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阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1(2011北京朝阳区期末)关于直线l，m及平面，下列命题中正确的是()A若l，m，则lmB若l，m，则lmC若l，l，则D若l，ml，则m.答案C解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，若取平面ABCD为，平面ADD1A1为，则交线AD为m，取BB1为l，由此可知A错；若取平面ADD1A1为，BB1、BC分别为l，m，可知B与D都错误，故选C.2(文)(2011宁波期末)设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是()Ax，y，z为直线Bx，y，z为平面Cx，y为直线，z为平面 Dx为直线，y，z为平面答案C解析由正方体交于同一顶点的三条直线(或三个平面)知，x、y、z都是直线(或都是平面)时，该命题都是假命题；当x为直线，y、z为平面时，可能有x在平面y内，故D错，因此选C.(理)(2011山东淄博一中期末)已知三条直线a，b，c和平面，则下列推理中正确的是()A若ab，b，则aB若a，b与所成角相等，则abC若a，b，a，b共面，则abD若ac，bc，则ab答案C解析A中直线a可能在内；如图可知B错误；由正方体中交于同一顶点的三条棱所在直线知D错误；C中，b，b与无公共点，a，b与a无公共点，a，b共面，ab，故选C.3(文)(2011日照调研)已知直线l，m，平面，且l，m，给出四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm; 若lm，则.其中真命题的个数是()A4B3C2D1答案C解析lm，故真；，故真；如图a，m，ma，l可知lm，因此假；上图中当时，可知假(理)(2011合肥质检)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A若a，b，则abB若a，ba，b，则C若a，b，则abD若a，a，则答案D解析由线面平行的性质和线面垂直的性质知A正确；a，ba，b，又b，故B正确；a，a，又b，ab，故C正确，故选D.4(文)(2011合肥市质检)下图是一个几何体的三视图，其中正(主)视图和侧(左)视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A6 B12C18 D24答案B解析由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S(12)412.(理)(2011北京西城区期末)如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析ABAD1，BD，ABAD，ABAD，平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABD，CDAB，AB平面ACD，ABAC，即BAC90，选B.5(2011北京丰台区期末)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是()A. B3C9 D9答案C解析由三视图知，该螺栓的上部是一个底半径为0.8，高为2的圆柱，下部是底面为边长为2，高为1.5的正六棱柱，故体积V0.8226221.59，故选C.6(2011北京朝阳区期末)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A有无数条 B有2条C有1条 D不存在答案A解析平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1且不重合，两平面有条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条7(文)(2011山西太原调研)已知平面和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是()A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n与相交，那么m、n是异面直线C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，nm，那么n答案C解析如图(1)可知A错；如图(2)可知B错；如图(3)，m，n是内的任意直线，都有nm，故D错n，n与无公共点，m，n与m无公共点，又m、n共面，mn，故选C.(理)(2011辽宁丹东四校联考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A. B.C. D.答案A解析AB1，AC2，BC，AC2BC2AB2，ABBC，又三棱柱为直三棱柱，BB1平面ABC，以B为原点，BC、BA、BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(，0,0)，设B1(0,0，a)，则C1(，0，a)，D，E，平面BB1C1C的法向量(0,1,0)，设直线DE与平面BB1C1C所成的角为，则sin，.8(2011沈阳二中阶段检测)已知长方体ABCDABCD，对角线AC与平面ABD相交于点G，则G是ABD的()A垂心 B外心C内心 D重心答案D解析设AB与AB相交于点E，则在平面ABCD中，DE与AC必相交，则交点为G，G点在ABD的中线DE上，同理可知G点在BD边的中线上，G为ABD的重心9(2011宁夏银川一中检测)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()答案B分析可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断解析容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，故选B.