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第二章2.2抛物线的简单性质,第1课时抛物线的简单性质,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一抛物线的简单性质,(0,0),1,2p,知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,1.抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，一条通径.() 2.当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程.() 3.抛物线的离心率均为1，所以抛物线形状都相同.() 4.焦准距p决定抛物线的张口大小，即决定抛物线的形状.(),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一抛物线的简单性质,例1已知抛物线y28x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；,解抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.,(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长.,解如图所示，由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M， 又焦点F是OAB的重心，,因为F(2,0)，,故设A(3，m)，代入y28x得m224；,反思感悟把握三个要点确定抛物线的简单性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,跟踪训练1等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形， 所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直， 从而直线OA与x轴的夹角为45.,不妨设A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p).,题型二抛物线的焦点弦问题,例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值.,解因为直线l的倾斜角为60，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，,x1x2p538.,反思感悟1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. 2.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,跟踪训练2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB| p，求AB所在直线的方程.,故直线AB的斜率存在，设为k，,解得k2，,题型三与抛物线有关的最值问题,例3设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；,解如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1. 由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离. 于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.,(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF|的最小值.,过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F. 此时，由抛物线的定义知，|P1Q|P1F|. 所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314， 即|PB|PF|的最小值为4.,反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.,跟踪训练3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为,解析如图，由抛物线的定义知 |PA|PQ|PA|PF|， 则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值， 则当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.,3,达标检测,PART THREE,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,1,2,3,4,5,解析设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)，,2|y|2p8，p4. 即抛物线方程为y28x.,2.设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于 A.30 B.45 C.60 D.90,1,2,3,4,5,解析由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，,AOB为等腰直角三角形，AOB90.,3.已知抛物线yax2的准线方程是y2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,解析由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.,4.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_.,解析由y28x得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为yx2，,1,2,3,4,5,16,设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程知x1x212， 弦长|AB|x1x2p12416.,5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px (p0)上，求这个正三角形的边长.,1,2,3,4,5,解如图OAB为正三角形，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.,
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