机械振动 课后习题和答案第二章 习题和答案

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为，弹簧刚度为，则：，即：取系统静平衡位置为原点，系统运动方程为： （参考教材P14）解得：2.2 弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解：由题可知：弹簧的静伸长所以：取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：其中，初始条件： （参考教材P14）所以系统的响应为：弹簧力为：因此：振幅为0.2m、周期为、弹簧力最大值为1N。2.3 重物悬挂在刚度为的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物从高度为处自由落到上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。解：取系统的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当有位移时，系统有：由可知：即：系统的初始条件为： （能量守恒得：）因此系统的响应为：其中:即：2.4 一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧约束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时，则当有转角时，系统有：由可知：即： （rad/s）2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。2.6 求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且。解：取的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当有位移时，系统有： （其中：）由可知：即：（rad/s）， （s）2.7 如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。解：设物体重量，摆角坐标如图所示，逆时针为正，当系统有摆角时，则： 设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：，即：记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为，则：（或者理解为：，转动和平动的动能）由可知：即：（rad/s） 2.8 横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。解：建立如图所示坐标系，系统平衡时，由牛顿第二定律得：，即：有初始条件为：所以浮子的响应为：2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。解：两轮的质量分别为，因此轮的半径比为：由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：取系统静平衡时，则有： 由可知：即：（rad/s）， （s） 2.10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时，则当轮子有转角时，系统有： 由可知：即：（rad/s），故 （s）2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T，如果在m上附加一个质量m1，则弹簧的静伸长增加，求当地的重力加速度。解：2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。 解：取系统的摆角为坐标，静平衡时（a）若不计杆重，系统作微振动，则有： 由可知：即：（rad/s）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： 由可知：即：（rad/s）（b）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： 即：（rad/s）（c）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： 即：（rad/s）2.13 求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。答案：系统的运动微分方程2.14 一台电机重470N，转速为1430rmin，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI1.66105Nm2。(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为r的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。 wL3/(3EI)2.16 求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。解：假设U形管内液柱长，截面积为，密度为，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降时，有： 由可知：即： （rad/s），（s）217 水箱l与2的水平截面面积分别为A1、A2，底部用截面为A0的细管连接。求液面上下振动的固有频率。解：设液体密度为，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降时，右边液面上升，液体在水箱l与2和细管中的速度分别为，则有： （由于：） 由可知：即： （rad/s）2.18 如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明：并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=m2Av)。2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示，(式中xn是经过n个循环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解：设系统阻尼自由振动的响应为；时刻的位移为；时刻的位移为；则：所以有：，即：当振幅衰减到50%时，即：1)当 时，；要11个循环；2)当 时，；要2个循环；3)当 时，；要1个循环；2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为k1=1.02105Nm，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?2.21 重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：系统的阻尼比 ：系统不振动条件为：，即：物体在平衡位置以初速度开始运动，即初始条件为：此时系统的响应为：（可参考教材P22）1)当时：其中：2) 当时：，其中：即：3) 当时：其中：，即：2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105Nm的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m，试求：炮管初始后座速度；减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)；炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。2.23 设系统阻尼比，试按比例画出在0.5、1.0、2.0三种情况下微分方程的向量关系图。2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当、=5rad/s时系统的品质因子和带宽。2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数，v是运动速度)，激励为，当即共振时，测得振动的振幅为X，求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A，求此时的F0。2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为(N)，系统在周期T0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。解：由时共振可知，系统固有频率为：当时，已知响应振幅：，（参教材P30）所以： 2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数。2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即求其等效阻尼系数和共振时的振幅。解：实际上，这是一种低粘度流体阻尼。设系统的运动为：2.292.29 2.30 KGl电动机重P，装在弹性基础上，静下沉量为d。当转速为nrmin时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值，不计阻尼。2.31 电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度d。转子重Q，偏心距为e。试求当转速为w时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。图 T2.322.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T2.32)，并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为，因而系统固有频率，但因kT不能精确计算，必须用试验测定。为此固定升降舵，利用弹簧k2对调整片做简谐激励，并用弹簧k1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率。试以和试验装置的参数来表示调整片的固有频率。解：设调整片的转角为，系统的微分方程为：系统的共振频率为：因此：调整片的固有频率为：2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。解：由题目2.33 2.33 2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T2.34)，x=asinwt。试求在微幅的强迫振动中偏角q的变化规律。已知摆长为L，摆锤质量为m。2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率16002200r/min范围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少?2.36 试从式(2.95)证明：1. 无论阻尼比取何值，在频率比时，恒有XA。2. 在，X/A随增大而减小，而在，X/A随增大而增大。 2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz，阻尼比z=0.65。试估计所能测量的最低频率，设要求误差1，2。2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振动，测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?2.39 一振动记录仪的固有频率为fn3.0Hz，阻尼比z=0.50。用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为x=2.05sin4pt+1.0sin8pt (cm)证明：振动记录仪的振动z将为z1.03sin(4pt-500)+1.15sin(8pt-1200)(cm)2.40 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。解：ab C 2.41 求图T2.41所示系统的传递函数，这里激励是x3(t)。2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300的光滑斜面下滑，如图所示。求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。解：弹簧接触墙壁时，的速度为：以接触时m的位置为原点，斜下方为正，则m的微分方程为：考虑到系统的初始条件：，采用卷积分计算系统的响应为： 其中：当m与墙壁脱离时应有故由：可得到：也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。2.43 一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图所示。用叠加原理求tt0后的响应。2.44 如图T2.44所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的锯齿波，求系统的稳态响应。2.45 证明式(2.136)，即卷积积分满足交换律