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,第二章 随机变量及其分布,5 随机变量函数的分布,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，,求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等.,设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,Y 的可能值为,即 0, 1, 4.,解,例1,一 离散型随机变量函数的分布,故 Y 的分布律为,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为,X,则 Y=g(X),设 r.v. X 的分布律为,Y=g(X) 的概率分布为,例2 已知 X 的概率分布为,其中 p + q = 1, 0 p 1,求 Y = Sin X 的概率分布,解,故 Y 的概率分布为,二、连续型随机变量函数的分布,解：第一步 先求Y=2X+8 的分布函数。 设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),第二步 由分布函数求概率密度，于是Y 的密度函数,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,例4 已知 X 的 概率密度为,为常数，且 a 0, 求 fY ( y ),解,当a 0 时，,当a 0 时，,故,例如 设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ,则,例5 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),解 先求分布函数,y,当 y 0 时，,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,故,从上述例子中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X,从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,用 代替 X2 y ,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,特殊方法 当 y=g(x) 是单调函数,定理 若随机变量 X具有概率密度 fX(x)，其在(a, b)上取非零值，又 y =g (x) 是严格单调的可导函数，则Y =g (X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中 x = h(y) 是 y =g(x) 的反函数，(，)是 y =g(x), a x b 的值域。,推广定理,例6 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取 绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,解,例7,例8 设 X 的概率密度为,解,故当 y 0 或 y 1 时,f Y (y) = 0,由图可知, Y 的取 值范围为(0,1),当0 y 1 时,故,作业 34，35,
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