XXXX数学建模 汽车修理问题

数学建模第二次模拟题号:C1组号:152组 MM HML组员：贺霆、米占通、李蕾摘要由于汽车维修中心资源安排的不合理，一方面使得维修中心成本较高,另一方面浪费了顾客大量的时间 .本文首先建立排队论模型，求得在模型中p0、w、Lq等相关指标;然后从费用的角度考虑再建立排队优化模型，得到人员与设备的最佳安排方案;其次,又建立一个区间估计模型来解决服务车辆完成服务的时间区间，最后综合考虑维修机构的服务成本和顾客满意度分别赋权0.7和0.3建立模型，进一步改善服务台的配置。问题一，要考虑工作台的利用率即求服务系统的工作强度。首先，通过对数据的处理利用检验得到服务系统的输入过程服从泊松分布,服务时间服从负指数分布,在根据题目中的已知条件可知该排队论的类型为M/M/3/N/FCFS。假设维修机构每天8小时工作制，根据处理的数据可得单位时间顾客到达数和单位时间服务完的顾客数，由 可求得服务台的利用率为0.8310.问题二，在汽车维修系统中,由于系统的服务台是有限的s=3，所以当需要维修的车辆大于3时，来的车辆就需排队等候.通过该类型排队论的相关指标以及ite公式，就可以求的汽车排队候修的概率以及等待修理和正在修理的平均水平，候修概率为： 平均等待的顾客数;正接受服务 的平均顾客数问题三，通过排队论优化模型建立费用函数 而利用率随工作每天台服务时间t变动 最后得到关于t的函数求出极小值为最小服务成本89.(元）对应的每个服务台每天运行时间为:4(小时）问题四:要求修车员在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间，可找到一个置信度为5的置信区间，建立满足一定置信度的统计预测模型,利用参数的区间估计方法，根据所给数据，对修理完成的时间区间进行预测。 问题五:我们提出了改进的建议和新建模型综合考虑顾客满意度和服务成本分配权重为07(满意度）和3（服务成本)建立目标函数 并求出最小值为 18（元） 问题重述汽车修理是一个随机服务系统，服务对象是各种不同类型汽车，也可以说是这些车辆的拥有者或驾驶员，统称为顾客， 服务机构是汽车维修中心或汽车修理点,称为服务员或服务台。 该汽车修理点有三个工作台,共有九个维修技术工人。修理点的排队规则为顾客到达服务机构时，若所有服务台都被占用，则按先后次序单列排队等候服务.服务规则为先到先服务， 即按到达的先后次序接受服务。该维修点有九名维修技术工人、三个工作台, 根据以往经验,每个服务台每天的服务成本主要包括以下几项: （1）工资00元,（2）餐费0元，（3）房租5元，（4）水电费8元，（）税收4元， （6）设备折旧费26元，（7）上缴费用00元，（8）设备维修费13元，（9)交通、洗涤、易损工具费等26元. 顾客等待费用的确定比较困难，它包括停车损失、顾客等待时间长而无法返回的食宿费、车旅费等，由于各种大小车辆的停车损失不同，顾客离修理点的距离远近不同,但据调查，因汽车故障而造成停车的损失费平均不低于100元台天。问题一:通过计算工作台的利用率并分析结果。问题二：计算汽车需排队候修的可能性,以及等待修理与正在修理的汽车平均水平,并给出你的建议。问题三：从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。问题四:作为等待修车的驾驶员，自然希望尽早知道自己大约何时能修理完毕.能否根据修理汽车的统计情况,在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间。问题五：是否还有其他比较好的改进或者管理建议？ 问题分析排队服务系统简介：排队论中常用来衡量服务机构服务水平或强度的数量指标有: 顾客平均到达率；2 每个工作台的平均服务率；3 - 系统的服务强度(服务机构的平均利用率)；- 汽车修理点系统的最大容量；5 - 汽车修理点系统的空闲率；6- 汽车修理点系统的状态概率;7 -顾客平均等待时间； - 在汽车维修中心的汽车数量的平均水平,即队长； -正在等待修理的汽车数量平均水平,即队列长；0 -为正在接受汽车修理服务的顾客数;11 -汽车维修点的服务台数此处为（s=3）根据排队论的相关公式进行统计推断，根据资料建立模型；分析系统处于平衡状态的性态,求出与排队有关的数量指标;同时可以处理第四问的服务系统费用的优化而进行的人员和设备配置问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益. 