北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题(共41页)

九年级下册第二章 二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 初中阶段所学函数：一次函数：正比例函数:（是常数，）反比例函数：（是常数，） 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的图像和性质1. 二次函数基本形式：的性质：（1）当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。（2）最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0； 当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质： 左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值5. 的性质二次函数配方成则抛物线的对称轴：x= 顶点坐标：（，）增减性：若a0，则当x时，y随x的增大而增大。若a0，则当x时，y随x的增大而减小。最值：若a0，则当x=时，； 若a0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点；当a0a-b+c0；2a+b=0； 其中正确的结论有（ ） A1个B2个C3个D4个7、点A、B在抛物线的图象上，点A横坐标是1，点B的纵坐标是4，求经过A、B两点的直线解析式。8、抛物线的对称轴是_，顶点坐标是 _ 9、已知二次函数y=，当时，y取得最小值，则这个二次函数的顶点在_A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限10、已知：抛物线y=的顶点在x轴上，试求c的值。拓展提高：已知函数y=的图像上有三个点A（，B，C，则的大小关系是_A、 B、 C、 D、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1已知抛物线过三点，设一般式为yax2bxc2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2k3已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标）， 设两根式：ya(xx1)(xx2) （其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标） 三、用待定系数法求二次函数的解析式例1 已知抛物线经过点A（1，0），B（4，5），C（0，3），求抛物线的解析式练习：已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式例2 已知抛物线顶点为（1，4），且又过点（2，3）求抛物线的解析式练习：已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图像过点（3，2），求这个二次函数的解析式例3 已知抛物线与x轴的两交点为（1，0）和（3，0），且过点（2，3） 求抛物线的解析式练习：已知二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标巩固提高1、下列点不在抛物线上的是_： A. （-2，-9） B. （0，1） C. （1，1） D.（2，-5）2、若点（m，2）在的图象上，则m=_： A. 0 B. 3 C. 0或3 D.-33、二次函数，当x取-2和1时，函数值分别为-14和4，求它的解析式。4、点（-1，0），（3，0）（1，-5）在同一抛物线上，求这抛物线的解析式。5、抛物线与直线交于A、B两点，已知A点横坐标为-1，B点纵坐标为 3，求抛物线的解析式。四、 二次函数与一元二次方程一、学习目标：1懂得求二次函数yax2bxc与x轴、y轴的交点的方法；2知道二次函数中a，b，c以及b24ac对图象的影响二、基本知识练习1求二次函数yx23x4与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标_2二次函数yx23x4的顶点坐标为_，对称轴为_3一元二次方程x23x40的根的判别式_4二次函数yx2bx过点（1，4），则b_5一元二次方程yax2bxc（a0），0时，一元二次方程有_， 0时，一元二次方程有_，0时，一元二次方程_三、知识点应用 1求二次函数yax2bxc与x轴交点（含y0时，则在函数值y0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）例1 求yx22x3与x轴交点坐标 2求二次函数yax2bxc与y轴交点（含x0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标） 例2 求抛物线yx22x3与y轴交点坐标3a、b、c以及b24ac对图象的影响 （1）a决定：开口方向、形状 （2）c决定与y轴的交点为（0，c） （3）b与共同决定b的正负性 （4）b24ac 例3 如图，由图可得：a_0b_0c_0_0 例4 已知二次函数yx2kx9 当k为何值时，对称轴为y轴； 当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； 当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点四、课后练习 1求抛物线y2x27x15与x轴交点坐标_，与y轴的交点坐标为_ 2抛物线y4x22xm的顶点在x轴上，则m_ 3如图：由图可得：a_0b_0c_0b24ac_0五、目标检测1求抛物线yx22x1与y轴的交点坐标为_2若抛物线ymx2x1与x轴有两个交点，求m的范围3如图：由图可得：a _0 b_0 c_0 b24ac_0二次函数的性质：1.表达式：一般式：（）； 顶点式：（） 2.顶点坐标：（，） （，）3.意义：当时，有最小值为；，有最大值为 当时，有最小值为；，有最大值为4.的意义：，图象开口向上；，图象开口向下；说明两函数图象大小形状相同.5.对称轴：；6.对称轴位置分析：，对称轴为轴； ，对称轴在轴的右侧； ，对称轴在轴的左侧；（左同右异）7.增减性：，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大8.与轴的交点为（0，）9.与轴的交点：，有一个交点； ，有两个交点； ，没有交点10.平移：化成顶点式，上加下减：；左加右减：练习：1已知抛物线的图象如图，判断下列式子与0的关系.（填“”“”“”）； ； ； ； ； ； ；2若二次函数（），当取、时，函数的值相等，则当取时，函数值为 .3若（，0）是抛物线与轴的一个交点，则另一交点坐标为 .4已知抛物线求此抛物线与轴的交点、两点的坐标，与轴的交点的坐标.求的面积.在直角坐标系中画出该函数的图象根据图象回答问题：当时，的取值范围？当时，的取值范围？当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；巩固提高1已知二次函数的图象的开口方向向上，则的取值范围为（ ）A B C D2.二次函数的图象如图，则下列结论错误的是（ ）A B C D3.将二次函数向右平移2个单位，在向下平移3个单位得到的二次函数的解析式为（ ）A B C D4二次函数，当时，有最大值为5，则下列结论错误的是（ ）A B顶点坐标为（，5） C对称轴为直线 D5.抛物线的对称轴为直线，则下列结论一定正确的是（ ）A B C D6.下列点在二次函数的图象上的是（ ）A（1，） B（，） C（，） D（0，4）7.二次函数与的图象关于轴对称，则与的关系为（ ）A相等 B互为相反数 C互为倒数 D相等或互为相反数8.已知点（2，）与点（3，）在二次函数的图象上，则与的关系为（ ）A B C D无法判断9.已知二次函数的图象如图.请你写出一元二次方程的根；请你写出不等式的解集；请你再写出3条从图象中得出的结论.10.已知二次函数.求该抛物线的顶点坐标和对称轴；通过列表、描点画出该函数图象；求该图象与坐标轴的交点坐标.11某商店经销一种销售成本为每千克40元的农产品，所市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减小10千克，设每千克农产品的销售价格为（元），月销售总利润为（元）.求与的函数关系式；当销售价定为多少元时，月获利最大，最大利润是多少？五、二次函数的应用几何问题例1、一直角三角形的两直角边之和是20cm，求它的最大面积。练习1、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h30t5t2小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？练习2、如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，ACBD10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？练习3一块三角形废料如图所示，A30，C90，AB12用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？利润问题例2、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出120个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获取最大利润，应降价多少元？练习1、某商店经销成本为每千克40元的水产品，据市场分析：若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为x元，月销售利润为y元，求y与x 的函数关系式；（3）商店想在销售成本不超过10000元的前提下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？练习2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价：如果每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利最多？练习3、蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份）123456市场售价P（元/千克）10.597.564.53 这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？ （收益市场售价种植成本）练习4某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？建立直角坐标系解决实际问题例1有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4米若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？练习1、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式 （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？练习2、如图，某建筑物的大门是抛物线形水泥结构，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，求该拱形门的高度。（水泥厚度不计） 练习3、如图，二次函数y=-mx2+4m的图象的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴围成的图形内。（1）求二次函数的解析式；（2）设点A的坐标为（x,y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？证明你的结论。