解圆锥曲线离心率的求法大全

求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。椭圆的离心率e（0，1），双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e=1一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。例. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( )A. B. C. D.解：由F1、F2的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，ac=1，a+c=3，a=2，c=1,所以离心率e=.故选C.变式练习：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=,因此选C变式练习： 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得则。故选A。二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D. 解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。由焦半径公式，即，得，解得，故选D。变式练习：设双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c，则双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D. 解：由已知，直线L的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 c，又c2=a2+b2, 4ab=c2,两边平方，得16a2(c2a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得 e24或e2.又0a2，e24，e2.故选A.变式练习：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）解：如图所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0), F2(c,0),则|MF1|=|MF2|=.又|F1F2|2c，在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2,即cos120，b2c2a2，3a22c2，e2，e.故选B.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：如右图所示，有四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4.设椭圆+1 (ab0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是.解：如图1所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，ADl1于D，|AD|为F1到准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，e=， 即 e=.故填. 变式练习：五、构建关于e的不等式，求e的取值范围例5. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. （）另：由x2coty2tan=1，(0，)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan+cot,e21+ cot2,(0，)，cot21,e22，e.故选D.例6 如图，已知梯形ABCD中，AB2CD，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率e的取值范围解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A(c，0)，C(，h),E(x0，y0)，其中c=AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点坐标公式得 x0，y0设双曲线的方程为1，则离心率e=. 由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得 1 ，将点E的坐标代入双曲线方程得()2()21 再将e=、得 1，1 ，()2()21 将式代入式，整理得 （44）12，1由题设得，1解得e所以双曲线的离心率的取值范围为，练习：1.（天津理4） 设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为A.B.C.D.2.（全国2 文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）ABCD3.（2006全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 （A） (B) (C) (D)4（2006山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (A) (B) (C) (D)5（2006山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为 (A) (B)2 (C) (D)26.（安徽理9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A）（B）（C）（D）7.（湖南文9）设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是A B. C. D. 8.（全国2理11）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(A) (B)(C) (D) 9.（2006福建卷）已知双曲线(a0,bb0），则有，据此求出e5.不妨设双曲线方程为（a0，b0），则依题意有，据此解得e，选C6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。7.由已知P（），所以化简得8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 离心率，选B。9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=， e2，选C10.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则，该椭圆离心率e， D。设点为曲线上的点一椭圆的焦半径公式：到左焦点的距离：；到右焦点的距离：二双曲线的焦半径公式：到左焦点的距离：；到右焦点的距离：