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专题二十 圆【基础知识】1垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧。2弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量也对应相等。3圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的圆心角的 ；相等的圆周角所对的 相等；直径所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 。4 的三点确定一个圆。5三角形的外心是三角形的 的交点，它到三角形的 的距离相等；三角形的内心是三角形的 交点，它到三角形的 的距离相等。6点与圆的位置关系： 设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 。7直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有：直线和O 相交 ；直线和O 相切 ；直线和O 相离 ；8圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R、r（Rr）,圆心距为d，则有： dR+r两圆 ；d=R+r两圆 ；R-rdR+r两圆 ；d=R-r两圆 ；d R-r 两圆 ；9切线的性质和判定：圆的切线 过切点的半径（或直径）；经过半径的外端，并且 这条半径的直线是圆的切线。10切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它的切线长 ，这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角。11正n边形的每个中心角都等于 ；任何多边形外角和都等于 ，正多边形中心角的度数等于每个 的度数。12弧长和扇形的面积：弧长的计算公式为 ，扇形的面积计算公式为 或 。13圆锥的侧面展开图是 ，这个扇形的弧长等于圆锥底面的 ，扇形的半径等于圆锥的 。圆锥的侧面积为S侧面积=C底面圆母线；S表面积=S侧+S底；圆锥的全面积为 。【中考链接】图20-1例人教版九上P103T14如图20-1，AB是O的直径，C为O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB。【中考导向】圆是中考的考查重点，切线是直线与圆的位置关系中一条特殊的直线，常把半径、切线构建在直角三角形中，切线的判定和性质是求线段的长、角度、证两直线垂直的重要依据之一。当要判断过圆上一点的直线与圆是否相切时，一般的方法是连接这点和圆心，再证明这条直线是否与所作半径垂直。所以解这类题时连接直线过圆上的一点的半径是解题的关键。变式 2012丽水如图20-2，AB为O的直径，EF切O与点D，过点B作BHEF于点H，交O于点C，连接BD，图20-2（1）求证:BD平分ABH；（2）如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离。【课后自测】1已知O的半径为3cm，点P是直线上一点。OP长5cm，则直线与O的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D相交、相切、相离都有可能2若A和B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（ ） A10cm B6cm C10cm或6cm D以上答案均不对3如图20-4，已知圆锥的高为8，底面圆的直径为12，则圆锥的侧面积是（ ） A24 B30 C48 D60图20-5图20-484如图20-5，AD是O的直径，AB=ACA,BAC=120，根据以上条件写出三个正确的结论（OA=OB=OC=OD除外）： ； ； 。5在同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+70）和90，则x= .图20-76如图20-6，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于 .图20-67如图20-7，在86的网格图（每个小正方形的边长为1个单位长度）中，A的半径为2个单位长度，B的半径为1个单位长度，要使运动的B与静止的A内切，应将B由图示位置向左移动 个单位长度。8如图20-8，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD. （1）求证：BD=CD；图20-8 （2）请判断点B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由。 9已知AB是O的直径，AP是O的切线，A是切点，BP与O交于点C， (a) (b)图20-9（1）如图20-9（a），若AB=2，P=30，求AP得长（结果保留根号）； （2）如图20-9（b），若D为AP的中点，求证：直线CD是：O的切线。10如图20-10，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO,若DE=，DPA=45。图20-10 （1）求O的半径； （2）求图中阴影部分的面积。5
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