通过检验法的到顾客输入流服从Pon分布和服务时间服从负指数分布此根据题目要求可以建立一个先到先服务FCFS 系统容量有限制的多服务台混合制等待模型(M/M/3/N/）从而根据先到先服务 F 系统容量有限制的多服务台混合制等待模型（M/M3/N/）的经验公式求出汽车维修点的各种数量指标来衡量该汽车维修点的服务效率问题一要求计算工作台的利用率,即的值。问题二要求汽车需排队候修的可能性, 以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，即求顾客来到维修点需要排队等待的概率由下面公式： 可得等候概率为 问题三属于排队系统最优化问题.汽车修理点每天的费用由三部分组成:(1）单位时间支付所有维修人员和与时间相关的服务台的服务费（含餐费）（2）按天计算的每天固定费用费（3）所有顾客在系统中停留单位时间造成的费用即等待费用。得费用（单位时间)其中t是每天每个工作台服务的时间：以小时为单位；以费用函数为主要优化目标，得出总费用的函数关系模型，求其取最极小值,该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。即最优服务台数和每个工作台每天提供服务的时间以及每位工人每天需要工作的时间。问题四要求修车员在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间,可找到一个置信度为5%的置信区间，建立满足一定置信度的统计预测模型，利用参数的区间估计方法，根据所给数据，对修理完成的时间区间进行预测。 3。 模型假设1、假设汽车维修点一天工作8小时制;、假设汽车服务系统的服务容量为6;3、不考虑修车技术的限制,修理设备无故障. 4、汽车在修好后观察结束后均可正常离开,不再占用服务台资源;5、服务人员的服务质量不因服务人员的态度而改变，不影响汽车等待时间.6、需要维修的汽车来源是无限的. 4、符号说明1 - 顾客平均到达率；2 每个工作台的平均服务率;3 -系统的服务强度（服务机构的平均利用率）；4 - 汽车修理点系统的最大容量；5 - 汽车修理点系统的空闲率； - 汽车修理点系统的状态概率；7 -顾客平均等待时间;8 -等待修理的汽车平均水平,即队长;9 正在修理的汽车平均水平，即队列长；10 -为正在接受汽车修理服务的顾客数 问题一：先根据下表：做统计检验法 分析得到输入流泊松分布和服务时间服从负指数分布各月份维修中心共提供服务数量（辆)表 年月日期2008年09年8月9月10月11月2月1月2月3月月5月6月7月360天服务总数（辆）277627626029352626262602820辆平均每天服务数(辆）898。8.98.7。9。1。7。8。68.9辆/天检验法是在总体X 的分布未知时,根据来自总体的样本,检验关于总体分布的假设的一种检验方法。 分布拟合的 检验法 的基本原理和步骤如下:1. 将总体X的取值范围分成个互不重迭的小区间，记作2. 把落入第i个小区间的样本值的个数记作 , 称为实测频数。 所有实测频数之和等于样本容量n. 根据图表得知n32403. 根据所假设的理论分布，可以算出总体X的值落入每个的概率,于是n就是落入的样本值的理论频数4. 标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小。5皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异：、 在理论分布F(x)完全给定的情况下，每个都是确定的常数 由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，实测频数 渐近正态,因此:是k个近似正态的变量的平方和这些变量之间存在着一个制约关系:故统计量渐近（k-1)个自由度的分布根据这个定理，对给定的显著性水平 查分布表可得临界值得拒绝域：（不需估计参数）如果根据所给的样本值 算得统计量的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则就认为差异不显著而接受原假设.皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来的，因而在使用时要注意n要足够大，以及n不太小这两个条件。 根据计算实践,要求n不小于50,以及n都不小于5. 否则应适当合并区间，使n满足这个要求。现在假设：顾客到达时间间隔满足泊松分布，那么到达时间间隔满足负指数分布，其概率分布函数服从负指数分布。假设到达时间间隔服从期望值等于的指数分布,(=9为平均到达率）那么概率分布函数则为记 :总体X的分布函数为：; :总体X的分布函数不是；将数轴分为12个区间，在成立的条件下，计算总体频率；顾客到达规律：Poson过程时间段t内到达的顾客数 k的概率为 ，其中k=0,，2,3 给定显著性水平,可以得到拒绝域： 计算的观测值，如果就拒绝，否则就接受.通过对题目给定的统计资料进行检验得知顾客输入流是服从oso分布类似的服务时间分布服从负指数分布：且求得=133mi/辆（每辆汽车平均接受服务的时间）将的单位转化为天可得到 汽车修理时间与顾客数的关系直方图 问题二： 基于arov生灭过程0321： 0 1 2 n-2 1 n-1n+1nn-2-2 2 3 1 n n+1M/MN/基本模型的建立系统状态(稳态）的平衡方程为（1）其中，且。;由递推关系可以求得系统状态概率为 ()（3）相应的,系统的运行指标为系统的队长, (4）正在接受服务的顾客数 （5）平均逗留时间, (6)平均等待时间， （)系统的排队长 (）其中,顾客等待的概率:为了计算方便，我们约定N取值6，s=3，由（2）式可得(4）再将（4）代入（3）可得：0。1708 所以可求得：顾客等待的概率：等待修理的汽车的平均水平即排队长：即正在修理的汽车平均水平为=6即 问题三:系统费用模型的建立通常所说的费用是指服务机构的服务费用和顾客的等待费用，一般说来，提高服务机构的服务水平(即增加了服务机构的成本）,自然会降低顾客的等待费用(损失),最优化的目标之一是使二者费用之和最小，另一个目标是使服务机构的纯收入（利润）为最大，如图5-5所示。 费用与服务水平关系图顾客的等待损失费对于某一确定顾客，其等待损失费为等待一个单位时间的费用与等待队长的期望值乘积。等待一个单位时间损失的费用为定值(比如可以用顾客平均一天的工资来衡量),顾客的满意度可以通过顾客在服务系统花费的总费用来计算，即包含服务费用和顾客的等待损失费，由于该费用可归为只与顾客平均等待时间有关，因此通过平均等待时间的大小便可反映出顾客满意度大小 ，(0）;这里我们假定=12/人.小时.台 每天每个工作台服务时间为小时为了便于管理和公平起见 假设每个维修工人的维修技术都相同,每天工资相同，假设每个工作台平均分配三个维修工人. 工人工资按天计算;=（工资300元+ 设备折旧费2元+设备维修费13元)/=.375每天每个工作台固定费用(按天计算）：餐费3元房租54元+水电费38元税收45元上缴费用100元+交通、洗涤、易损工具费等2元=293（元）; 此时; 把: 代入到目标函数即可用ATLAB编程算出费用函数的极小值: 维修中心每天最小服务成本891（元）,以及假设3个服务台同时运行时每天只需要提供的服务时间为t为：（小时） 问题四：模型的分析由模型一可知,汽车修理服务时间满足了负指数分布.要根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间,只要求出在一定置信水平下，修车所需要真正时间的所在范围，这样的范围以区间形式给出，即是所谓的置信区间。与未知参数的点估计相比,区间估计有着明显的优势；它不仅给出了参数真值所在的范围,还给出了该范围包含真值的可信程度。模型的建立与求解:根据题目设服务时间这个总体其中，是取自X的样本。则由统计学的知识可得，并且分布不依赖于任何未知参数.