等离子体电子工程14粒子流动与密度分布

3.4粒子流动与密度分布341电场和压强导致的流动带电粒了虽然可以在电场的加速作用下增加速度，但是它不断和 其它粒子发生碰撞而损失动量，所以平均来看，粒子是以一定的速度 向某一方向流动。我们把这种运动称为称为电漂移（2.1.1节）。另一 方面，一旦空间内出现压强差，粒子就会产生由高强向低压处的扩散 流动。通常情况温度T是均匀的，所以可近似认为压强梯度Vp = KTn , 这就引起粒子由高密度区域向低密度区域的扩散。为简单起见，在无碰场（B=0）的定常状态（九/d2 0）下，我 们考虑沿X轴方向存在电场E和密度梯度的情况。在运动方程式 （3.14）中，当电荷为q十、流速为II时，有neE-kT- nntvti- 0（3.25）dt这里，质量为m、温度为T等为离子或电子的相应数值，由上 式可得通量的农达式pkT Bnnu= 皿一）E - （一）（3.26）彭少 dt上式右边第一项和第二项分别为电场产生的通量：r = niE(3.27)扩散产生的通量：Td = 3(3.28)其中，它们右边的比例系数分别为迁移率：/= 扩散系数：D = (3.30)mv取这两个系数的比值，就得到爱因斯坦关系式(Einsteinrebtion)-=(3.31)“ e这样一来，电子、离子、中性粒子的迁移率、扩散系数就可以通 过它们各自的质量和温度等参量求的，即fij =e/m.v.、Dj = I叫(J = i、n )o进一步，把公式(3.26)中的通量乘上电荷e就得到电流，由此 可知，即使不存在电场E,压强梯度也导致电流。而由电场E产生的 电流为电子电流与离子电流Z和，所以利用电子和离子的迁移率可以 得到流过等离了体的全电流J = -enjLeE enjE(3.32)由电中性可知ntnt=nQ,因为电子比离子质量轻，移动速度快 所以等离了体电流大部分是由电了运动所构成的。于是, 可将J近似为J-en(elrayt)E=GE ,等离子体电导率7为(3.33)这里，叫为公式（2.26）中的匕“与（2.27）中的厶之和。下面来看公式（3.25）中电子的情况，当电子发生碰撞的次数很 少以致可以认为匕=0或者流速均=0时，左边的第三项就可以忽略不 计。这样，压强梯度产生的力与电场力达到平衡，即心I&“E 使用电位。且考虑到-00/比，可得 dn _ e Q0 n de kT dv(334)将该式对积分可得1血=00/口+常数,假设X=0时M = 7?o、0 = 0 ,则可以得到“加“心 （3.35）这个式子表示了热平衡状态下电子密度分布与电位的关系，被称 为波尔兹曼关系（Boltzmannrelatioi】）。这里，由于电位越低（00） 对电子的排斥力作用越强，所以密度分布呈指数衰减。对于离子而言, 只需将公式（3.35）中的0换成-0即可。但是，在低气压等离子体中, 由于离子不会达到热平衡状态、流速坷ho,所以波尔兹曼关系对离 子是不成立的。3.4.2双极扩散由公式（3.28）可知，电子和离子的扩散通量分别正比于它们的扩散系数，利用公式(3.30)和v=/2 = (ZkTInm2,可求得电子和离子的扩散系数之比2= A (3.36)R *砧A由于弘/叫2x10?, 7； / 7； 10 ,人丨入心4近,所以p 远远大于2。 例如，对于在圆柱型容器中生成的等离子体来说，电子的扩散比离子 快的多，因而先到达容器壁使其带负电c这时，由于离了几乎没有运 动，所以等离子体内部就出现了等量的正电荷空间。也就是说，这会 引起电荷分离。这些正负电荷成对的出现，产生指向容器壁的径向电 场E,于是就形成了抑制电子在容器壁扩散损失的反向通量 2-时。