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第二章2.2抛物线的简单性质,第2课时抛物线简单性质的应用,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.进一步认识抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系与公共点个数,2.直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0时，直线与抛物线 公共点.当k0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.,两,一,没有,平行或重合,一,1.若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切.() 2.直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB| |x1x2|x1x2p.() 3.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一直线与抛物线的位置关系,例1已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？,消去y得k2x2(2k24)xk20， (2k24)24k416(1k2). (1)若直线与抛物线有两个交点， 则k20且0， 即k20且16(1k2)0， 解得k(1,0)(0,1). 所以当k(1,0)(0,1)时， 直线l和抛物线C有两个交点.,(2)若直线与抛物线有一个交点， 则k20或当k20时，0， 解得k0或k1. 所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点. (3)若直线与抛物线无交点， 则k20且1或k1或k1时， 直线l和抛物线C无交点.,反思感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.,跟踪训练1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是,解析准线方程为x2，Q(2,0). 设l：yk(x2)，,得k2x24(k22)x4k20. 当k0时，x0，即交点为(0,0)； 当k0时，由0，得1k0或0k1， 综上，k的取值范围是1,1.,题型二弦长与中点弦问题,例2已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.,解方法一由题意易知直线方程的斜率存在，,得ky26y24k60. 当k0时，y1，显然不成立. 当k0时，624k(24k6)0. 设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,P1P2的中点为(4,1)，,所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110， y1y22，y1y222，,方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,所求直线的斜率k3， 故所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110.,y1y22，y1y222，,反思感悟中点弦问题解题策略两方法,跟踪训练2已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3 ，求此抛物线的方程.,解设所求抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由(a16)22560，得a0或a32.,a4或a36，满足0. 所求抛物线方程为y24x或y236x.,题型三抛物线中的定点(定值)问题,例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,因为OAOB，所以kOAkOB1， 所以x1x2y1y20.,因为y10，y20， 所以y1y24p2， 所以x1x24p2.,(2)求证：直线AB过定点.,所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，,即直线AB过定点(2p,0).,反思感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.,跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.,证明设kABk(k0). 直线AB，AC的倾斜角互补， kACk(k0)， 即直线AB的方程是yk(x4)2.,消去y后，整理得k2x2(8k24k)x16k216k40. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，,直线BC的斜率为定值.,3,达标检测,PART THREE,1.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.4条 B.3条 C.2条 D.1条,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点. 当斜率存在时，设直线为ykx1.,得k2x2(2k1)x10， 当k0时，符合题意； 当k0时，令(2k1)24k20，,与抛物线只有一个交点的直线共有3条.,2.若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2 ，则抛物线的焦点到直线AB的距离为,1,2,3,4,5,3.直线yxb交抛物线y x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OAOB，则b 的值为 A.1 B.0 C.1 D.2,解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将yxb代入y x2， 化简可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b， 所以y1y2x1x2b(x1x2)b2b2. 又OAOB，所以x1x2y1y20， 即2bb20，则b2或b0， 经检验当b0时，不符合题意，故b2.,1,2,3,4,5,4.过M(2,0)作斜率为1的直线l交抛物线y24x于A，B两点，则|AB|_.,解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知l的方程为yx2，与y24x联立得， x28x40，则x1x28，x1x24，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,所以A(1，2).,课堂小结,KETANGXIAOJIE,求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.,
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