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一、点估计,1、矩估计,设X 服从某分布，但其分布中有未知,参数 ，可通过随机抽取的样本来得出,由于 X 服从某分布，则可计算出,随机抽取总体 X 的样本 ，,的估计量 。,令,这样便可得到 的估计量 。,例1 设 ，,解,为总体X的样本，求 的矩估计量,令,得,所以 的矩估计量,例2 设,为总体X的样本，,求 的矩估计量,解,令,得,所以 的矩估计量,练习 设,为总体X的样本，,求 的矩估计量,解,所以 的矩估计量,2、最大似然估计,设离散型总体X 的概率分布律为：,为总体X的样本，,为未知参数，,构造似然函数为：,设连续型总体X 的概率密度函数为：,为总体X的样本，,为未知参数，,此时的似然函数为：,使得似然函数最大的 的值,就是 的估计值，称为最大似然,估计量 。,下面求似然函数的最大值：,先取对数,再对 求偏导数，进而解方程组,解出的唯一驻点就是,最大似然估计量 。,取对数,最大似然估计量,例3 求泊松分布中参数 的最大似然估计。,解,为总体X的样本，,例4,取对数,最大似然估计量,解,为总体X的样本，求 的最大似然估计量。,3、点估计优劣的评价标准,（1）无偏性；（2）有效性；（3）一致性,（1）无偏性,设 为未知参数 的估计量，若,则 称为参数 的无偏估计量。,事实上， 的无偏估计量 的直观意义就是多 次独立的用 去估计 ，平均下来与 的值相 差无几。,解,例5 若总体 的数学期望为 ，则下面,哪些是 的无偏估计量。,都是 的无偏估计。,（2）有效性,设 均为未知参数 的无偏估计量，若,则称 是较 更有效的估计量。,例6 若总体 的数学期望为 ，方差为,，则下面的无偏估计量哪个更有效。,解,同理,二、区间估计,设X 服从某分布，但其分布中有未知,参数 ，可通过随机抽取的样本来估计,的取值范围 ，并给出 落在此范围,的概率，称为区间估计；即：给定,需找出 的区间,此区间称为置信区间， 称为置信度。,置信区间反映了估计的精确程度，而置信度 则反映了估计的可靠程度。,(1)总体方差已知,1、正态总体均值 的区间估计,为总体X的样本，下面求给定,置信度为 时 的置信区间。,由,得,于是,化简得,故 的置信区间为,解,查表得,为总体X的样本， ，求置信度,为 和 时 的置信区间。,故 的置信区间为,查表得,故 的置信区间为,(2)总体方差未知,为总体X的样本，下面求给定,置信度为 时 的置信区间。,由,得,于是,先算出样本均值 和样本方差,化简得,故 的置信区间为,为总体X的样本，,求置信度为 时 的置信区间。,解,查表得,故 的置信区间为,
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