[工学]线性代数试题库矩阵

1对任意阶方阵总有（ ）A. B. C. D. 答案：B2在下列矩阵中，可逆的是（ ）A.B.C.D.答案：D3设是3阶方阵，且，则（ ）A.-2B.C.D.2答案：B4设矩阵的秩为2，则（ ）A.2B.1C.0D.-1答案:B提示：显然第三行是第一行和第二行的和5设，矩阵满足方程，求矩阵.答案：解： 显然可逆，所以： 6求下列矩阵的秩答案：37设矩阵，矩阵由矩阵方程确定，试求.答案：所以：8设矩阵可逆，证明证明：因为，矩阵可逆，所以又因为，所以：9若是( )，则必为方阵.A. 分块矩阵B. 可逆矩阵C. 转置矩阵D. 线性方程组的系数矩阵答案 ：B10.设阶方阵，且，则 ( ).A. B. C. D. 答案 ：A11若( )，则A. B. 秩=秩C. 与有相同的特征多项式D. 阶矩阵与有相同的特征值，且个特征值各不相同答案：B12.设，则_.答案：13.设矩阵，且秩，为的一个阶子式，则_.答案 ：014已知，且，则_.答案：115.已知，求矩阵。解：矩阵可逆，所以由16.若对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称矩阵.证明：因为矩阵为非奇异矩阵，所以，即：因为矩阵为对称矩阵，所以，则有：所以：，即也是对称矩阵.。17.设是矩阵，是矩阵，是矩阵，则下列运算有意义的是（）A. B. C. D. 答案：C18.设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）A. B. C. D. 答案：B19.设为阶矩阵，秩，则秩（）A.0B.1C. D. 答案：A因为是由矩阵的代数 余子式组成，但是秩，所以其代数余子式全部为0，所以：20矩阵的秩为（）A.1B.2C.3D.4答案：321.设为2阶方阵,且,则_.答案：222.设是3阶矩阵,秩=2,则分块矩阵的秩为_.答案 ：523.设矩阵,求矩阵,使解：由得：，所以：24. 设三阶方阵的行列式，则的伴随矩阵的行列式_.答案：9提示：25. 设，且，则_.答案：26. 设，则_.答案 ：27. (5分)设且满足，求解：可逆由，得所以：28. 设矩阵其中，, .为的伴随矩阵.计算解：显然：29设是两个阶方阵，若则必有（ ）A且B或C且D或答案：D30若都是方阵，且，则（ ）A-2B2CD答案：C31矩阵的伴随矩阵（ ）ABCD答案：C32设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ ）A1B2C3D4答案：B33设为4阶矩阵，则 .答案：334设，则 .答案：3235设， ，则 .答案：36= .答案：提示：用 分块对角矩阵做。37设，求满足关系式的3阶矩阵，所以：38设矩阵的秩为2，求.解：因为：矩阵的秩为 2，所以39已知阶方阵满足关系式，证明是可逆矩阵，并求出其逆矩阵.证明：所以是可逆矩阵，且其其逆矩阵为：40设是3阶方阵，且，则（）A8B2C2D8答案：A41设矩阵，则（）ABCD答案：A42设是阶方阵，则下列结论中错误的是（）A秩B有两行元素成比例C的个列向量线性相关D有一个行向量是其余个行向量的线性组合答案：B43设均为阶矩阵，且秩秩，则必有（）A与相似B与等价C与合同D答案：B44_.答案：45若均为3阶矩阵，且，则_.答案：5446设矩阵，其中则秩_.答案：147设， ，矩阵满足方程，求.答案：解：，48设是阶方阵，证明证：因为，所以：49.设是3阶方阵，且，则（ ）A-6B-2C2D6答案：B50设，则的伴随矩阵（ ）ABCD答案：A51_。答案：52设，则_。答案：53设且，求。答案：解：，很容易得到：是可逆的。所以：54设方阵满足，证明可逆，并求其逆阵。证：所以：可逆，且其逆阵为。55设阶方阵满足，则必有（）ABCD答案：D56设阶方阵中有个以上元素为零，则的值（）A大于零B等于零C小于零D不能确定答案：B56设3阶矩阶A=（1，），B=（2，），且，则（）A4B2C1D-4答案：A57设是4阶方阵，则_.答案：-858设矩阵，则_.答案：59设，且矩阵满足,求。解：，容易证明可逆，所以所以：61设均为阶方阵，则必有（）ABCD答案：A62设，则（）ABCD答案：C63若方阵与方阵等价，则（）ABCD存在可逆矩阵，使答案：A64，（为3阶单位矩阵），则_。答案：65已知，且，则_。答案： 66设，为的伴随矩阵，则_。答案：67已知，则_。答案 ：68设为阶方阵，满足若，求矩阵。可逆。所以：，得69设是4阶矩阵，则（）ABC D答案：C70设为阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（）ABCD答案：A71设是2阶方阵可逆，且，则（）ABCD答案：B72设均为3阶矩阵，若可逆，秩，那么秩（）A0B1C2D3答案：C73设为阶矩阵，若与阶单位矩阵等价，那么方程组（）A无解B有唯一解C有无穷多解D解的情况不能确定答案：B74设矩阵，则_.