设定 利用表二的数据可得 （12）得到的置信区间 （13）其中在附表二汽车修理服务时间记录表中,由于样本容量充分大则有 （4)代入数据并计算可得由 ()其中,得到在可信度为09时,服务台修理汽车大致修理完成时间区间为1小时46in，2小时28mi 问题五：根据第三问可知：在维修中心的平均顾客数为2。24（台)这和0310是对应的,验证了此模型的可行性，根据模型假设可知 在8小时工作制的前提下 该维修中心工作台的利用率为83.1 相对来说较高了.原模型假设的基础上考虑:只改变营业时间即：8小时制换成小时营业求出对应的工作台利用率和系统中其他数量指标5。1： 24小时制下服务系统：根据数据表和实际情况可知平均每天到维修中心的顾客的数量是基本固定的所以:利用率=。271 得知24小时制下维修中心工作台的利用率太小导致工作台闲置增加了服务成本，所以24小时制下该维修中心可以减少服务台的数量模型分析：因为的顾客一般都是在白天来维修中心晚上相对较少 而晚上的时间则是白天的2倍明显可知晚上工作台的利用率会比白天小得多但从费用角度来说维修工人的耗费会比白天多所以24小时制下的维修机构造成的资源浪费比较严重,从利润角度和服务系统的平均服务水平来说都不可取5.:综合考虑顾客满意度和服务成本建立模型假设顾客满意度占70的权重 服务成本占%的权重顾客的满意度直接影响维修机构的声誉和生意进而影响到维修中心的利润模型假设：维修中心的技术不变,对于顾客来说一般是等待时间越短顾客月满意假设顾客满意度下与等待时间（平均逗留时间）成反比 其比例系数为常数 即得到目标函数: 用数学工具ATLAB可以求得118六：模型的评价与改进第五问中的 满意度没有量化处理 从而无法准确给出顾客的满意度 模型的优点：采用小时工作制可以得到较高工作台的利用率，并给较为准确的给出该排队系统的各项数量指标模型缺点：对于满意度的指标给的很模糊,基于做题比较匆忙没有深刻研究满意度的量化函数 七:参考文献1韩忠庚。实用运筹学。北京清华大学出版社M。2072覃志奎.基于银行排队问题的数学模型及求解J。广西,河池2006年第期。杨米沙,易昆南。基于排队过程的银行柜台设置优化探讨J。2009年9月,第36卷第5期附录:第三问的程序：clearsym xr m=1：c=m;p=；or i=0:c-1; p=p0+(*（/(073*)）i/facoril（i）;edp0p0+cc/fatoria(c）*（(1/(.739x)(1）-（1（0。79x)）/(1-（1/（0。39x)）;p0=1/p；for j=0：c p（j+1）=(c*（1/（0.9*)）/factoal（j）p0;ndfo =c1:6； p（+1）factora（c）（1/（0.39x）)p0;nl；for k=c+1：6; lq=lq+(c)p(k+1）;endls=l+*（1/(73*）(p(7)；w=（lqx0。0778）（1p（)12768*cx+3.7*lq*x+5.04*c*（p（7)）+87。forn=1: A(,n）=sub(w，x,）enedz1subs（s，x，3）z2=sbs（q,x,）第五问的程序：clearsym xfrm1：c=；p00;or i0:1; 00+(*（1（0.9)）ifactorial（i）；ep0=p0+/actria（c）*（(1/（。73x)（c1)（1(0。79*x）/（1/（.739x）)）;p0=/0;foj=0:c p（j）=（*(1/（0.3x)）)j/fctoil(j)p0;efr j=c+:6; p(j1）=c/factoral()*（1/(0.739*x）j*0;endq=；for kc+：6； llq+(kc）p（k+);dls=lq+（1/（73x)）（1p(）;w=(l*x*0.078）。/（1p（7）2.68c*+3.5*lq+5。07*（1-p(）)87.9 /k1时的w表达式=（lq*00778*125）./（p（7）12。78cx+3.75x5.04（p（7）)+87。9 /k=2。5时的w表达式z=2.375*cx+12.5*s*x /问题三的目标函数fo n1：3 A（m，n）subs（w，n) endenz0sb（z，,3)1=us（ls,x，3)zub（l,x,3） /对应的t是后来用笔算出来的文中如有不足，请您见谅！16 / 16