高三数学应用题专题复习

高三数学应用题专题复习一、应用题解题步骤（1）读题：阅读理解题目的文字表达，分清条件和结论，理清数量关系，因果关系；（2）建模：将文字内容转化为数学语言，选择合理的数学模型，利用相关的数学知识转化题目内容；（3）解题：利用相关的数学理论，求解所建数学模型的合理解，注意实际问题对数学模型的条件限制；（4）答题：将通过数学模型求出的答案转化为实际问题的结论。二、应用题常建数学模型（1）优化问题：实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决；（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决；（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值；（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决；（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决。三、常见题型回顾1通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知： （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？2某公司试销一种成本单价为500元件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元件经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元件）之间近似于如图所示的一次函数ykxb的关系（1）根据图象，求一次函数ykxb的解析式；（2）设公司获得毛利润（毛利润销售总价成本总价）为S元 试用销售单价x表示毛利润S 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？3某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（十万元）012y11.51.8（1）求y与之间的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10 30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？4为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000m2的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC、CD、DE，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10m长的防护砖墙AB、EF，若当BC的长为xm时，所砌砖墙的总长度为ym，且在计算时，不计砖墙的厚度，求（1）y关于x的函数解析式y=f(x);（2）若BC的长不得超过40m，则当BC为何值时，y有最 小值，并求出这个最小值.5已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A炮击的方位角。6某观测站C在城A的南20西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？7制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50，可能的最大亏损率分别为30和10. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？8某县与沙漠化进行长期的斗争 全县面积为 p， 2002 年底绿化率达 ，从 2003 年开始，每年绿化原有沙漠面积的 ，但与此同时，原有绿化面积的 被沙化 设2002 年底的绿化面积为 a1，经过 n 年后的绿化面积为 an+1 (I) 求2003年底的绿化面积(II ) 经过多少年后，绿化率达?9为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：贷款期(年数)公积金贷款月利率()商业性贷款月利率()11121314154.3654.4554.5454.6354.7255.0255.0255.0255.0255.025汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.0044551441.8966，1.0050251442.0581，1.0050251802.4651)参考答案1解：（1）当，是增函数，且；，是减函数，且.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.（2），故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.当时，；当， （3）令，则学生注意力在180以上所持续的时间28.574=24.5724，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.2分析：（1）本题把一次函数、二次函数及其有关计算问题赋予实际意义，把市场经济引进初中数学观察图象可知，直线ykxb经过（600，400）、（700，300）两点，利用待定系数法即可求出其解析式；（2）根据公式“毛利润销售总价成本总价”，得Sxy500y（2）本题的解答要实现由一次函数向二次函数的转化，即要灵活运用一次函数和二次函数的有关知识，并要考虑题设中对单价的限制，把求得的值代入检验，看是否符合要求解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入ykxb，得解得 yx1000，其中x的取值范围是500x800（2） Sxy500yx（x1000）500（x1000），即Sx21500x500000（500x800） Sx21500x500000（x750）262500当x750时，S最大值62500此时yx10007501000250（件）故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件3解：（1）设二次函数的解析式为yax2bxc 由关系表，得 解得函数的解析式为yx2x+1（2）根据题意，得（3）故当年广告费为10 25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大4解：（1）（2）令得因此在（0，40内递减，故y的最小值为f(40)=225m, x=40m.5分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），据题设，得B(-3,0), A(3,0), C(-5, 2)且动物P(x,y)在BC的中垂线l上，BC中点M的坐标为(-4,)， kBC=-. l的方程为y-=(x+4)即：y=(x+7).又 |PB|-|PA|=4(公里) P又在以B，A为焦点的双曲线右支上。双曲线方程为=1 (x2).由消去y得 11x2-56x-256=0，解的x1=-(舍去)， x2=8。 P点坐标为(8,5), 于是tgxAP=kAP=, xAP=60, 故舰A炮击的方位角为北偏东30。6解：根据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，CAB=60设ACD = ，CDB = 在CDB中，由余弦定理得：，在ACD中，由正弦定理得：此人还得走15千米到达A城说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之7解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.由题意知目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线，并作平行于直线的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和的交点.解方程组 得x=4，y=6此时（万元）. 当x=4，y=6时z取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.说明：本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。8解：(I ) 已知a1 = p，a2 = a1 (1)+( pa1)=a1 +p =p，2003年底的绿化面积为p；(II ) an+1 = an (1)+( pan)= an +p ， (n N*)(an+1p)= (anp) (an+1p)= (a1p) ( )nan+1 = pp () npp ( ) n p ( ) n n5 五年后绿化率达9 解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月第1月末欠款数A(1r)a第2月末欠款数A(1r)a(1r)a A(1r)2a (1r)a 第3月末欠款数A(1r)2a (1r)a(1r)aA(1r)3a (1r)2a(1r)a第n月末欠款数 得：对于12年期的10万元贷款，n144，r4.455对于15年期的15万元贷款，n180，r5.025由此可知，汪先生家前12年每月还款942.371268.222210.59元，后3年每月还款1268.22元