分金块问题的两种算法实验报告

分金块问题的解决思想和算法设计王雕 40912127 2009级计算机科学与技术三班摘要：在日常生活中，分金块问题是一个常见的问题，人们总是会面临怎样比较大小。本文给出了较为常用的两种算法蛮力法和分治法。关键词：分金块问题；蛮力法(非递归)；分治法；1 问题概述 老板有n个金块，希望最优秀的雇员得到其中最重要的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。假设有一台比较重量的仪器，如何用最少的比较次数找出最重和最轻的金块？2 理解金块问题：以9以内的实例理解问题金块示例问题：1.最重的是那块？用max标记 2.最轻的是那块？用max标记3 求解金块问题的常用算法一蛮力法 蛮力法的设计思想：蛮力法，也称穷举法，是一种简单而直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述，因此，也是最容易应用的方法。但是，用蛮力法设计的算法其时间性能往往是最低的，典型的指数时间算法一般都是通过蛮力搜索而得到的。即从第一块开始查找，查找哪块最重，哪块最轻。 a0 a1 a2 a3 max min ? max 4算法设计：Maxmin(float a,int n)max=a1;min=a1; for(i=2;i=n;i=i+1) if(maxai) min=ai Return(max, min)Step1 将所有金块重量存于数组Step2 将第一个金块同时标记为最重和最轻的金块Step3 将第一个与后一个进行重量的比较，将更重的标记为max，同时如果现阶段最轻的比后者轻，那么将后者标记为min。Step4 依次进行比较，最重得到最重的和最轻的max min.5算法分析：(1)时间复杂性和空间复杂性。分析该算法可以看出，比较操作 maxai和mixai是执行频次最高的关键语句。因此以这两个语句执行的总次数作为该算法执行所需要的时间。最好情况下，金块由轻到重排列，不需要进行minai比较，而 maxai比较共需进行n-1次,即可得到max和min; 最坏情况下，金块由重到轻排列，还需要进行n-1次minai比较，才能得到最终的min，因此共进行2(n-1)次比较。在平均情况下(概率平均)，ai将有一半的时间比max大，因此平均比较次数是3(n-1)/2。所以算法时间复杂度为O(n). 算法共用了n个存贮空间(ai占用的空间），所以空间复杂度为S(n).6算法的正确性分析 算法的正确性分析包含两方面的含义：1）算法是可终止的。2）算法是有效的。在上述算法中，由于n是有限数，所以算法在有限次执行之后必然终止，这是显然的。算法的有效性是指当算法正常终止时，最重、最轻的金块能够被找到(没有遗漏现象)。由于算法是从第一个金块开始逐一寻找，直到和第n个金块比较之后才结束，所以最后得到的必然是最重(max)、最轻(min)的金块.综合1）和2），算法是正确的。7实验结果：算法思想二 用分治法解决金块问题1典型二分法思想：一种简单的分治法。即当每次将比较大的一个问题一分为二，形成两个较小的问题，再把每个较小问题一分为二，变为更小的两个问题，,直到得到容易解决的小问题为止，再解决所有小问题，然后把小问题的解逐层合并，得到原来大问题的解。子问题一原问题子问题二 子问题三子问题四子问题五子问题六.典型二分法用二叉树表示： .2 用二分法如何解决金块问题？从两个简单实例谈起：(1) 假设只有一个金块，重10克，则不需要比较轻重,最重者和最轻者是同一个金块。即比较0次。(2) 假设有2个金块，一个重10克，另一个重16克，则 需要比较1次，可以把最重者和最轻者确定下来。(3) 当有多个金块时（假设6块），则用二分法对其分 解，直到分解为（1）或（2）的情形时，问题很容易解决。假设6个金块重量如下(以找最轻金块为例)： 2 6 4 3 8 1 一分为二（两组）： 【2 6 4】 【3 8 1】一分为二（四组）： 【2 6】【4】 【3 8】【1】解较小子问题： 2 4 3 1合并子问题解： 2 1 lmin rmin ?3用二分法解决金块问题算法设计：问题抽象、简化为：在n个元素的集合中寻找最大和最小值元素。(1)将集合一分为二，变为两个集合，目的是在较小的两个集合中分别找最大、最小元素。 (2)递归分解较小集合，直到每个集合中的元素个数2，然后找出小集合的最大、最小元素。 （3）合并（回溯）：自低向上把子问题的解合并，大元素中取最大者，小元素中取最小者，最后得到元问题的解。4 用二分法解决金块问题算法描述：void maxmin(int i,int j,float &fmax,float &fmin)int mid;float lmax,lmin,rmax,rmin;if(i=j)fmax=ai;fmin=ai;else if(i=j-1)if(airmax)fmax=lmax;elsefmax=rmax;if(lminrmin)fmin=rmin;elsefmin=lmin;5用二分法解决金块问题算法分析： 以元素比较总次数作为maxmin算法的时间复杂度度量指标，用T(n)表示比较总次数，则可以推导出递归关系：T（n）=0 n=11 n=2T(n/2)+T(n/2) n2T(n)下界为(3n/2)-26实验结果对应数据： 7 两种算法的比较占用空间较小适合数量较少的问题内存消耗较大对于无规则的比较有优势O(n)O(n)二分法蛮力法算法特点时间复杂度比较项目算法名称 8 结束语 本文给出了两种关于金块问题的算法，分别是蛮力法和二分法。分析了其时间复杂度和占用空间等。总结了两种算法的特点及适用性。一般情况下，选择二分法较为快速，但内存消耗较大。