点评本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视10(2011宁夏银川一中检测)设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是()若l，则l与相交若m，n，lm，ln，则l若lm，mn，l，则n若lm，m，n，则lnA1B2C3D4答案C分析根据空间线面位置关系的有关定理逐个进行判断解析由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题正确；由于中不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题不正确；根据平行线的传递性lm，mn，ln，故l时，一定有n，故正确；又lm，m，l，又n，ln，正确，故选C.点评把空间平行关系和垂直关系的相关定理中抽掉一些条件或添加限制条件来考查考生对空间点线面位置关系概念、定理掌握的熟练程度是常见命题方式解答这类题的关键是对比定理逐个条件进行检查解答方法常常是直接推证或特例反驳11(2011江西南昌调研)如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当EAA1时，AEBF是定值其中正确说法是()A BC D答案D解析由于容器一边BC固定于水平地面上，所以随着容器倾斜度的变化，水面四边形EFGH的一组对边EH和FG始终与BC平行且相等，而另一对边EF与GH是变化的，因此A1D1与水面平行，且水的部分是一个棱柱(BC为垂直于两底的侧棱)，由于水的体积不变，故棱柱的底面面积不变，因此AEBF为定值12(文)(2011华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为()A12 B8C8 D6答案D解析设此三棱柱底面边长为a，高为h，则由图示知a2，a4，1242h，h3，侧(左)视图面积为236.(理)(2011黑龙江哈六中期末)棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则过E，F两点的直线被球O截得的线段长为()A.a B2aC.a D.a答案C解析过直线EF与球心作截面，则截面圆半径ra，球心到EF的距离为，过E、F两点的直线被球O截得的线段长为2a.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2011黑龙江哈六中期末)已知，是三个不同的平面，命题“且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个答案2解析将，换作直线a，b，命题为“ab且ab”，显然这是一个真命题；将，换作直线a，c，命题为“a，且acc”，这是一个假命题；将，换成直线b，c，命题为“b，且cbc”，这是一个真命题，故填2.14(2011黑龙江哈六中期末)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确命题的序号是_答案解析BC1AD1，BC1平面AD1C，直线BC1上任一点到平面AD1C的距离都相等，VAD1PCVPAD1CVBAD1C为定值；ACA1C1，AD1BC1，ACAD1A，A1C1BC1C1，平面ACD1平面A1BC1，A1P平面A1BC1，A1P平面ACD1；假设DPBC1，DCBC1，DCDPD，BC1平面DPC，BC1CP，P是BC1上任一点，BC1CP不成立；B1B平面ABCD，AC平面ABCD，B1BAC，又ACBD，BDB1BB，AC平面BB1D，ACDB1，同理可知AD1DB1，ACAD1A，DB1平面ACD1，DB1平面PDB1，平面PDB1平面ACD1.15(文)(2011北京东城区示范校联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、M分别是棱AD、DD1、D1A1、A1A、AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件_时，就有MNA1C1；当N只需满足条件_时，就有MN平面B1D1C.答案点N在EG上点N在EH上解析(1)当点N在EG上时，ACEM，ACEG，EGEME，AC平面GEM，又MN平面GEM，ACMN，A1C1AC，A1C1MN.