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2010年全国研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若，则a等于（C）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【解析】=，因此=2（2）设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数，（A）（）（）（），（），【解析】根据已知有。于是将分别代入方程左边得+为方程解，为齐次方程解，解得（）设函数，具有二阶导数，且，若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是（B）（）（）（）（）【解析】根据已知得，。因此=，故要想为的极大值点，只需0, 0）为概率密度，则，应满足（A）（A）2+3=4 （B）3+2=4（C）+=1 （D）+=2【解析】根据密度函数的性质，=+=，因此2+3=4二、填空题：第914小题，每小题4分，共24分。（9）设可导函数由方程=确定，则=【解析】=两边对x求导得=.代入得=（10）设位于曲线下方，轴上方的无界区域为G，则G绕轴旋转一周所得空间区域的体积为【解析】体积=（11）设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中p为价格，且，则=【解析】由已知条件有，即=，两边同时积分有，即所以有，再由条件，代入，得C=，所以=（12）若曲线有拐点（-1,0），则=【解析】根据条件得，其中。于是得到方程，解得（13）设A，B为3阶矩阵，且，=2，则【解析】因为，所以=3（14）设是来自总体的简单随机样本，记统计量，则=【解析】，因此=三、解答题：第1523小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）求极限【解析】=1（16）（本题满分10分）计算二重积分其中D由曲线与直线及围成【解析】该区域D关于轴对称，令区域D在第一象限的区域为=2=则有=2=（17）（本题满分10分）求函数在约束条件下的最大值和最小值【解析】令，构造辅助函数，解下列方程组：=+=0=+=0=+=0=解得当时点和点时点和点将得到的4个点代入中可得：=，=，=可知函数在条件下的最大值和最小值分别为、（18）（本题满分10分）（）比较与的大小，说明理由；（）记，求极限【解析】（）由题意可知积分区域相同，比较两式的大小只需要比较被积函数在区域内的大小即可，即比较和的大小在（0,1）区间上0所以上边两式变为，令=（）因为=+又因为=0，所以=0由夹逼定理可知0=所以=0（19）（本题满分11分）设函数在内连续，在内存在二阶导数，且。（I）证明：存在，使得；（II）证明：存在，使得。【解析】（I）设，则根据拉格朗日中值定理，存在，使即。由题设知，故（II）介于在上的最大最小值之间，根据连续函数的介值定理，存在。由题设知，故。由于，且，根据罗尔定理，存在，使，从而存在，使得（20）（本题满分11分）设，已知线性方程组存在两个不同的解。（I）求，； （II）求的通解。【解析】（I）设为的2个不同的解，则是的一个非零解，故。于是或当时，因为，所以无解，舍去当时，对的增广矩阵施以初等行变化因为有解，所以（II）当，时，所以的通解为，其中为任意常数。（21）（本题满分11分）设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第一列为，求，。【解析】由题设，为的一个特征向量，于是，解得。由于的特征多项式，所以的特征值为，属于特征值的一个单位特征向量为；属于特征值的一个单位特征向量为令，则有，故为所求矩阵（22）（本题满分11分） 设二维随机变量的联合密度函数为，。求及。【解析与点评】先考虑的边缘密度，由公式知，这里及恰好为正态分布以及的密度函数，故。又由于当时，有，（23）（本题满分11分）箱内有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个，现从箱中随机取出2个球，设为取出的红球个数，为取出的白球个数。（I）求随机变量的概率分布； （II）求。【解析】（I）由于的可能取值为，的可能取值为，。 所以，可能的取值有6个，其相应的概率为，所以的联合分布为（II）,而，所以
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