答案：75设矩阵，则行列式_.答案：476矩阵的秩等于_.答案：377设矩阵，求矩阵方程的解.解：，很容易得到是可逆的。所以：，所以：78设为同阶对称矩阵，证明也为对称矩阵.证：为同阶对称矩阵，所以 ：所以：也是对称矩阵。79.设矩阵，则等于（ ） A. B. C. D. 答案：B81.设是方阵，如有矩阵关系式，则必有（ ） A. B. 时 C. 时D. 时答案：D82.设， .则 .答案：84.设，.求（1）；（2）.答案：（1）（2），而.所以85.设矩阵，求矩阵使其满足矩阵方程.答案：解：即，而所以 86.设矩阵求：秩；解：对矩阵施行初等行变换所以：秩为3.87.设方阵满足，试证明可逆，且证：可逆，且88.设行矩阵，,且，则_.答案：089.设，为的伴随矩阵，则_.答案：4提示：而，所以：90.若，为使矩阵的秩有最小秩，则应为_.答案：解答：要使得矩阵的秩有最小秩，则 91.已知矩阵满足，其中， ， ，求矩阵.(6分)解：容易证明矩阵都可逆，所以：，92.设均为阶方阵，且，证明的充分必要条件是证：因为：，所以：若若，则93设矩阵，则下列矩阵运算有意义的是( )A. B. C. D. 答案：B94.设阶方阵满足，其中是阶单位矩阵，则必有【】A. B. C. D. 答案：C95.设为3阶方阵，且行列式 ,则 【】A.-4 B.4 C.-1 D.1答案：A96设矩阵为的转置，则= 。答案：97设矩阵则行列式的值为 .答案：199设是阶方阵，且的元素全都是1，是阶单位位矩阵。证明：证明：因为的元素全都是1，所以：的元素全部为，即：所以：，即：100.设是阶方阵，是矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( )A. B. C. D. 答案：A101. 为同阶矩阵，为单位阵，若，则下列各式中总是成立的有( )A. B. C. D. 答案：D102.已知有一个阶子式不等于零，则秩 ( )A. B. C. D. 答案：D103.设是阶阵，且，则由( )可得出.A. B. C.秩 D. 为任意阶矩阵答案：A104.，则_答案：105.A=，则秩_答案：3106. =_答案：107.若，且不是单位阵，则_答案：0108. ，则_答案：109.=_答案：110. 均为阶可逆阵，则_答案：111.设是5阶方阵，则_答案：32112，求答案：113. ， ，求答案：解：114.阶方阵满足，其中给定，证明可逆，并求其逆矩阵。证：所以可逆，且115设矩阵，则为（ ）A.B.C. D.7答案：D116设均为阶矩阵，且可逆，则下列结论正确的是（ ）A.若，则可逆B.若，则C.若，则不可逆D.若，则答案：B117设3阶方阵的元素全为1，则秩为（ ）A.0B.1C.2D.3答案：B118设为3阶方阵，且行列式，则之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.8答案：A119设为阶方阵，且的行列式，则等于（ ）A. B. C. D. 答案：C120设矩阵，则 .答案：121设均为3阶方阵，且，则 .答案：6122设3阶方阵的秩为2，矩阵，若矩阵，则秩= .答案：2123设，则 .答案：124已知矩阵，秩，求的值.答案：1，所以125试求矩阵方程中的未知矩阵。解：所以：126.设且，求解：可逆。又从而得到：所以：127.已知，证明：可逆，且。证：因为，又因为，所以：，显然可逆，且。128.设是阶非零矩阵，是其伴随矩阵，且满足，证明可逆。证：有得：所以：假设不可逆，则，所以：所以，这与题目是阶非零矩阵矛盾，所以可逆。129.两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是_答案：两矩阵为同阶方阵。130. 已知，且其秩为2，则_答案：3131.若是阶可逆 矩阵，是阶可逆矩阵，则_答案：132.设与均为阶方阵，则下列结论中（ ）成立。A ,则,或；B ，则，或；C ,则,或；D ,则,或。答案：B133设为阶方阵，且，则 答案：134.求解矩阵方程答案：135设3阶方阵按列分块为（其中是的第列），且，又设，则 答案：-100136设的伴随矩阵为,则 答案：137设，且,求矩阵。答案：138设，为三阶非零矩阵，且,则 答案：-1139已知满足,求矩阵。答案：140 答案：141设则 答案：142若为同阶方阵，则的充分必要条件是 答案：143设都是阶矩阵，且 , 则下列一定成立的是（ ）或 B都不可逆C中至少有一个不可逆 D答案：C144设均为可逆矩阵，则分块矩阵亦可逆， 答案：145设为3阶可逆矩阵，且,则 答案：146均为阶矩阵，下列各式中成立的为（ ）（A）（B）（C）则或（D）若，则或答案：D147设A为6阶方阵，且| A | =2，则= 答案：64148设，将A表示成3个初等矩阵的乘积，即A= 答案：149任一个mn矩阵A，仅经过初等行变换可化为的标准形式。