数学物理方法(第三版).ppt

数学物理方法,概述,数学物理方法是物理系物理教育本科的必修课，是衔接数学与物理学的一门重要的基础课程。本课程在高等数学和普通物理学的基础上论述古典数学物理中的常用方法，为后续的理论物理系列课程做准备，打下用数学知识定量解决复杂物理问题的基础。课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，提高运算能力。 课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程两大部分.,教材及指导书,一、教材： 梁昆淼编.数学物理方法，第三版，高等教育出版社，1998年6月 二、主要的参考书： 。胡嗣柱、倪光炯编，数学物理方法 高等教育出版社。 陆全康编，数学物理方法上、下，上海：上海科学技术出版社。 陆全康编，数学物理方法自学辅导，上海：上海科学技术出版社。 郭敦仁编，数学物理方法，北京：人民教育出版社。 胡嗣柱、倪光炯编，数学物理方法，上海：复旦大学出版社,上篇 复变函数论,主要内容: 复变函数和解析函数 复变函数的积分 复变函数的级数 拉普拉斯变换与傅立叶变换 线性常微分方程的级数解法及特殊函数等。,第一章 复变函数,11 复数及复数运算 1.复数的基本概念 2.复数及其表示形式 3.无穷远点 4.复数的基本运算,1、什么是复数,一个复数可表示为 z=x + i y, 其中x, y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记为:x=ReZ, y=ImZ;(i即虚单位)。复数的上述表示 称为复数的代数式.1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x 称为实数。全体实数只是全体复数的一部分.2)若实部x=0 ,虚部y=0 ,则z=0复数零.3)如果把x，y看做是平面上的点，那么复数Z就与平面上的 点一一对应起来，这个平面称作复平面。,虚轴,实 轴,幅角,模,可见，对于同一个复数，有无穷多个幅角，我们记作ArgeZ，这些幅角彼此相差2的整数倍，我们规定：介于0， 2 ）区间内的幅角为复数z的幅角主值，记作argZ，所以有： = ArgeZ= argZ+ 2K（K=0,+1,+2）,零点与无穷远点,复平面上有些个点比较特殊,比如:零点和无穷远点. (1)复数零的幅角无意义,模为0. (2)无穷远点的模为,幅角没有意义.关于无穷远点的定义需要借助测地投影法。,测地投影法定义无穷远点,A,1-1 课堂练习,1、下列各式在复平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b| （2）Rez1/2,答案,(1)由表达式可知,这是一条直线,即a,b两点的垂直 平分线. (2)设z=x+iy，则ReZ=x，故原式即为X1/2,它表示为X1/2的半平面。,1.2 复变函数,为了更好的理解这个定义，我们需要 了解以下概念：区域、邻域、内点、外点 、境界线、闭区域、开区域等。,邻域：以Zo为圆心，以任意小正数为 半径作一圆，则圆内所有点的集 合称为Zo的邻域。,内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该 点叫作E的内点。,境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。,外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。,境界点,内点,外点,区域,境界线,区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中 的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。,闭区域：包括境界线的区域叫闭区域。,开区域：不包括境界线的区域叫闭区域。,复变函数及其导数,复变函数 一般地，当z=x+iy在复平面上变化时，如果对于z的每一个值，都有一个或几个复数值相对应，则称为z的复变函数。写作： =f（z）=u（x，y）+iv（x，y） 其中u和v是x，y的实函数，如果对于z的每一个值各取一个值则称之为单值函数，否则称为多值函数。,初等函数举例,注意 当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：,显然，由于ArgZ的周期性，对 于对数函数， Z有无限多个值 。而且在复数领域里，Z为负数时，lnz是有意义的！,.以z轴作实部,颜色作虚部 在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个 图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而 实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我 们熟悉的实数的对数函数曲线的图像.,以z轴作虚部 ,颜色作实部 这个图像很 像一个螺旋 和上一个图 像完全不同.,1.3 复变函数的导数,从定义形式上看，复变函数与实变函 数是完全一样的，所以实变函数论中的相 关规则往往可以适用于复变函数。例如：,但是，复变函数可导却比实变函数复 杂的多，因为实变函数x只能沿实轴逼 近0，而复变函数z则可以沿任何曲线逼 近于0，因此，复变函数的可导有更严格 的要求。,首先看z则沿实轴逼近于0的情形：,再看z沿虚轴逼近于0的情形：,既然与路径无关，以上两式应该相等，即,以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西黎曼条件（简称C-R条件）。,1.4 解析函数,定理：对于区域上的连续函数f（Z）， 其为解析的充要条件为C-R条件。,可见，解析函数在每点的邻域内，其 实部与虚部是相互联系的，联系的纽带为 C-R条件。,习 题,