(2)EMBDB1D1，HEA1DB1C，EMHEE，B1D1B1CB1，平面EMH平面B1D1C，过点M与平面B1D1C平行的直线必在平面EMH内，故点N在平面EMH内，又点N在平面EFGH内，N在两平面的交线EH上(理)(2011甘肃天水一中期末)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点M是棱BC的中点，则D1B与AM所成角的余弦值是_答案解析以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，M，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1，1,1)，cos，异面直线D1B与AM所成角的余弦值为.16(文)(2011洪泽中学月考)有以下四个条件：平面与平面，所成的锐角二面角相等；直线ab，a平面，b平面；a，b是异面直线，a，b，且a，b；平面内距离为d的两条平行直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行线其中能推出的条件有_(填写所有正确条件的代号)答案解析正三棱锥的底面与侧面所成的锐二面角都相等，但侧面不平行，故错；，对；在直线a上任取一点P，点P与直线b确定一个平面，则与有一条过P的交线b，b，bb，b，b，又a，abP，故对；如图可知，错故能推出的条件只有和.(理)(2011天津河东区模拟)如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是_(把你认为正确的结论都填上)BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；AC1与底面ABCD所成角的正切值是；二面角CB1D1C1的正切值是，过点A1与异面直线AD与CB1成70角的直线有2条答案解析BDB1D1，B1D1平面CB1D1，BD平面CB1D1.连结A1C1交B1D1于O，AA1平面A1B1C1D1，AA1B1D1.又A1C1B1D1，B1D1平面AA1C1.B1D1AC1.同理B1CAC1.AC1平面CB1D1.C1AC为AC1与平面ABCD所成的角，tanC1AC.C1OC为二面角CB1D1C1的平面角，tanC1OC.异面直线AD与CB1所成的角为45，则满足题意的直线有4条三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2011烟台调研)如图，矩形ABCD中，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AE平面BCE；(2)求证：AE平面BFD.解析(1)证明：AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，则AEBC，又BF平面ACE，则AEBF，BC平面BCE，BF平面BCE，BCBFB，AE平面BCE.(2)证明：连结AC、BD，设AC与BD交于G点，依题意可知：G是AC中点，BF平面ACE，则CEBF，而BCBE，F是EC中点，在AEC中，FGAE，又AE平面BFD，FG平面BFD，AE平面BFD.(理)(2011辽宁大连期末联考)已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，C90，点B1在底面上射影D落在BC上(1)求证：AC平面BB1C1C；(2)若AB1BC1，且B1BC60，求证：A1C平面AB1D.解析(1)B1D平面ABC，AC平面ABC，B1DAC，又BCAC，B1DBCD，AC平面BB1C1C.BC1B1C，四边形BB1C1C为菱形，B1BC60，B1DBG于D，D为BC的中点，连结A1B和AB1交于点E，在三角形A1BC中，DEA1C，A1C平面AB1D.18(本小题满分12分)(文)(2011山西太原调研)已知四棱锥PABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论解析(1)由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2，VPABCDS正方形ABCDPC122，即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置，都有BDAE，证明：连结AC，ABCD是正方形，BDAC，PC底面ABCD，且BD平面PAC，BDPC，又ACPCC，BD平面PAC.不论点E在何位置，都有AE平面PAC，不论点E在何位置，都有BDAE.(理)(2011山东淄博一中期末)四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PAPD，APD60，E、G分别是BC、PE的中点(1)求证：ADPE；(2)求二面角EADG的正切值解析解法一：(1)如图，取AD的中点O，连结OP，OE，PAPD，OPAD，又E是BC的中点，OEAB，OEAD.又OPOE0，AD平面OPE.PE平面OPE，ADPE.(2)取OE的中点F，连结FG，OG，则由(1)易知ADOG，又OEAD，GOE就是二面角EADG的平面角，PAPD，APD60，APD为等边三角形，且边长为2，OP2，FGOP，OFCD1，OG，cosGOE.解法二：(1)同解法一(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，E(0,2,0)，E，(2,0,0)，.设平面ADG的法向量为n(x，y，z)，由得，n，又平面EAD的一个法向量为(0,0，)，又因为cosn，二面角EADG的余弦值为.19(本小题满分12分)(文)(2011北京学普教育中心)如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2.(1)求四棱锥BCEPD的体积；(2)求证：BE平面PDA.