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9.2不等式选讲(选修45),1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c) 0时,等号成立.,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c. (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.,4.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等. (1)比较法:求差比较法,求商比较法. 求差比较法:由于aba-b0,ab,只要证明a-b0即可. 求商比较法:由ab0 1且a0,b0,因此当a0,b0时要证明ab,只要证明 1即可. (2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等). (3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.,考向一,考向二,考向三,考向四,解绝对值不等式、求参数范围 解题策略一分离参数法求参数范围 例1已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,考向一,考向二,考向三,考向四,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式. 2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练1已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0). (1)当m=1时,解不等式f(x)3; (2)当xm,2m2时,不等式 f(x)|x+1|恒成立,求实数m的取值范围.,考向一,考向二,考向三,考向四,考向一,考向二,考向三,考向四,解题策略二求函数最值构造不等式求参数范围 例2已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x-1时,式化为x2-3x-40,无解; 当-1x1时,式化为x2-x-20,从而-1x1;,(2)当x-1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围. 2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当 时,f(x)g(x),求a的取值范围.,考向一,考向二,考向三,考向四,考向一,考向二,考向三,考向四,不等式的证明 例3已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.,考向一,考向二,考向三,考向四,考向一,考向二,考向三,考向四,考向一,考向二,考向三,考向四,求最值 解题策略一利用基本不等式求最值 例4若a0,b0,且 (1)求a3+b3的最小值. (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得若题设条件有(或者经过化简题设条件得到)两个正数和或两个正数积为定值,则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值.,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练4已知a0,b0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1. (1)求证:2a+b=2; (2)若a+2btab恒成立,求实数t的最大值.,考向一,考向二,考向三,考向四,考向一,考向二,考向三,考向四,解题策略二利用柯西不等式求最值,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得利用柯西不等式求最值时,一定要满足柯西不等式的形式.,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练5(1)已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集为R.求m的最大值. (2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a,b,c的值.,解 (1)|x+3|+|x+m|(x+3)-(x+m)|=|m-3|. 当-3x-m或-mx-3时取等号,令|m-3|2m, m-32m或m-3-2m.解得m1,m的最大值为1.,考向一,考向二,考向三,考向四,绝对值三角不等式的应用 例6设函数 (1)证明f(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范围.,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得绝对值三角不等式、基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,无论运用绝对值三角不等式还是运用基本不等式时应注意等号成立的条件.,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练6(2018全国,文23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若f(x)1,求a的取值范围.,可得f(x)0的解集为x|-2x3. (2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4. 而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立. 故f(x)1等价于|a+2|4. 由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).,
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