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第十节 闭区间上连续函数的性质,定理1(最值定理),设函数 f(x)闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上一定有最大值和最小值.,即,一、有界性与最大值最小值定理,使得,有,推论(有界性定理),若 f(x)闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上有界.,注意: 若区间是开区间, 定理不一定成立;,定理2 (零点定理),且f(a)f(b)0,则至少存在一点(a,b),使f()=0,设函数f(x)在闭区间a,b上连续,二、零点定理与介值定理,例1 证明方程 在区间(0,1)内,证 令,由零点定理,至少有一个实根。,则f(x)在0,1上连续。,使,即,故方程 在区间(0,1)内,至少有一个实根。,例2 设函数 f(x)闭区间a,b上连续,且 f(a)a ,且 f(b)b ,证明至少存在一点(a,b),使,f()=,证 令,由零点定理,则F(x)在a,b上连续。,使,即,定理2 (介值定理),且f(a)=A,且f(b)=B,AB,则对于A与B之间的任一个数C，,则至少存在一点(a,b),使f()=C.,证 设,设函数 f(x)闭区间a,b上连续,则 在a,b上连续,证：记 f(x1) = M, f(x2) = m, x1, x2a,b, 不妨设x1 x2,推论 设 f(x)在a,b上连续, 其最大值为M最小值为m， m C M，,则至少存在一点(a,b), 使f()=C.,则 f(x) 在x1, x2上连续， 又f(x2) C f(x1),至少存在一点(x1, x2),使f()=C.,故至少存在一点(a,b), 使f()=C.,例3 设 f(x)在a,b上连续, a x1 x2 x3 b,证明在(x1, x3)内至少存在一点，使,证 f(x)在a,b上连续, 故在x1, x3上连续.,记 f(x)在x1, x3的最大值为M最小值为m，,（1）若,则由推论知：在(x1, x3)内至少存在一点，使,（1）若,则,则,成立,（2）同理可证当 时，,结论成立。,
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