解析(1)PD平面ABCD，PD平面PDCE，平面PDCE平面ABCD，BCCD，BC平面PDCE.S梯形PDCE(PDEC)DC323，四棱锥BCEPD的体积VBCEPDS梯形PDCEBC322.(2)证明：ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA，EC平面PDA，同理可得BC平面PDA，EC平面EBC，BC平面EBC且ECBCC，平面BEC平面PDA，又BE平面EBC，BE平面PDA.(理)在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ABBCCADADCBE2，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上(1)求证：DE平面ABC；(2)求二面角EBCA的余弦值解析(1)由题意知，ABC，ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BOAC，DOAC，又平面ACD平面ABC，DO平面ABC，作EF平面ABC，那么EFDO，根据题意，点F落在BO上，EBF60，易求得EFDO，四边形DEFO是平行四边形，DEOF，DE平面ABC，OF平面ABC，DE平面ABC.(2)解法一：作FGBC，垂足为G，连接EG，EF平面ABC，EFBC，EFFGF，BC平面EFG，EGBC，EGF就是二面角EBCA的平面角RtEFG中，FGFBsin30，EF，EG.cosEGF.即二面角EBCA的余弦值为.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，可知平面ABC的一个法向量为n1(0,0,1)，设平面BCE的一个法向量为n2(x，y，z)，则，可求得n2(3，1)所以cosn1，n2，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角EBCA的余弦值为.20(本小题满分12分)(2011福建厦门期末质检)四棱锥ABCDE的侧面ABC是等边三角形，EB平面ABC，DC平面ABC，BE1，BCCD2，F是棱AD的中点(1)求证：EF平面ABC；(2)求四棱锥ABCDE的体积解析(1)取AC中点M，连结FM、BM，F是AD中点，FMDC，且FMDC1，EB平面ABC，DC平面ABC，EBDC，FMEB.又EB1，FMEB，四边形BEFM是平行四边形，EFBM，EF平面ABC，BM平面ABC，EF平面ABC.(2)取BC中点N，连结AN，ABAC，ANBC，EB平面ABC，ANEB，BC与EB是底面BCDE内的相交直线，AN平面BCDE，由(1)得，底面BCDE为直角梯形，S梯形BCDE3，在等边ABC中，BC2，AN，V棱锥ABCDES梯形BCDEAN.21(本小题满分12分)(文)(2011黑龙江哈六中期末)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点(1)求证：AB1BF；(2)求证：AEBF；(3)棱CC1上是否存在点F，使BF平面AEP，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由解析(1)证明：连结A1B，CD1，AB1A1B，AB1BC，A1BBCB，AB1平面A1BCD1，又BF平面A1BCD1，所以AB1BF.(2)证明：取AD中点M，连结FM，BM，AEBM，又FMAE，BMFMM，AE平面BFM，又BF平面BFM，AEBF.(3)存在，P是CC1的中点易证PEAB1，故A，B1，E，P四点共面由(1)(2)知AB1BF，AEBF，AB1AEA，BF平面AEB1，即BF平面AEP.(理)(2011浙江宁波八校联考)如图，四边形ABCD中，AB1，AD2AB，ADC60，EC平面ABCD，EFAC，EF，CE1.(1)求证：AF平面BDE.(2)求CF与平面DCE所成角的正切值解析(1)证明：四边形ABCD中，AB1，AD2AB，ADC60，AC，O为AC与BD交点，AOEF，又AOEF，EOAF为平行四边形，OEAF.又AF平面BDE，OE平面BDE，AF平面BDE.(2)ACD中，AD2，AC，ADC60，ACD90，EF平面DCE，FCE为CF与平面DCE所成的角FCE中，EFCE，EF，CE1，tanFCE，即CF与平面DCE所成角的正切值为.22(本小题满分12分)(2011北京市朝阳区期末)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，AB2，M，N分别是棱CC1，AB中点(1)求证：CN平面ABB1A1；(2)求证：CN平面AMB1；(3)求三棱锥B1AMN的体积解析(1)证明：因为三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，又因为CN平面ABC，所以AA1CN.因为ACBC2，N是AB中点，所以CNAB.因为AA1ABA，所以CN平面ABB1A1.(2)证明：取AB1的中点G，连结MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NGBB1，NGBB1.又因为CMBB1，CMBB1，所以CMNG，CMNG.所以四边形CNGM是平行四边形所以CNMG.因为CN平面AMB1，GM平面AMB1，所以CN平面AMB1.(3)由(2)知GM平面AB1N.所以VB1AMNVMAB1N4.- 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