图的连通性(最小生成树的算法思想).ppt

图的连通性,1.算法思想,假设N=(V,E) 是连通网,TE是N上最小生成树中边的集合,算法从U=vk,TE= 开始(即从vk出发求最小生成树,vkV)。重复执行下述操作： 在所有的边(vi,vj)E (viU,vjV-U)中寻找一条权值最小的边(vi,vj)将其添加到TE中(或打印之),同时把vj添 加到集合U 中 。 反复执行上述操作n-1次（或所有顶点全部加入U时为止）。,一、最小生成树,2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,任取uk=v1, 则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6,2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,任取uk=v1, 则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6,取边(v1,v3),则：U=v1,v3,V-U=v2,v4,v5,v6,2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,任取uk=v1, 则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6,取边(v1,v3),则：U=v1,v3,V-U=v2,v4,v5,v6,取边(v3,v6),则：U=v1,v3, v6,V-U=v2,v4,v5,2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,任取uk=v1, 则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6,取边(v1,v3),则：U=v1,v3,V-U=v2,v4,v5,v6,取边(v3,v6),则：U=v1,v3, v6,V-U=v2,v4,v5,取边(v6,v4),则：U=v1,v3, v6,v4,V-U=v2,v5,2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,任取uk=v1, 则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6,取边(v1,v3),则：U=v1,v3,V-U=v2,v4,v5,v6,取边(v3,v6),则：U=v1,v3, v6,V-U=v2,v4,v5,取边(v6,v4),则：U=v1,v3, v6,v4,V-U=v2,v5,取边(v3,v2),则：U=v1,v3, v6,v4,v2,V-U=v5,2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,任取uk=v1, 则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6,取边(v1,v3),则：U=v1,v3,V-U=v2,v4,v5,v6,取边(v3,v6),则：U=v1,v3, v6,V-U=v2,v4,v5,取边(v6,v4),则：U=v1,v3, v6,v4,V-U=v2,v5,取边(v3,v2),则：U=v1,v3, v6,v4,v2,V-U=v5,取边(v2,v5),则：U=v1,v3, v6,v4,v2,v5,V-U= ,2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,任取uk=v1, 则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6,取边(v1,v3),则：U=v1,v3,V-U=v2,v4,v5,v6,取边(v3,v6),则：U=v1,v3, v6,V-U=v2,v4,v5,取边(v6,v4),则：U=v1,v3, v6,v4,V-U=v2,v5,取边(v3,v2),则：U=v1,v3, v6,v4,v2,V-U=v5,取边(v2,v5),则：U=v1,v3, v6,v4,v2,v5,V-U= ,3.算法的实现：,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3, 用一个辅助的一维数组closedge0.n-1存储n个顶点到U的距离：,即对于每一个viV-U, 1in , 1)用closedgei-1.lowcost存储vi到U的最短距离(若vi已属于U中的元素,则vi到U的距离为0)； 2)用closedgei-1.adjvex存储vi到U的最短距离所邻接的那个顶点的值。,用顺序存储结构(Mgraph G)存储图，即利用一个二维数组(G.arcs)存储图的邻接矩阵，用一个一维数组(G.vexs)存储各顶点的值。,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,打印(v1,v3), 也即打印：(closedgek.adjvex，G.vexsk),一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值(即v3)取代相应的adjvex的值。,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,打印(v3,v6), 也即打印：(closedge5.adjvex，G.vexs5),一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值(即v6)取代相应的adjvex的值。,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,打印(v6,v4), 也即打印：(closedge3.adjvex，G.vexs3),一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值(即v4)取代相应的adjvex的值。,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,打印(v3,v2), 也即打印：(closedge1.adjvex，G.vexs1),一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值(即v2)取代相应的adjvex的值。,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,打印(v2,v5), 也即打印：(closedge4.adjvex，G.vexs4),一、最小生成树,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,5,1,2,5,6,4,6,3,数据结构的动态分析, 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 ,G.arcs如下：,012345,0 1 2 3 4 5,算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：,3.