高二数学文科竞赛试题

高二年级数学竞赛试题（文科）一选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1已知f(x)是R上的增函数，它的图像经过A(0，2），B(3，2），则不等式|f(x+1)|2的解集为（ ）A(-,-12,+ ) B2,+ ) C(- ,-1 D3,+ )2不等式x2|x24x+3|0的解集是（ ）A , B ,C(, ,+) D ,3已知椭圆上有三点Pi(xi,yi) (i=1,2,3)，它们到同一焦点的距离分别为d1,d2,d3，则d1,d2,d3成等差数列的充要条件是（ ）.Ax1,x2,x3成等差数列 By1,y2,y3成等差数列C上述同时成立 D(A),(B)以外的条件 4对于角, 若sinsin+coscos=0, 则sin2+sin2的值等于（ ）.A 0 B1 C D比大的数5y=xsinx在区间(0, )上的单调性是（ ）.A单调增加B单调减少C先单调增加，后单调减少 D先单调减少，后单调增加 6椭圆 (ab0)上的两焦点为F1, F2，M为椭圆上与F1 , F2不共线的任意一点，I为MF1F2的内心，延长MI交线段F1F2于N， 则|MI|: |NI|的值等于（ ）.A B C D7平面直角坐标系中，O为原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足,其中+=1，则点C的轨迹方程为（ ）.A3x+2y11=0 B(x1)2+(y2)2=5C2xy=0 Dx2y5=0图28如图2，在的二面角内，半径为1的圆与半径为2的圆分别在半平面、内，且与棱切于同一点，则以圆与圆为截面的球的表面积为（ ）A B C D9. 已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则等于（ ）A. B. C. 3 D 10. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A B C D二、填空题（每小题5分，共25分）11函数与的图像有两个交点(x1,y1), (x2,y2), 则式子x1y1+x2y2= 。12的值域是 。13已知直线y=x+1与椭圆有两个交点，则椭圆的离心率e的取值范围是 . 14对于|m|1的一切实数，使不等式2x1m(x21)都成立的实数x的取值范围是 。 15设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为 。学校 班级 姓名_ 考号 高二数学竞赛答题卷（文科）一选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）题号12345678910答案二填空题（每小题5分，共25分）11、12、 13、14、 15、 三解答题：本大题共6小题，满分12+12+12+12+13+14=75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）设函数，（）解不等式；（）若恒成立的充分条件是,求实数的取值范围.17（本小题满分12分）已知向量共线，且有函数（）若，求的值；（ ）在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围.18（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，、分别是、的中点。（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。19（本小题满分12分） 已知函数，数列满足，（）讨论的单调性；（）若，证明：数列是等差数列；在（）的条件下，证明：xyOPQAMF1BF2N20（本小题满分13分）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图若抛物线C2：与y轴的交点为B，且经过F1，F2点（）求椭圆C1的方程；（）设，为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求面积的最大值21（本小题满分14分）已知函数，函数在、处取得极值，其中。 （）求实数的取值范围；（）判断在上的单调性；（）已知在上的最大值比最小值大 ，若方程有3个不同的解，求实数的取值范围。高二年级数学竞赛题答案文科一.选择题:题次12345678910答案AABAABDBCD二.填空题:11、0 12、3，3 13、（0，）14、（，2） 15、三.解答题:16. （12分）解：（1）由得，即，所以或，解得或4分（2）依题意知：当恒成立，所以当恒成立，即恒成立。此，即,所以实数的取值范围（1,4）12分17（本小题满分12分）解：（）与共线 3分，即 4分 6分（）已知由正弦定理得：， 在中 . 8分 , 10分,12分18（本小题满分12分）（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形。因为为的中点，所以。 1分又，因此。2分因为平面，平面，所以。 3分而，所以平面。 4分又平面，所以。 5分（）解：设，为上任意一点，连接、由（）可知：平面， 则为与平面所成的角。6分在中，所以当最短时，最大， 7分即当时，最大，此时。 因此。又，所以，于是。 8分因为平面，平面，所以平面平面。 9分过作于，则由面面垂直的性质定理可知：平面，过作于，连接，则由三垂线定理可知：为二面角的平面角。 10分在中， 又是的中点，在中，又 11分在中， 即二面角的余弦值为。 12分19、（1）当；当；.4分（2）易证.8分（3）当，由（2）得： .12分20(）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2 令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1 所以于是椭圆C1的方程为：3分 （）设N（），由于知直线PQ的方程为： 即4分代入椭圆方程整理得：,=, , ,故 8分设点M到直线PQ的距离为d，则9分所以，的面积S 12分当时取到“=”，经检验此时，满足题意综上可知，的面积的最大值为13分21（本小题满分14分）解：（）有两个不等正根， 即方程有两个不等正根、1分且，2分解得： 3分（） 4分令，则的对称轴为 在上的最小值为5分 6分于是在上单调递增。 7分（）由（）可知：在上单调递增 8分即又，解得： 9分 ，在上递增，在上递减且当时， 10分又当时，；当时， 12分当时，方程有3个不同的解实数的取值范围为 。 14分