（ ）答案：150A为5行6列矩阵，且r ( A ) =5，则A一定没有不等于0的5阶子式。（ ）答案：151两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵。 （ ）答案：152.A，B均为n阶方阵，AO，且AB=O，则B的秩（ ）（A）等于O （B）小于n（C）等于n （D）等于n-1答案：B153.已知且A2AB=E，求矩阵B。答案：解:,故A可逆,由于故,即 即,即,故(注:作行变换得到也正确)故154设A是mn矩阵，B是nm矩阵（mn），则下列（ ）的运算结果是n阶方阵。 （A） AB （B） BTAT （C） （AB）T （D） ATBT 答案：D155设A，B为n阶方阵，A0，B0，且AB0，则A，B的秩（） （A）一个小于n，一个等于n （B）都等于n （C）都小于n （D）必有一个等于零答案：C156下列结论中，不正确的是 （ ）（a） 设为n阶矩阵，则（b） 设均为矩阵，则（c） 设均为n阶矩阵，且满足，则（d） 设均为n阶矩阵，且满足，则答案：C157设均为n阶矩阵，为正整数，则下列各式中不正确的是 （ ） （a） (b) (c) (d) 答案：B158设为n阶可逆矩阵，是其伴随矩阵，则 答案：159设矩阵。矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。解：由 知可逆，且 由 160设n阶矩阵非奇异，是其伴随矩阵，则（ ） （a）= (b) = (c) = (d)=答案：C161.设为阶矩阵，为阶矩阵，且。若，则_答案：162.设，为三阶非零矩阵，且。则 答案：3163. 已知，其中，求矩阵。解：由，有 所以 由 所以 。 164. 设,求和解 设是实对称矩阵，且，证明:证明：其主对角线上的元素为 又，是实对称矩阵 即已知三阶方阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵。解：注：也可以用初等变换求逆：1 解矩阵方程 (2)解：设阶矩阵满足是正整数。试证可逆，且证明： 可逆且7.若方阵满足,证明及都可逆，并求及.证明：由，有 所以可逆且又由有所以可逆且已知,其中,求及因为,所以可逆，由有 所以 设是三阶方阵，且求.解：已知矩阵的秩为3，求的值。解:将矩阵化为行阶梯形所以当时矩阵的秩为3设是阶方阵，若存在阶方阵，使,证明。证明：反证法。设，则可逆，而由，有 与矛盾，所以确定参数，使矩阵的秩最小解：将矩阵化为行阶梯形当时矩阵的秩最小为2设是三维列向量，是的转置，若,则 解：，设为阶矩阵，分别为对应的伴随矩阵、分块矩阵,则的伴随矩阵设是三阶方阵,则解：设四阶矩阵,且矩阵满足关系式,求矩阵。解：先化简，再计算。因为设列矩阵证明（1） 的充分必要条件是 （2） 当时，是不可逆矩阵.分析：线性代数中，若要证明不可逆或，往往可以用反证法：假设 可逆，再在已知等式两端同乘以,即可得到所需要的结论。或者直接由有非零解，得。证明：（1）因为所以从而（2）若，由（1）知假设可逆，即，将式两端同时乘以，得 即 由有 这与矛盾，故是不可逆矩阵.或者：因 故 当有 由于故 有非零解，与只有零解矛盾，因此 设为矩阵，为矩阵，且，证明：（1）如果则（2）如果则分析：矩阵乘法不满足消去律，故不能直接由得或,也不能通过右乘得，因为不是方阵，无逆矩阵可言。本题可以从以下几个方面来考虑： 为了利用左乘或右乘一个可逆矩阵来得到，可以把适当分块，分出一个可逆子 相当于的每一列是的解，这时只需取转置即可，的每行从而的每列恰好是齐次组的解（仅有零解） 利用矩阵的标准形来证明。证明：（1）方法一因为，把的列适当加以调整（相当于右乘可逆初等矩阵，仍保持），不妨设有,其中为矩阵，为矩阵，且于是由得,两边右乘得， 方法二：由得，说明的每一列都是齐次方程组的解，但,即的秩与方程未知数的个数相同，齐次方程组只有零解，即的每列从而的每行必须都是零向量，也就是 方法三：因，故存在可逆矩阵，使得即 由,两边右乘,得即有，再两边右乘,得证（2）若，则由（1）知，即1 若，则 答案： A，B为n阶方阵，则下列正确的是 （ ）（e） AB=0, B0, 则 A=0（f） (A+B)=A+2AB+B（g） 若 AC=BC, C可逆, 则 A=B（h） 若 A=I, 则A=I答案：CA为n阶可逆阵，则下列各项正确的是 （ ） （a）(2A)=2A (b) (2A)=2A (c) (A)=(A) (d) A=答案：An 阶矩阵A和B , 且A可逆，下列正确的是 （ ）（a） r(AB)= r(A)+r(B) (b) r(AB)=r(A)r(B) (c) r(AB)=r(B) (d) r(AB)r(B)答案：CA=,讨论A的秩。 答案： 所以 当 当 当