实现。随着等分数的增加，拼成的图形越来越近似于平行四边形，甚至逐渐接近长方形，从而使学生观察、了解把圆 n 等分后的小扇形重新排列、拼合，能转化成长方形，而这个长方形的长相当于圆的半周长，宽相当于圆的半径，从而得到圆的面积公式。由于学生亲身经历了生动形象的知识发生的过程，符合学生认知水平和知识结构，在理解的基础上可以把圆面积公式记得特别牢固，问题得到完美的解决。（动态演示分割过程） （动态演示拼凑过程）（动态演示割补过程，还有平均分份数加大的时候拼成的图形越来越接近长方形）当然了，用几何画板还能动态演示右图面积之间的转化关系，特别是用梯形面积公式可以计算三角形，平行四边形和长方形的面积，从而也达到进一步理解这些图形的本质。3让问题研究更加深刻在平时的教学实践中，仍有一部分教师将信息技术的支撑功能仅局限于扩展黑板的演示作用。“几何画板”等智能软件集计算、作图、变换等功能为一体，完全可作为学生探索未知数学问题的工具，而且凸显问题本质。例1圆复习通过这样太极图的变式能有效的训练学生灵活运用面积公式的能力。而这样的变式正是对书本习题的改编。在画板中连续拖动O点，让白色的面积发生变化，学生体会这种此消彼长的依存关系。 例2圆复习 提问：你看了这幅图，能提出哪些数学问题？（如下图所示）学生通过自主拖动羊，从绳子形成的轨迹中直观体会到最大面积的组成部分就是四分之三大圆（绳长为半径）的面积加上两个四分之一小圆（绳长减小屋边长为半径）的面积。学生通过自我操作课件不断调整各线段长度的探究学习后，还相继提出并解决了如果小屋不是正方形、绳子再长一些、拴绳点不在角上羊吃到草的面积又有什么变化等一系列课前没有预设到的各种问题，取得了传统媒体所无法替代的效果。学生在操作课件自由探究问题的过程中，兴趣盎然、思维活跃，既顺利解决了原有问题，又引发他们将问题进行进一步拓展，这就体现了让学生积极思维、自主的发现问题、积极探究问题的教学理念。当然，作为一项有待进一步普及的教育技术，还有很多的问题值得大家共同探讨，比如：几何画板的强大技术如何与小学数学教学的具体案例相结合，适合于哪些具体的课堂教学，还有待有序地设计，形成必要的资源库；学生应用几何画板作为学具固然好，但什么时候掌握这样的技术，又能应用技术开展哪些学生可以动手操作“做”数学的活动？学生有时设计出了作品，但并不能解释数学原理，又该怎样看待这项活动的教育价值？超级画板在小学数学教学中还能发挥哪些作用，期待更多老师参与实践，欢迎更多专家和老师共同探讨。参考文献：1全日制义务教育数学课程标准.教育部2 朱偶儿.浅析小学数学概念教学过程模式J.小学教学参考,2010（8）3浙江省中小学学科教学建议.浙江省教育厅教研室4黄忠裕，赵换光.相识数学逻辑.科学出版社