另一方面，如图3.5上部分所示，该径向电场所导致的 离子通量IV会促进离子向容器壁方向流动。这种电场作用最终使得每 秒钟从等离了体流向容器壁的电了通量与离了通量I；相等，从而保 持等离子体的电中性(4勺)。反过来说，电子和离子各自无法做杂 乱无章的自由扩散，而是通过电荷分离形成电场的同时正负电荷又会 等量地从等离子体屮消失，这种现彖的双极扩散(ambipolar difiusion ) o作为一个例子，我们利用有关表达式来分析上述无限长圆柱状等 离子体屮的双极扩散是如何产生的。首先，由等离子体的电中性我们 认为密度nt =ne=n 9在双极扩散屮，径向的离子通量和电子通量 相等(叫=叫),结果离子和电子的径向速度相等,所以有Ut=Ug=U O设径向电场为E,则根据公式（3.26）（3.30）,可得离子和电子的通量nu为离子通量匚：nu = nE-Dt （3.37）dr电子通量: nu = niLtE-Dt （3.38）几一厂e00.2040.60.8位置r/a电子通呈几卜XI极扩敕通圮图3.5双极扩散（由于电子比离子扩散速度快，因此产生了削弱这种趋势的双极电场，最后导致电了和离了以相同的比率消失）把这两式屮的电场E消去，可求得通量双极扩散通量nu = -Da- (3.39)d其中出现的系数(3.40)A +儿被称为双极扩散系数。由于通常“，TtTi ,所以可近似认 为Ddl/KTg,于是有DDaD.。公式(3.39)从形式上看是没 有电场作用而是由扩散形成的通量，其中离子和电子的消失概率是相 同的。另一方面，如果将公式(3.37)和(3.38)中的密度梯度禹心 消去，则可得到电场E (双极电场)的衷达式为出空_也 (3.41)“ + 儿 n dr最后，我们稍微介绍一下恒定磁场对于等离子体的流动和密度分 布的作用效果。对于电了和离了来说，由于沿磁力线方向不受洛伦兹 力的作用，所以沿磁场方向的扩散系数q与无磁场作用时的公式 (3.30)是相同的。但是，由于带电粒子受到洛伦兹力的作用，因此 垂直于磁场方向的扩散系数q会变小，当磁场很强时， Q丄Dn / (coc / v2) o这里，p由第2章的公式(2.10)定义。343等离子体的密度分布下面，我们来求解圆柱状等离子体的径向密度分布函数M厂)。如 前所述，电子和离子服从双极扩散运动，径向的通量枷由公式（3.39） 给出。同时，对于定常状态（为/& = o）的轴对称分布情形，可将连 续性方程式（3.13）屮的V-（nu）在圆柱坐标中农示为-（mu） = v,n（3.42）r Or这里，设气相中的电离生成率为g二曲（岭：电离频率），有关复 合损失的心0。利用双极扩散通量的表达式（3.39）,从公式（3.42） 中消去速度”，可得到下面的扩散方程dn 1k+n = 0dr r dra(3.43)这个方程具有贝塞尔（Bessel）微分方程的形式，在r=0时密度 为有限值心得条件下可求得方程的解为=Vo(7vi/Dz)(3.44)其屮，几为零阶贝塞尔函数。使用管壁i-a处n=0的边界条件, 由于Jo(x) = O的最小根x = 2.41,故有Jvj DaCi = 2.4(3.45)于是，等离了体径向密度分布为n(/) = n0J0(2.41r/fl)，图3.5中的 实线描述了这种分布的形态(我们在3.6.3节中将说明其中虚线的含 义)。对于径向电场E,利用关系D.Dj、和=我们可将公式(3.41)的双极电场写成(346)另一方面，由于E =,故以1=0时0 = 0、n = nQ为初值，将上式对半径r积分就可求得等离子体中的电位0()为处)=一(3.47)由该式可得密度,这与前面出现的波尔兹曼关系式(3.35)是一致的。