算法的实现：,0,1,2,3,4,5,0,1,G.vexs:,0 1 2 3 4 5,一、最小生成树,3.算法的实现：,算法程序,算法程序,1.复习图的数组表示法 (MGgraph) 的定义,#define INFINITY 10000 / INFINITY用以表示 #define MAX_VERTEX_NUM 20 /最大顶点数 enum GraphKind DG,DN,UDG,UDN ; /枚举：有向图,有向网,无向图,无向网 typedef struct ArcCell VRType adj; / VRType的类型视具体情况而定。对于带权图，adj用以存 /放边或弧上的权值;对于无权图，adj用以存放0或1(int类型) /InfoType * info; /一般情况下可以不使用该项 ArcCell , AdjMatrix MAX_VERTEX_NUM , MAX_VERTEX_NUM ; /AdiMatrix是一个类型为ArcCell的二维数组,用以存放弧或边的邻接关系或权值 typedef struct VertexType vexs MAX_VERTEX_NUM ; / VertexType是顶点值的类型 /一维数组vexs用以存放各顶点的值 AdjMatrix arcs; /二维数组arcs存放边或弧上的信息（如权值） int vexnum , arcnum; /这两项分别存放图的顶点数目和弧的条数 GraphKind kind; / kind用以存放图的种类标志 MGraph,算法程序,typedef struct Adjvexlowcost VertexType adjvex ; int lowcost; Adjvexlowcost , ALListMAX_VERTEX_NUM; ALList closedge; /定义一个一维数组，其每个数组下标变量 /closedgei均有两个分量： adjvex 和lowcost / closedgei. lowcost记录了vi到U的最短距离 / closedgei. adjvex记录了vi到U的这个最短距依赖U中哪个顶点,2.求图的最小生成树的辅助一维数组 closedge的定义,算法程序,void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G , VertexType u) k=locateVex(G,u); /在G.vexs0.G.vexnum-1中查找u,将u的序号作为返回值 closedgek.adjvex=u; closedgek.lowcost=0; /将u并入到U中 for (j=0;jG.vexnum;+j) /将邻接矩阵的第k行(如选u=v1,则k=0)作为数组 /closedge的初值 if (!j=k) closedgej.adjvex=u; closedgej.lowcost=G.arcskj.adj; for (i=1;iG.vexnum;+i)/在无向网中找出n-1条边构成最小生成树 k=minimum(closedge); /在数组closedge中查找一个k使得 /closedgek.lowcost是最小的且不等于0 printf(closedgek. adjvex, G.vexk); /输出找到的一条最小代价边 closedgek.lowcost=0; /将vk+1添加到U中 for (j=0;jG.vexnum;+j) /用邻接矩阵的第k行及vk+1修改closedge if (G.arcskj.adj)closedgej.lowcost) closedgej.adjvex=G.vexsk; closedgej. lowcost=G.arcskj.adj; ,void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G , VertexType u) k=locateVex(G,u); /在G.vexs0.G.vexnum-1中查找u,将u的序号作为返回值 closedgek.adjvex=u; closedgek.lowcost=0; /将u并入到U中 for (j=0;jG.vexnum;+j) /将邻接矩阵的第k行(如选u=v1,则k=0)作为数组 /closedge的初值 if (!j=k) closedgej.adjvex=u; closedgej.lowcost=G.arcskj.adj; for (i=1;iG.vexnum;+i)/在无向网中找出n-1条边构成最小生成树 k=minimum(closedge); /在数组closedge中查找一个k使得 /closedgek.lowcost是最小的且不等于0 printf(closedgek. Adjvex, G.vexk); /输出找到的一条最小代价边 closedgek.lowcost=0; /将vk+1添加到U中 for (j=0;jG.vexnum;+j) /用邻接矩阵的第k行及vk+1修改closedge if (G.arcskj.adj)closedgej.lowcost) closedgej.adjvex=G.vexsk; closedgej. lowcost=G.arcskj.adj; /MiniSpanTree_PRIM,void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G , VertexType u) k=locateVex(G,u); /在G.vexs0.G.vexnum-1中查找u,将u的序号作为返回值 closedgek.adjvex=u; closedgek.lowcost=0; /将u并入到U中 for (j=0;jG.vexnum;+j) /将邻接矩阵的第k行(如选u=v1,则k=0)作为数组 /closedge的初值 if (!j=k) closedgej.adjvex=u; closedgej.lowcost=G.arcskj.adj; for (i=1;iG.vexnum;+i)/在无向网中找出n-1条边构成最小生成树 k=minimum(closedge); /在数组closedge中查找一个k使得 /closedgek.lowcost是最小的且不等于0 printf(closedgek. Adjvex, G.vexk); /输出找到的一条最小代价边 closedgek.lowcost=0; /将vk+1添加到U中 for (j=0;jG.vexnum;+j) /用邻接矩阵的第k行及vk+1修改closedge if (G.arcskj.adj)closedgej.lowcost) closedgej.adjvex=G.vexsk; closedgej. lowcost=G.arcskj.adj; /MiniSpanTree_PRIM,int minimum(ALList closedge) int k= -1; mini=1000; for (j=0;jG.vexnum;+j) if (closedgej.lowcost!=0 /minimum,End,返回,