此外，由于趋近管壁(厂Ta)时“to,所以公 式(3.47)的电位是发散的(0-_s)。并且，朝管壁方向的通量nu 必须连续且为定值，这会导致n TO时速度TS的结果。在3.5节中 我们将看到，这些矛盾是由于在管壁附近电中性(几=耳)条件不成 立和鞘层所造成的。3.4.4屮性粒子的流动此前我们主要阐述了带电粒子（电子、离子）的行为。但是，在 等离子工艺中，中性粒子（不带电荷的分子或基团）也发挥着重要的 作用，因此，下面我们就来考察中性粒子的运动情况。如图3.6所示, 以流量Q血7厶/s向体积为人厶、表面积为刈”的容器通入用于放 电的工作气体，同时用排气速度为SL/s的抽气泵排气。这里，关于 容器中的压强P,在真空技术中有一个常见的关系式浊弋pS （3.48）dt n “这个表达式，可令连续性方程（3.13）的右边为零，然后由放电 容器内的体积积分推得。由上式可知，定常状态（如/力=0）下的压 强?0 = C/STo/to在这种状态下如果突然停止供给气体（Q=0）而继 续排气，则由公式（3.48）可得压强的减小率为H 3）容群（体积匕漁呈Q 圧強P等离子体二A S滞制时间Tt/S（b）奈度分布和边界条件（a）中性粒子的涛动图3.6中性粒子的行为求解公式(3.49)可得呈指数衰减形式的解p(t) = pQe ,并认为 排空容器中的气体所需的时间为Tt = y/s (3.50)这里耳为工作气体从进入容器到被抽出的时间间隔，被称为滞留 时间(residence time)。放电以后，工作气体分子(母体分子)就会在电子碰撞作用下离 解，于是等离了体中就出现了各种基团或离子。由于母体分了的分解, 所以放电过程中等离子体母体分子的分压刃低于放电前的压强必。从 前后压强差，我们定义工作气体的由等离子体导致的离解度为 (P0-A)/Poo在高密度等离子体(弘10“/胪)中，离解度很容易达 到80%以上。而对于放电生成的各种基团的分压巴(丿=2,3,)，由于 活性高，所以有必要考虑气相中的二次反应以及与容器壁发生的表面 反应。对连续性方程(3.13)作体积积分，就可得到关于基团分压耳 的方程V- = G,-L,-spjA-PjS (3.51)其中，为由母气体分了或其他种类的基团在电了碰撞作用下 生成j种类基团的比率。当气相中的二次反应(离子分子反应、基团 基团反应等)显著时，也包含由二次反应生成j种类基团的比率。 D农示j种基团曲电子碰撞发生离解或被电离、以及由基团分子反应 等二次反应而消失的比率。公式(3.51)右边的第3项表示到达容器 壁的基团附着概率（也叫附着系数）S在容器壁农面的损失（也可以 认为是容器壁的排气效果）。公式（3.51）对于不同种类的基团 （“2,3,）均成立，形成了联系各种基团及与带电粒子间的相互作 用的复杂的非线性联立方程组。由于电子和离子到达容器壁后会通过复合而消失，所以可以认为 它们对容器壁的实际附着概率S=1 （全部附着不再返回气相）。但是 对于中性粒子，比如稳定的气体分子到达容器壁后并不发生反应而直 接返回气相，所以通常认为它们的5=0。另一方面，活性集团附着于 容器壁的概率较高。一般来说，当容器壁附着造成的损失较多时，屮 性粒了在容器壁附近的密度减小、密度梯度变大。对于图3.6 （b）所 示的-维问题，令容器壁（x=0）处的密度梯度（勿/必）、密度仓，则 可以得到附着概率s与平均自由程2之间的关系为#dn、 s 3（忑）厂厂7云心该式被称为米尔恩（milne）边界条件。由此可见，s=0时密度梯 度为零，s越人梯度越人。